Chuyên đề Tổng các góc trong một tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 12. TỔNG CÁC GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
1. Tổng ba góc của một tam giác 
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180. 
 ABC A + B + C =180  . 
 A
 C
 B 
2. Áp dụng vào tam giác vuông 
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau. 
 ABC, A = 90  B + C = 90  
 B
 C
 A 
3. Góc ngoài của tam giác 
Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác đó. 
Góc ACx là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC . 
Các góc ABC,, của tam giác ABC gọi là các góc trong. 
 A
 B
 C x 
Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. 
 ACx=+ A B . 
Nhận xét: Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. 
 ACx A; ACx B . 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Tính số đo góc của một tam giác 
I. Phương pháp giải: 
* Lập các đẳng thức thể hiện: x =90 − 55  x =35 . Vậy x =35 
Bài 4. 
Tính số đo x trong hình vẽ dưới đây 
 70°
 65° x
Lời giải: 
Ta có: x =70 + 65  (góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó) 
 x =135  . Vậy x =135 
Bài 5. Tính số đo xy, trong hình vẽ dưới đây 
 x 105°
 72° x
 40°
 x x x x y
 Hình 1 Hình 2 Hình 3
Lời giải: 
 Hình 1: 
 Ta có: xx+ +72  = 180 (định lý tổng ba góc trong một tam giác) 
 2x = 180 − 72  2x = 108  x =54 . Vậy x =54 
 Hình 2: 
 Ta có: xxx+ + =180 (định lý tổng ba góc trong một tam giác) 
 3x = 180  x =60  . Vậy x =60 
 Hình 3: 
 Ta có: x =180 − 105 (hai góc kề bù) 
 x =75  . Vậy x =75 
 Ta có: y +40 + 72  = 180  (định lý tổng ba góc trong một tam giác) 
 y =180  − 70  − 40  y =65 . Vậy y =65 
Bài 6. Tính số đo xy, trong hình vẽ sau: Biết BAD =22 và ABD =90 , CDE+ DCE =90  (tính chất tam giác vuông) 
 40 +DCE = 90  DCE =90  − 40  DCE =50  
 Lại có ACE= ACB + BCD + DCE 
 Mặt khác ACE =180o 180o = 40oo + 50 + BCD =BCD 90o 
 Hay BC⊥ CD 
Bài 8. Tính các góc của ABC , biết: AB− =18  và BC− =18  
Lời giải: 
 Xét ABC có BCBC− =18  = 18  + . 
 Mà ABAC− =18  −( 18 +) = 18  AC − =36  AC =36  + 
 Lại có: ABC+ + =180  36  +CCC + 18  + + = 180  3C = 126  C =42  
 B =18  + 42  B =60  A =78  
Bài 9. Tính các góc của tam giác ABC biết: 
 ABC
 a) ==. b) ABC==26. 
 3 4 5
Lời giải: 
 ABC
a) ==. 
 3 4 5
 ABC 35
 Ta có = = ABCB =, = . 
 3 4 5 4 4
 35
 Mà ABCBBBBAC++=180  ++ = 180  = = 60 45 , = 75 . 
 44
 b) ABC==26. 
 Ta có ABCACBC=2 = 6 = 6 , = 3 
 Mà ABCCCCCAB++=180  6 + 3 += 180  = = 18 108  , = 54 . 
Bài 10. Cho tam giác ABC , tia phân giác AD của góc A cắt BC tại D . Tính góc ADB biết 
 BC−=400 . 
Lời giải: 
 Ta có BAC+ B + C =1800 (định lý tổng 3 góc của một tam giác) 
 BAC =1800 − B − C a) Từ DEG: := 1:3:5 suy ra: 
 DEG
 == mà DEG+ + =180 ( tổng 3 góc trong một tam giác) 
 1 3 5
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được: 
 DEGDEG+ +180 
 = = = = =20  
 1 3 5 1++ 3 5 9
 D
 =20  D = 20  
 1
 E
 =20  E = 60  
 3
 G
 =20  G = 100  . 
 5
 b) 
 Ta có MEG+ GED =180  
 MEG +60  = 180  
 MEG =120  
 EE12 + =120 (mà EA là phân giác ngoài tại E nên EE12= ) 
 2E1 = 120  
 EE12 = =60  
 Ta có EAD2 =+ 
 60 =A + 20 
 A =60  − 20  
 A =40
Dạng 2. Các dạng bài toán chứng minh 
I. Phương pháp giải: 
Sử dụng các tính chất trong phần kiến thức cần nhớ. 
Lưu ý thêm về các tính chất đã học về quan hệ song song, vuông góc, tia phân giác góc... 
II. Bài toán. B
 H
 x
 A C
 1. Xét ΔABH , ta có BAH+= ABH 90o . 
 Xét ΔABC , ta có BCA+= ABC 90o . 
