Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 3, Bài 3: Parabol

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 3. BA ĐƯỜNG CONIC
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
 BÀI 3. PARABOL 
 Ở sách giáo khoa Toán 10 chương VII, chúng ta đã học về ba đường conic, trong đó có đường 
 parabol. Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm những yếu tố đặc trưng của parabol. 
 I. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA PARABOL
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol (P) có phương trình chính tắc là y2 2 px( p 0) . 
 Khi đó, ta có: 
 -Parabol (P) nằm về bên phải của trục tung;
 -Trục Ox là trục đối xứng của parabol (P) ;
 - Parabol (P) cắt trục Ox tại điểm O và đó cũng là điểm duy nhất của trục Oy thuộc (P) . Gốc
 toạ độ O được gọi là đỉnh của parabol (P) ;
 - Khoảng cách FH p được gọi là tham số tiêu của parabol (P).
 II. TÂM SAI CỦA PARABOL. BÁN KÍNH QUA TIÊU CỦA MỘT ĐIỂM
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol (P) có phương trình chính tắc là y2 2 px( p 0) . 
 Khi đó: 
 - Với parabol (P) , ta luôn có e 1, ở đó e là tâm sai của parabol (tức là tỉ số của khoảng cách từ
 điểm M thuộc parabol (P) đến tiêu điểm F và khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn );
 - Với mỗi điểm M thuộc parabol ( P) , đoạn thẳng MF được gọi là bán kính qua tiêu của điểm
 p p
 M . Ta có độ dài đoạn thẳng MF x x .
 2 2
 Ví dụ 1. Cho parabol y2 6x . 
 a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.
 b) Giả sử M là điểm thuộc parabol có hoành độ là 4. Tính bán kính qua tiêu điểm M .
 Giải
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 BÀI TẬP 
Câu 1. Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của parabol 
 (P) : y2 4 x .
 Lời giải 
 Ta có 2p 4 , suy ra p 2 . Vậy (P) có tiêu điểm F(1;0) , đỉnh O(0;0) đường chuẩn : x 1 
 và nhận Ox làm trục đối xứng. 
Câu 2. Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol 
 sau: 
 2
 a) P1 : y 2 x
 2
 b) P2 : y x
 1
 c) P : y2 x 
 3 5
 Lời giải 
 a) Có 2p 2 , suy ra p=1.
 1 
 Toạ độ tiêu điểm của parabol là F ;0 . 
 2 
 Toạ độ đỉnh của parabol là O(0;0) . 
 1
 Phương trình đường chuẩn của parabol là x 
 2
 Trục đối xứng của parabol là trục Ox . 
 1
 b) Có 2p 1, suy ra p 
 2
 1 
 Toạ độ tiêu điểm của parabol là F ;0 . 
 4 
 Toạ độ đỉnh của parabol là O(0;0) . 
 1
 Phương trình đường chuẩn của parabol là x 
 4
 Trục đối xứng của parabol là trục Ox . 
 1 1
 c) Có 2p suy ra p 
 5 10
 1 
 Toạ độ tiêu điểm của parabol là F ;0 . 
 20 
 Toạ độ đỉnh của parabol là O(0;0) . 
 1
 Phương trình đường chuẩn của parabol là x 
 20
 Trục đối xứng của parabol là trục Ox . 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là 
 p 6
 MF x 5 8 
 2 2
Câu 10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm M (3;3 2) .
 Tìm bán kính qua tiêu của điểm M và khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P) . 
 Lời giải: 
 Gọi phương trình chính tắc của (P) là y2 2 px( p 0) . 
 Theo đề bài, (P) đi qua điểm M (3;3 2) (3 2)2 2p .3 p 3.
 p 3
 Bán kính qua tiêu của điểm M (x;) y là MF x x 
 2 2
 Khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P) là p 3. 
Câu 11. Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng: 
 2
 a) Điểm M1(1; 4) trên P1 : y 16 x ; 
 2
 b) Điểm M 2 (3; 3) trên P2 : y 3 x ; 
 1
 c) Điểm M (4;1) trên P : y2 x . 
