Chuyên đề Trắc nghiệm Định nghĩa đạo hàm - Đại số 11

 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM-CÓ GIẢI CHI TIẾT 
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b): 
 f()() x f x0 y
 fx'(0 ) lim = lim
 xx x 0
 0 xx 0 x
 ( x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) 
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 
2. Đạo hàm bên trái, bên phải 
 f()() x f x0 f()() x f x0
 fx'(0 ) lim . fx'(0 ) lim . 
 xx xx 
 0 xx 0 0 xx 0
Hệ quả : Hàm fx()có đạo hàm tại x00  f ( x ) và fx'(0 ) đồng thời f'( x00 ) f '( x ) . 
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn 
 Hàm số fx() có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (;)ab nếu nó có đạo hàm tại mọi 
 điểm thuộc (;)ab 
 Hàm số fx() có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [;]ab nếu nó có đạo hàm tại mọi 
 điểm thuộc (;)ab đồng thời tồn tại đạo hàm trái fb'( ) và đạo hàm phải fa'( ) . 
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục 
 Nếu hàm số fx() có đạo hàm tại x0 thì fx() liên tục tại x0 . 
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 
 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0 . 
B – BÀI TẬP 
Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số 
y f() x tại x0 1? 
 f()() x x f x f()() x f x
 A. lim 0 . B. lim 0 . 
 x 0 x x 0 xx 0
 f()() x f x f()() x x f x
 C. lim 0 . D. lim 0 . 
 xx 0 xx 0 x 0 x
Hướng dẫn giải: 
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng. 
Chọn C. 
Câu 2. Cho hàm số fx liên tục tại x0 . Đạo hàm của fx tại x0 là 
 A. fx 0 . 
 f()() x h f x
 B. 00. 
 h
 f()() x h f x
 C. lim 00 (nếu tồn tại giới hạn). 
 h 0 h
 f()() x h f x h
 D. lim 00 (nếu tồn tại giới hạn). 
 h 0 h
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 22
 1 x 1 1 x 2 x 1 1 2
 y x x 
 2 2 2 2 2
Câu 7. Cho hàm số f x x2 x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối số x tại 
x0 là 
 2
 A. lim x 2 x x x . B. lim xx 2 1 . 
 x 0 x 0
 2
 C. lim xx 2 1 . D. lim x 2 x x x . 
 x 0 x 0 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B 
Ta có : 
 2 2
 y x0 x x 0 x x 0 x 0 
 222
 x0 2 x 0 x x x 0 x x 0 x 0 
 2
 x 2 x0 x x
 2
 y x 2 x0 x x
Nên f' x00 lim lim lim x 2 x 1 
 x 0 xx x 0 x 0
Vậy f' x lim x 2 x 1 
 x 0
 x
 khix 0
Câu 8. Cho hàm số fx() x . Xét hai mệnh đề sau: 
 0 khix 0
(I) f 01 . 
(II) Hàm số không có đạo hàm tại x00 . 
Mệnh đề nào đúng? 
 A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều 
đúng. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
Gọi x là số gia của đối số tại 0 sao cho x 0 . 
 f x 0 f (0) x 1
Ta có f 0 lim lim lim . 
 x 0 xx x 02 x 0 xx
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0. 
 x32 2 x x 1 1
 khi x 1
Câu 9. fx() x 1 tại điểm x0 1. 
 0 khi x 1
 1 1 1 1
 A. B. C. D. 
 3 5 2 4
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
 f( x ) f (1) x32 2 x x 1 1 x 1
lim lim2 lim 
 x 1xx 1 x 1 ( 1) x 1 x32 2 x x 1 1 2
 1
Vậy f '(1) . 
