Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 3, Bài 2: Hypebol

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 3. BA ĐƯỜNG CONIC
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
 BÀI 2. HYPEBOL 
 Quỹ đạo bay của một con tàu vũ trụ phóng đi từ Hurơng tròn Trái Đất phụ thuộc vào tốc độ của 
 con tàu. Khi con tàu đạt tốc độ vũ trụ cấp 1, tức là tốc độ xấp xỉ 7,9 km / s , thì con tàu trở thành 
 một vệ tinh của Trái Đất. Khi con tàu có tốc độ lớn hơn tốc độ vũ trụ cấp 2, tức là tốc độ con tàu 
 lớn hơn 11,2 km / s , thì con tàu có quỹ đạo bay là một phần của hypebol (Hình 12). 
 Ở sách giáo khoa Toán 10 chương VII, chúng ta đã học về ba đường conic, trong đó có đường 
 hypebol. Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm những yếu tố đặc trưng của hypebol. 
 1. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA HYPEBOL
 x2 y2
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , ta xét hypebol (H ) có phương trình chính tắc là 1, trong 
 a2 b 2
 đó a 0 , b 0 (Hình 13). 
 Chú ý: Độ dài F1F2 2 c được gọi là tiêu cự của hypebol (H ) . 
 Đoạn thẳng A1 A2 gọi là trục thực; độ dài A1 A2 2 a gọi là độ dài trục thực của hypebol (H ) . 
 Nếu điểm M( x;) y nằm trên hypebol (H ) thì các điểm M1( x;) y , M2 ( x; y ), M3 ( x ; y ) cũng 
 nằm trên hypebol (H ) . 
 Hypebol (H ) nhận hai trục toạ độ làm hai trục đối xứng và gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. Gốc 
 O còn được gọi là tâm của hypebol (H ) . 
 II. HÌNH CHỮ NHẬT CƠ SỞ
 x2 y2
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , ta xét hypebol (H ) có phương trình chính tắc là 1 với 
 a2 b 2
 a 0, b 0 . 
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 5
 y0 x 0 2 2
 4 1 16y0 25 x 0 400
 MK 4y0 5 x 0 
 2 41 41. 4y 5x 41. 4 y 5 x
 2 5 0 0 0 0 
 1 
 4 
Vì vậy, khi điểm M x0 ; y0 di động trên hypebol H càng ngày càng xa gốc tọa độ thì khoảng
cách MK càng ngày càng nhỏ, điều đó cũng có nghĩa là điểm M càng ngày càng gần sát đường 
tiệm cận đó (điều này giải thích ý nghĩa của từ tiệm cận 
Ví dụ 3. Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A2 5;0 và một đường tiệm cận 
là y 3x . 
 Lời giải: 
 x2 y2
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là 1(a 0, b 0) . 
 a2b 2
+) Hypebol có một đỉnh là A2 (5;0) a 5 . 
 b
+) Hypebol có một đường tiệm cận là y 3x 3 b 3 a 15 . 
 a
 x2 y2 x2 y2
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là 1 hay 1.
 5215 2 25 225
III. TÂM SAI CỦA HYPEBOL
 x2 y2
Cho hypebol có phương trình chính tắc là 1 với a 0 , b 0, ta nói: 
 a2b 2
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của hypebol là tâm sai của hypebol và được kí hiệu là e , tức 
 c
là e . 
 a
Nhận xét: 
 c
 e 1. 
 a
 2
 a2 b2 b 
 e 1 .
 a a 
Ví dụ 4. Tìm tọa độ tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của hypebol có phương trình chính tắc là 
 x2 y2
 1.
 25 9
 Lời giải 
Ta có: a 5,b 3 . Suy ra c2 a2 b 2 34 , tức là c 34 . 
 c 34
Hypebol có hai tiêu điểm là F ( 34;0),F ( 34;0), tiêu cự là 2 34 và tâm sai là e . 
 1 2 a 5
 5
Ví dụ 5. Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ dài trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng . 
 4
 Lời giải: 
 x2 y2
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là 1(a 0, b 0) . 
 a2b 2
+) Hypebol có độ dài trục ảo bằng 6 2b 6 b 3 b2 9 . 
 5
+) Hypebol có tâm sai bằng 
 4
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
Chú ý: Tỉ số của khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến tiêu điểm và khoảng cách từ 
điểm đó đến đường chuẩn tương ứng luôn bằng tâm sai của hypebol. 
 MF MF
 1 2 e.
 d M, 1 d M, 2 
 x2 y2
Ví dụ 8. Tìm các tiêu điểm và đường chuẩn của hypebol có phương trình chính tắc 1 
 144 25
 Lời giải 
 2 2
Ta có: a 12,b 5, suy ra c a b 144 25 13. Do đó, hai tiêu điểm là F1( 13;0) và 
 F2 (13;0) . 
 c 13
Mặt khác, ta có: e . Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F ( 13;0) là 
 a 12 1
 144 144
 : x Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F (13;0) là : x . 