 3 3 4
 Lời giải: 
 a) Có 2p 16, suy ra p 8.
 p 8
 Bán kính qua tiêu của M là: FM x 1 5 .
 1 1 2 2
 3
 b) Có 2p 3, suy ra p 
 2
 p 3
 Bán kinh qua tiêu của M là: FM x 3 
 2 2 2 4
 1 1
 c) Có 2 p suy ra p 
 4 8
 p 1 65
 Bán kính qua tiêu của M là: FM x 4 
 3 3 2 16 16
Câu 12. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A(2;0) và đường thẳng d : x 2 0 . Viết phương trình của 
 đường (L) là tập hợp các tâm J(x;) y của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A 
 và tiếp xúc với d . 
 Lời giải: 
 Có JA (2 x )2 (0 y )2 (2 x )2 y 2 . 
 Khoảng cách từ J đến d là: d(J; d ) | x 2|. 
 Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d JA d( J ; d) 
 (2 x )2 y2 | x 2 |
 (2 x )2 y 2 | x 2 |2
 4 4x x2 y 2 x 2 4 x 4
 y2 8 x
 Vậy (L) là một parabol có phương trình y2 8x . 
Câu 13. Viết phương trình chính tắc của parabol trong mỗi trường hợp sau: 
 a) Tiêu điểm là F2 (5;0) ; 
 b) Phương trình đường chuẩn là x 4;
 c)Parabol đi qua điểm A(4;9) .
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
Câu 15. Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau: 
 2
 a) P1 : y 7 x ; 
 1
 b) P : y2 x 
 2 3
 2
 c) P3 : y 2 x . 
 Lời giải: 
 7 p 7
 a) Có 2p 7 p 
 2 2 4
 7 
 Toạ độ tiêu điểm của parabol là F ;0 , phương trình đường chuẩn của parabol là 
 4 
 1
 x 0 . 
 12
 1 1p 1
 b) Có 2p p 
 3 6 2 12
 1 
 Toạ độ tiêu điểm của parabol là F ;0 , phương trình đường chuẩn của parabol là 
 12 
 1
 x 0 . 
 12
 2 p 2
 c) Có 2p 2 p 
 2 2 4
 2 
 Toạ độ tiêu điểm của parabol là , phương trình đường chuẩn của parabol là 
 F ;0 
 4 
 2
 x 0 . 
 4
Câu 16. Tính bán kính qua tiêu của điểm đã cho trên các parabol sau: 
 2
 a) Điểm M1(3; 6) trên P1 : y 12 x ; 
 Facebook Nguyễn Vương 7 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 Gọi ABC, , lần lượt là hình chiếu của MIN, , lên . 
 Vì I là trung điểm của MN nên IB là đường trung bình của hình thang MACN 
 1 1 1
 IB ()() MA CN MF CF MN
 2 2 2
 Đường tròn đường kính MN chính là đường tròn tâm I, bán kính IB
 Lại có vuông góc với IB tại B
 đường tròn đường kính MN tiếp xúc với tại B .
Câu 19. Hãy so sánh bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) với bán kính của đường tròn tâm 
 M , tiếp xúc với đường chuẩn của (P) . 
 Lời giải: 
 Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là y2 2 p ( p 0) . 
 Gọi toạ độ của M là (x;) y . 
 p p
 F ;0 là tiêu điểm của (P) , H là hình chiếu của M lên đường chuẩn : x 0 của ( P .
 2 2
 Khi đó: 
 2 2 2 2
 p 2 p 2 p 2 p p
 MF x y px x2 px px x x x .
 2 4 4 2 2
 p
 MH x .
 2
 Vậy MF MH , mặt khác MH chính là bán kính của đường tròn tâm M , tiếp xúc với đường 
 chuẩn của ( P) , do đó bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol ( P) bằng bán kính của đường 
 tròn tâm M , tiếp xúc với đường chuẩn của (P) . 
Câu 20. Một sao chổi chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách 
 ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là 106 km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo 
 đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm 
 Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét? 
 Lời giải: 
 Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là 
 kilômét. 
 Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y2 2 px( p 0) . 
 Giả sử sao chổi có toạ độ là M( x;) y . 
 Facebook Nguyễn Vương 9