Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 3, Bài 4: Ba đường CONIC

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 3. BA ĐƯỜNG CONIC
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
 BÀI 4. BA ĐƯỜNG CONIC 
 Ở các bài trước, chúng ta đã học về elip, hypebol và parabol. Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm 
 hiểu những tính chất chung của cả ba đường conic đó và những ứng dụng của chúng trong thực 
 tiễn. 
 I. MÔ TẢ BA ĐƯỜNG CONIC DỰA TRÊN TIÊU ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG CHUẨN
 Nhận xét 
 x2 y2 MF
 - Với mọi điểm M thuộc elip (E) : 1(a b 0) , ta luôn có e(0 e 1) , 
 a2 b 2 d(,) M 
 trong đó F là một trong hai tiêu điểm F1, F2 và là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F . 
 x2 y2 MF
 - Với mọi điểm M thuộc hypebol (H ) : 1(a 0, b 0) , ta luôn có e (e> 1), 
 a2 b 2 d( M ,) 
 trong đó F là một trong hai tiêu điểm F1, F2 và là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F .
 MF
 - Với mọi điểm M thuộc parabol (P) : y2 2 px ( p 0), ta luôn có 1, trong đó F là 
 d( M ,) 
 tiêu điểm và là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F . 
 Để mô tả chung ba đường conic (elip, hypebol, parabol) dựa trên tiêu điểm và đường chuẩn, ta 
 đưa vào định nghĩa sau: 
 Trong mặt phẳng cho điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F . Tập hợp 
 MF
 các điểm M cho tỉ số bằng một số dương e cho trước được gọi là đường conic.
 d( M ,) 
 Điểm F gọi là tiêu điểm, đường thẳng gọi là đường chuẩn tương ứng với F và e gọi là tâm 
 sai của đường conic. 
 Ta có thể chứng minh được rằng: 
 - Nếu tâm sai e 1 thì đường conic nhận được là đường elip.
 - Nếu tâm sai e 1 thì đường conic nhận được là đường parabol.
 - Nếu tâm sai e 1 thì đường conic nhận được là đường hypebol.
 Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng : x 4 và điểm F(3;0) . Lấy ba điểm
 ABC(2;0), (1;4), ( 1;3) .
 AF BF CF
 a) Tính các tỉ số sau: , , . 
 d(,)(,)(,) A d B d C 
 b) Hỏi mỗi điểm ABC, , lần lượt nằm trên loại đường conic nào nhận F là tiêu điểm và là
 đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó?
 Lời giải 
 a) Ta có:
 AF 1
 AF (3 2)2 (0 0)2 1,d ( A , ) | 2 4 | 2, suy ra . 
 d( A, ) 2
 BF 2 5
 BF (3 1)2 (0 4)2 2 5,d ( B , ) |1 4 | 3 , suy ra . 
 d( B , ) 3
 CF 5
 CF (3 1)2 (0 3)2 5,(,)|14|5d C , suy ra 1. 
 d( C, ) 5
 AF 1
 b) Vì 1 nên điểm A nằm trên elip. 
 d( A, ) 2
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
Trong mặt phẳng (P) , cho hai đường thẳng d và cắt nhau tại O và góc giữa hai đường thẳng 
là  0  90 . Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh đường thẳng thì đường thẳng d sinh
ra một mặt tròn xoay gọi là mặt nón đỉnh O (Hình 25 ) . 
Các đường thẳng ,d lần lượt gọi là trục, đường sinh của mặt nón. 
2. Giao của mặt phẳng với mặt nón
Chúng ta đã biết rằng:
- Giao của mặt nón với mặt phẳng (không đi qua đỉnh và vuông góc với trục của mặt nón) là
đường tròn.
