Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 3, Bài 5: Bài tập cuối Chuyên đề 3

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 3. BA ĐƯỜNG CONIC
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 3 
Câu 1. Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M( x;) y của các conic sau: 
 x2 y2
 a) 1;
 169 144
 x2 y2
 b) 1 
 25 144
 c) y2 11 x .
 Lời giải: 
 a) Elip có a2 169, b2 144 a 13, b 12 , c a2 b2 169 144 5 . 
 Toạ độ các đỉnh của elip là AABB1( 13;0),2 (13;0),1 (0; 12),2 (0;12) . 
 Toạ độ các tiêu điểm của elip là FF1( 5;0),2 (5;0) . 
 c 5
 Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M( x;) y là MF a x 13 x ; 
 1 a 13
 c 5
 MF a 13 x . 
 2 a 13
 b) Hypebol có a2 25, b2 144 a 5, b 12, c a2 b2 25 144 13. 
 Toạ độ các đỉnh của hypebol là AA1( 5;0),2 (5;0) . 
 Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là FF1( 13;0),2 (13;0) . 
 Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M( x;) y là MF1 
 c 13 c 13
 a x 5 x ; MF a x 5 x . 
 a 5 2 a 5
 11
 c) Parabol có 2p 11, suy ra p 
 2
 Toạ độ đỉnh của parabol là O(0;0) . 
 11 
 Toạ độ tiêu điểm của parabol là F ;0 . 
 4 
 p 11
 Bán kính qua tiêu ứng với điểm M( x;) y là MF x x 
 2 4
 x2 y2
 (E) : 1
Câu 2. Cho elip 25 9 . 
 a) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và tìm tâm sai của (E) .
 b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm là tiêu điểm có hoành độ dương của
 (E).
 c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E) , hai tiêu
 điểm là hai đỉnh của (E) . Tìm tâm sai của (H) .
 Lời giải: 
 c 4
 a) Có a2 25, b2 9 a 5, b 3, c a2 b 2 25 9 4, . 
 a 5
 Toạ độ các đỉnh của elip là AABB1( 5;0),2 (5;0),1 (0; 3),2 (0;3) . 
 Toạ độ các tiêu điểm của elip là FF1( 4;0),2 (4;0) . 
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 1
a) e b) e 1c) e 2 . 
 2
 Lời giải: 
 MF
a)Gọi M (x;) y là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: e 
 d(M ;) 
 (1 x )2 (1 y )2 1
 |x y 1| 2
 12 1 2
 1 |x y 1|
 (1 x )2 (1 y )2 
 2 12 12
 1 |x y 1|
 (1 x )2 (1 y )2 
 2 2
 |x y 1|2
 (1 x )2 (1 y )2 
 8
 x2 y2 1 2 xy 2 x 2 y
 1 2x x2 1 2 y y2 
 8
 8 1 2x x2 1 2 y y2 x 2 y 2 1 2 xy 2 x 2 y
 7x2 7y 2 2 xy 14 x 14 y 15 0.
Vậy phương trình của conic đã cho là 7x2 7y2 2 xy 14 x 14 y 15 0. 
 MF
b) Gọi M (x;) y là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: e
 d(M ;) 
 (1 x )2 (1 y )2
 1
 |x y 1|
 12 1 2
 |x y 1|
 (1 x )2 (1 y )2 
 12 1 2
 |x y 1|
 (1 x )2 (1 y )2 
 2
 |x y 1|2
 (1 x )2 (1 y )2 
 2
 x2 y 2 1 2 xy 2 x 2 y
 1 2x x2 1 2 y y2 
 2
 2 1 2x x2 1 2 y y2 x 2 y 2 1 2 xy 2 x 2 y
 x2 y 2 2 xy 2 x 2 y 1 0.
Vậy phương trình của conic đã cho là x2 y2 2 xy 2 x 2 y 1 0 . 