 2
 f 24 
 limf x lim x2 4 
 xx 22 
 x2
 limf x lim bx 6 2 b 8
 xx 22 2
 fx có đạo hàm tại x 2 khi và chỉ khi fx liên tục tại x 2 
 limf x lim f x f 2 2 b 8 4 b 6. 
 xx 22 
Câu 14. Số gia của hàm số f x x2 41 x ứng với x và x là 
 A. x x 2 x 4 . B. 2.xx C. x. 2 x 4 x . D. 2xx 4 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A 
Ta có 
 y f x x f x 
 x x 2 4 x x 1 x2 4 x 1
 x22 xxx . 2 4 xx 4 1 xx 2 4 1 x 2 2 xxx . 4
 x x 24 x 
Câu 15. Xét ba mệnh đề sau: 
 (1) Nếu hàm số fx có đạo hàm tại điểm xx 0 thì fx liên tục tại điểm đó. 
 (2) Nếu hàm số fx liên tục tại điểm xx 0 thì fx có đạo hàm tại điểm đó. 
 (3) Nếu fx gián đoạn tại xx 0 thì chắc chắn fx không có đạo hàm tại điểm đó. 
 Trong ba câu trên: 
 A. Có hai câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai. 
 C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A 
(1) Nếu hàm số fx có đạo hàm tại điểm xx 0 thì fx liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề 
đúng. 
(2) Nếu hàm số fx liên tục tại điểm xx 0 thì fx có đạo hàm tại điểm đó. 
Phản ví dụ 
Lấy hàm f x x ta có D nên hàm số fx liên tục trên . 
 f x f 0 x 0 x 0
 lim lim lim 1
 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
Nhưng ta có 
 f x f 0 x 0 x 0
 lim lim lim 1
 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
Nên hàm số không có đạo hàm tại x 0 . 
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai. 
(3) Nếu fx gián đoạn tại xx 0 thì chắc chắn fx không có đạo hàm tại điểm đó. 
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có fx không liên tục tại xx 0 thì fx có đạo hàm tại điểm 
đó. 
Vậy (3) là mệnh đề đúng. 
Câu 16. Xét hai câu sau: a 23 a 3 a 33 a 3
 A. B. C. D. 
 b 1 b 11 b 31 b 1
Hướng dẫn giải: 
Chọn D 
Ta có: limf ( x ) lim( x2 x ) 2; limf ( x ) lim( ax b ) a b 
 xx 11 xx 11 
Hàm có đạo hàm tại x 1 thì hàm liên tục tại x 1 ab 2 (1) 
 f( x ) f (1) x2 x 2
lim lim lim(x 2) 3 
x 1 xx 11 x 1 x 1 
 f( x ) f (1) ax b 2 ax a
lim lim lim a (Doba 2 ) 
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 a 3
Hàm có đạo hàm tại x 1 . 
 b 1
 x2
 khi x 1
Câu 19. Cho hàm số fx() 2 . Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm 
 ax b khi x 1
số có đạo hàm tại x 1? 
 1 11 11 1
 A. ab 1; . B. ab ;. C. ab ;. D. ab 1; . 
 2 22 22 2
Hướng dẫn giải: 
Chọn A 
 1
Hàm số liên tục tại x 1 nên Ta có ab 
 2
 f x f 1 
Hàm số có đạo hàm tại x 1 nên giới hạn 2 bên của bằng nhau và Ta có 
 x 1
 f x f 1 ax b a .1 b a x 1 
lim lim lim lim aa 
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 x2 1
 f x f 1 x 1 x 1 x 1 
lim lim22 lim lim 1 
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2
 1
Vậy ab 1; 
 2
 1
 xx2 sin khi 0
Câu20 . fx() x tại x 0 . 
 0 khi x 0 
 1 2
 A. 0 B. C. D. 7 
 2 3
Hướng dẫn giải: 
Chọn A 
 f( x ) f (0) 1
Ta có: lim limx sin 0 
 xx 00xx
Vậy f '(0) 0 . 
 sin2 x
 khi x 0
Câu 21. fx() x tại x0 0 
 2
 x x khi x 0 
 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5