- Giao của mặt nón với mặt phẳng (không đi qua đỉnh và không vuông góc với trục của mặt nón)
là đường conic (Hình 26). Từ "conic" xuất phát từ gốc tiếng Hy Lạp konos, nghĩa là mặt nón.
a. Elip
Xét mặt phẳng không đi qua đỉnh của mặt nón, không vuông góc với trục của mặt nón và không
song song với đường sinh nào của mặt nón. Khi đó, giao của mặt phẳng và mặt nón là đường elip
(Hình 26 ) .
b.Parabol
Xét mặt phẳng không đi qua đỉnh của mặt nón và song song với duy nhất một đường sinh của mặt
nón. Khi đó, giao của mặt phẳng và mặt nón là đường parabol (Hình 27).
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
Kính thiên văn Cassegrain (đôi khi được gọi là "Cassegrain cổ điển") được Laurent Cassegrain 
công bố vào năm 1672. Nó có một gương chính hình parabol và một gương thứ cấp hình hypebol 
phản xạ ánh sáng trở lại qua một lỗ trên gương chính. 
Đường dẫn ánh sáng trong kính thiên văn Cassegrain được mô tả như sau (Hình 34): 
Kính thiên văn Ritchey - Chrétien được phát minh bởi George Willis Ritchey và Henri Chrétien 
vào đầu những năm 1910, là một gương phản xạ Cassegrain chuyên dụng có hai gương hypebol 
(thay vì một gương chính hình parabol). 
c. Ứng dụng quang học và âm học của parabol
Parabol có một tính chất quan trọng như sau: Nếu đặt một nguồn sáng tại tiêu điểm F của nó thì
toàn bộ các tia sáng đi ra từ F , sau khi phản xạ tại parabol, sẽ truyền đi theo đường thẳng song
song với trục đối xứng của nó. Tính chất này được gọi là tính phản xạ của parabol
Parabol có nhiều ứng dụng trong quang học dựa trên tính chất đó. Chẳng hạn, các gương lắp phía 
sau đèn truớc xe hơi được chế tạo ở dạng paraboloid, tức là hình dạng được tạo ra bằng cách quay 
parabol xung quanh trục của nó. Gương parabol giúp người lái xe nhìn thấy xa hơn về phía trước 
(Hình 36). 
Ngược lại với tính chất trên, parabol cũng có một tính chất sau: Một tia song song với trục đối 
xứng của parabol, sau khi phản xạ tại parabol, sẽ đi qua tiêu điểm của parabol (Hình 37). 
Cũng có nhiều ứng dụng của parabol trong quang học dựa trên tính chất đó. Chẳng hạn, gương 
parabol có thể hội tụ một chùm sáng song song vào một nguồn điểm. Gương parabol khổng lồ 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 Lời giải: 
 Vi máy bay bay song song với mặt đất nên giao của các lớp không khí dao động có hình mặt nón 
 và mặt đất (mặt phẳng) là một đường hypebol. Do đó những người cùng đứng trên hypebol này sẽ 
 nghe thấy tiếng nổ tại cùng thời điểm, và ngược lại, những người nghe thấy tiếng nổ này cùng một 
 thời điểm thì họ cùng đứng trên đường hypebol này. 
Câu 2. Xác định tâm sai, tọa độ một tiêu điểm và phương trình đường chuẩn tương ứng của mỗi đường 
 conic sau: 
 a) y2 14x
 x2 y2
 b) 1 
 10 5
 x2 y2
 c) 1.
 4 12
 Lời giải 
 a) Conic (P) :y2 14 x là một parabol. Ta có có 2p 14,p 7 .
 7 7
 Suy ra (P) có tiêu điểm F ;0 , đường chuẩn : x và tâm sai e 1.
 2 2
 x2 y2
 b) Conic (E) : 1 là một elip.
 10 5
 c2 a 10
 Ta có: a 10, b 5, c a2 b2 5, e , 2 5 . Suy ra (E) có tiêu điểm 
 a2 e 2
 2
 2
 F ( 5;0) , đường chuẩn : x 2 5 và tâm sai e . 