 MF
c)Gọi M x ; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: e 
 d(M ;) 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 Nguyên tắc hoạt động của kính thiên văn đó như sau: Tín hiệu đến từ vũ trụ được xem như song 
 song với trục của parabol (P) , khi đến điểm M của (P) sẽ cho tia phản xạ theo hướng MF1 , tia 
 này gặp (H) tại điểm N và cho tia phản xạ tới F2 là nơi thu tín hiệu. Cho biết 
 SF1 14 m , SF2 2 m và AF1 1 m . Hãy viết phương trình chính tắc của (P) và (H) . 
 (Nguồn: 
 Lời giải: 
 x2 y2
 +) Gọi phương trình chính tắc của (H) là 1(a 0, b 0) . 
 a2 b 2
 F1, F2 là hai tiêu điểm của (H) nên 2c F1 F2 SF 1 SF 2 14 2 12, suy ra c 6 . 
 AF2 F1 F 2 AF 1 12 1 11. 
 2 2 2 2 2
 Vì A thuộc (H) nên 2a AF1 AF2 |1 11| 10 , suy ra a 5 , b c a 6 5 11.
 x2 y2
 Vậy phương trình chính tắc của (H) là 1.
 25 11
 +) Gọi phương trình chính tắc của (P) là y2 2 px( p 0) . 
 p
 S là đỉnh và F là tiêu điểm của parabol nên SF 14, suy ra p 28.
 1 2 1
 Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2 56x . 
Câu 7. Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P) . Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu 
 1
 điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là m . 
 6
 a) Viết phương trình chính tắc của (P) .
 b) Tính khoàng cách từ một điểm M (0,06;0,2) trên ăng-ten đến F .
 Lời giải: 
 a) Gọi phương trình chính tắc của parabol là y2 2 px( p 0) .
 p 1 1
 Ta có OF p 
 2 6 3
 2
 phương trình chính tắc của parabol là y2 x 
 3
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 +) (S) là hypebol vì có tâm sai lớn hơn 1. 
 1
Câu 10. Viết phương trình đường conic có tâm sai e , một tiêu điểm F( 1;0) và đường chuẩn tương 
 2
 ứng là : x y 1 0. Hỏi đường conic đó là đường gì? 
 Lời giải: 
 Xét điểm M (x;) y thuộc conic. 
 M (x;) y thuộc đường conic đã cho khi và chỉ khi 
 MF 1 (x 1)2 ( y 0)2 1
 d(,) M 2 |x y 1| 2
 12 1 2
 1 |x y 1|
 (x 1)2 y 2 
 2 12 1 2
 |x y 1|
 (x 1)2 y 2 
 2
 2 (x 1)2 y 2 | x y 1|
 2 2 2
 4 (x 1) y ( x y 1)
 4 x2 2x 1 y2 x 2 y 2 1 2 xy 2 x 2 y
 4x2 8x 4 4 y2 x 2 y 2 1 2 xy 2 x 2 y
 3x2 3y2 2xy 6 x 2 y 3 0
 Conic này là elip vì có tâm sai lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1. 
Câu 11. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y ax2 bx c( a 0) là một parabol có tiêu điểm là 
 b 1 1 2
 F ; và đường chuẩn là y , trong đó b 4ac . 
 2a 4a 4a
 Lời giải: 
 +) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y ax2 bx c đều có toạ độ ( x ; ax2 bx c). 
 MF
 Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là 1 hay MF d( M , ). Thật 
 d( M ,) 
 vậy: 
 MF 
 2 2
 b 2 1 2 1 
 x ax bx c ax bx c 
 2a 4a 4a
 2 2 2
 b 2 1 2 1 
 x ax bx c ax bx c 
 2a 4a 4a 
 2 2 2
 b 4 a2 x 2 4 abx 4(1) ac 4a2 x 2 4 abx 4(1) ac 
 x 
 2a 4a 4a 
 2 2
 2 2 2 2 2 2 2
 b 4a x 4abx 4 ac 1 b 4 ac 4 a x 4 abx 4 ac 1 b 4 ac 
 x 
 2a 4a 4a 
 2 2 2
 b 4a2 x2 4 abx b2 1 4 a2 x 2 4 abx b2 1 
 x 
 2a 4a 4a 
 Facebook Nguyễn Vương 7