 Mà ABH= ABC nên BAH= BCA. 
 2. Tương tự câu a, ta có ABH= HAC 
 Mà xAH kề bù với HAC nên xAH bù với ABH 
Bài 4. Cho tam giác MNP , E là một điểm trên MN . Chứng minh: NEP NMP 
 Lời giải: 
 M
 E
 P
 N 
 Ta có NEP là góc ngoài tam giác PEM . 
 Từ đó suy ra NEP > NMP . 
Bài 5. Cho tam giác ABC có B tù. Chứng minh rằng các A và C nhọn. 
 Lời giải: 
 Cách 1. Do B tù nên ta có góc ngoài của đỉnh B là góc nhọn, suy ra các A , C nhọn. 
 Cách 2. Do ABC+ + =180 mà BAC 90 = + 1 80  −9 0  nên A và C đều là các góc 
 nhọn. 
Bài 6. Cho ABC vuông tại A , điểm E nằm trong tam giác đó. Chứng minh BEC là góc tù. 
Lời giải: 
 B
 E
 A K C
 Gọi K là giao điểm của BE và AC B
 d
 A C
 D
 E
 BB
 Ta có: CEB= 90− ; EDC= ADB = 9 0  − 
 2 2
 Suy ra EDC= DEC . 
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ AH vuông góc với BC tại H . Các tia phân giác của 
 B và HAC cắt nhau tại I . Chứng minh rằng AIB = 900 . 
Lời giải 
 Ta có BI , AI lần lượt là tia phân giác của B và HAC 
 1 1
 Nên B== B ABC và A== A HAC 
 122 122
 Mà ABC= HAC (cùng phụ với C ) nên BA21= 
 Xét tam giác AIB có: 
 AIB+ IAB + B2 =180  (định lý tổng 3 góc của một tam giác) 
 AIB =−180( IAB +=−+ B2) 180( A 2 HAB +=−++ B 2) 180 ( A 2 A 1 HAB)
 =1800 −(HAC + HAB) =− 180 BAC =−= 180 90 90 . 
Bài 10. Chứng minh rằng: Tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác bằng 360 . 
Lời giải Bài 12. Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác. 
 a) Chứng minh rằng BOC= A + ABO + ACO . 
 A
 b) Biết ABO+ ACO =90  − và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng tia 
 2
 CO là tia phân giác của góc C. 
Lời giải 
 a) ABO có O11=+ A ABO (góc ngoài tam giác). 
 ACO có O22=+ A ACO (góc ngoài tam giác). 
 O1 + O 2 = A 1 + A 2 + ABO + ACO Hay BOC= A + ABO + ACO . 
 A
 1 2
 O
 1 2
 2 2
 1 1
 B C
 x 
 BAC
 b) Từ ABO+ ACO =90  − 
 2
 180 −A ABC + ACB
 BCBC + = + = 
 2 222 2 2
 ABC ACB
 BC + = + 
 22 22
 mà BO là tia phân giác của ABC 
 ABC
 nên B = 
 1 2
 ACB
 suy ra C = 
 2 2
 Hay CO là tia phân giác của góc ACB . 
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Dạng 1. 
Bài 1. Tính số đo xy, trong hình vẽ dưới đây 
 y
 x
 125°
 35° 55° 65°
 Hình 1
 Hình 2 
Lời giải: 
 Xét H1: 
 Ta có: x +125 + 35  = 180 (định lý tổng ba góc trong một tam giác) 
 x =180 − 125 − 35  x =20 . Vậy x =20 
 Xét H2: 
 Ta có: y +55 + 65  = 180 (định lý tổng ba góc trong một tam giác) 
 y =180  − 55  − 65  y =60 . Vậy y =60 
Bài 2. Tính số đo xy, trong hình vẽ dưới đây 
 A
 y
 40° 40°
 60° 70° x y
 40° x B
 D C
 Hình 1
 Hình 2 
Lời giải: 
 Hình 1: 
 Ta có: x =180 − 40  (hai góc kề bù) 
 x =140  . 
 Vậy x =140 
 Ta có: y =60 + 40  (góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó) 
 y =100 . 
 Vậy y =100 
 Hình 2: 
 Ta có: x =70 + 40  (góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó) 
 x =110  . 
 Vậy x =110 
 Ta có: y +110  + 40  = 180 (định lý tổng ba góc trong một tam giác)y 
 x
 y =180 − 110 − 40  y =30 . 
 Vậy y =30 
 125°
Bài 3. Cho MNP . Tính các35° góc của tam giác biết 55° 65°
 Hình 1 Hình 2
 a) 5MNMN= 3 ;7 − 4 = 15  .