 1 1 2
 x2 y2
 c) Conic (H ) : 1 là một hypebol.
 4 12
 c a 2
 Ta có: a 2, b 2 3, c a2 b2 4, e 2, 1. 
 a e 2
 Suy ra (H) có tiêu điểm F2 (4;0) , đường chuẩn 2 : x 1 và tâm sai e 2 .
Câu 3. Cho đường thẳng : x y 1 0. Gọi tên và lập phương trình của các đường (L) là tập hợp các 
 MO
 điểm M (x;) y thoả mãn e trong mỗi trường hợp sau:
 d(M ,) 
 1
 a) e b) e 2 c) e 1 
 2
 Lời giải 
 | x y 1|
 Ta có MO x2 y2 và d( M ,) .
 2
 1
 a) (L) có e 1, do đó (L) là một đường elip. 
 2
 MO 1
 Ta có M (x;)() y L 2MO d ( M , ) 
 d( M , ) 2
 | x y 1|
 2 x2 y2 8 x2 y 2 ( x y 1)2
 2
 8x2 8yxy2 2 2 2 xyxy 2 2 1 7 x2 7 y 2 2 xyxy 2 2 1 0.
 Vậy elip (L) có phương trình 7x2 7y2 2 xy 2 x 2 y 1 0.
 b) (L) có e 2 1, do đó (L) là một hypebol.
 Facebook Nguyễn Vương 7 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
Tên Tâm sai 
Trái Đất 0,0167 
Sao chổi Halley 0,9671 
Sao chổi Great Southern of 1887 1,0 
Vật thể Oumuamua 1,2 
 Lời giải: 
 Vì quỹ đạo của Trái Đất có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. 
 Vì quỹ đạo của Sao chổi Halley có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. 
 Vì quỹ đạo của Sao chổi Great Southern of 1887 có tâm sai bằng 1 nên là đường parabol. 
 Vì quỹ đạo của Vật thể Oumuamua có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol. 
Câu 6. Cho hình chữ nhật ABCD với bốn đỉnh ABCD( 4;3), (4;3), (4; 3), ( 4; 3) . 
 a) Viết phương trình chính tắc của elip nhận ABCD là hình chữ nhật cơ sở. Vẽ elip đó.
 b) Viết phương trình chính tắc của hypebol nhận ABCD là hình chữ nhật cơ sở. Vẽ hypebol đó.
 Lời giải: 
 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC . 
 xA xBAB y y 4 4 3 3 
 Tọa độ của M là xMM; y ; ; (0;3) . 
 2 2 2 2 
 xB xCBC y y 4 4 3 ( 3) 
 Tọa độ của N là xNN; y ; ; (4;0) . 
 2 2 2 2 
 x2 y2
 a) Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là 1(a b 0) . 
 a2 b 2
 Vi ABCD là hình chữ nhật cơ sở của elip nên M, N là hai đỉnh của elip. 
 Lại có: M(0;3) b 3, N (4;0) a 4 . 
 x2 y2
 Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là 1.
 16 9
 +) Vẽ elip: 
 Ta thấy a 4, b 3. Toạ độ các đỉnh của elip là ( 4;0),(5;0),(0; 3),(0;3) . 
 Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x 4, x 4, y 3, y 3. 
 12 12 
 Bước 2. Tìm một số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm X ; và điểm 
 5 5 
 16 9 
 Y ; thuộc (E). Do đó các điểm 
 5 5 
 12 12 12 12 16 9 16 9 16 9 
 X 2 ;,;,;,;,; X 3 Y1 YY2 3 
 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
 cũng thuộc (E) 
 Bước 3. Vẽ đường elip (E) đi qua các điểm cụ thể trên, nằm ở phía trong hình chữ nhật cơ sở và 
 tiếp xúc với các cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại bốn đỉnh của (E) là 
 ( 4;0),(4;0),(0; 3),(0;3).
 Facebook Nguyễn Vương 9