 1 13 2 2 13
Ví dụ 9. Viết phương trình chính tắc của đường hypebol biết một tiêu điểm là F2 ( 2;0) và đường 
 1
chuẩn ứng tiêu điểm đó là x 
 2
 Lời giải: 
Ta có: a2 11,b2 25 
 a 11, b 5, c a2 b2 11 25 6.
Do đó hai tiêu điểm là F1( 6;0) và F2 (6;0)
 c 6 a 11 11
Ta có: e . 
 a11 e 6 6
 11
 11
Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F ( 6;0) là : x . Phương trình đường
 1 1 6
 11
chuẩn ứng với tiêu điểm F (6;0) là : x .
 2 2 6
VI. CÁCH VẼ ĐƯỜNG HYPEBOL
 x2 y2
Nhận xét: Để vẽ hypebol (H ) : 1(a 0, b 0) , ta có thể làm như sau: 
 a2b 2
- Vẽ bốn đường thẳng x a, x a,, y b y b và xác định hình chữ nhật cơ sở PQRS của
hypebol.
- Vẽ hai đường tiệm cận PR,QS của hypebol.
- Vẽ từng nhánh của hypebol ở phía ngoài hình chữ nhật cơ sở sao cho tiếp xúc với cạnh của hình
chữ nhật cơ sở tại đỉnh của hypebol và đi qua những điểm cụ thể đã và chọn, đồng thời nhận
 PR, QS làm hai đường tiệm cận.
Ví dụ 10. Cho hypebol (H ) có một đỉnh là A1( 4;0) và tiêu cự là 10. Viết phương trình chính 
tắc và vẽ hypebol (H ) . 
 Lời giải: 
 x2 y2
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là 1(a 0, b 0) . 
 a2b 2
+) Hypebol có một đỉnh là A1( 4;0) a 4 . 
+) Hypebol có tiêu cự là 10 2c 10 c 5 b2 c2 a 2 5 2 4 2 9 . 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 c 5 c 5
 MF a x 4 x; MF a x 4 x .
 1 a 4 2 a 4
 x2 y2
Câu 4. Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M (x;) y trên hypebol (H ) : 1.
 64 36
 Lời giải: 
 Có a2 64,b2 36 , suy ra a 8,b 6, c a2 b2 64 36 100 10 . 
 Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M (x;) y là: 
 c 10 5 c 10 5
 MF a x8 x 8 x ; MF a x8 x 8 x . 
 1 a 8 4 2 a 8 4
 x2 y2
Câu 5. Cho hypebol 1.
 9 16
 a)Tìm độ dài các trục, toạ độ các đỉnh.
 b) Tìm các đường tiệm cận.
 Lời giải: 
 Từ phương trình của hypebol, ta có a2 9,b2 16 , nghĩa là a 3,b 4. 
 a) Hypebol có độ dài trục thực là 2a 6 , độ dài trục ảo là 2b 8 , và hai đỉnh là A1( 3;0) , 
 A2 (3;0) . 
 4 4
 b) Hypebol có hai đường tiệm cận là y x và y x . 
 3 3
 Chú ý. Hai đường tiệm cận không cắt hypebol. Hơn nữa khi một điểm thay đổi trên hypebol thì 
 càng xa gốc toạ độ, khoảng cách từ nó tới một trong hai đường tiệm cận càng gần bằng 0 (điều 
 này giải thích cho việc dùng từ "tiệm cận"). 
 x2 y2
Câu 6. Cho hypebol 1.
 64 36
 a)Tìm tiêu cự và độ dài các trục.
 b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.
 Lời giải: 
 a) Có a2 64,b2 36
 a 8,b 6
 . 
 2 2
 c a b 64 36 10
 Do đó, tiêu cự của hypebol là 2c 20 , độ dài trục thực là 2a 16 , độ dài trục ảo là 2b 12 . 
 b) Các đỉnh của hypebol là A1( 8;0),A2 (8;0) . 
 b 6 3 b 6 3
 Hai đường tiệm cận của hypebol là y x x x và y x x x . 
 a 8 4 a 8 4
 x2 y2
Câu 7. Cho hypebol 1. Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và
 4 21
 có hoành độ bằng 10. 
 Lời giải: 
 Ta có a2 4;b2 21. Suy ra a 2, b 21 , và c a2 b2 5 . Do đó, hypebol có hai tiêu điểm 
 là F1( 5;0),F2 (5;0) . Điểm M thuộc hypebol và có hoành độ x0 10 nên 
 c 5 c 5
 MF a x  2 ( 10) 23; MF a x  2 ( 10) 27. 
 1 a 0 2 2 a 0 2
Câu 8. Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6 3 . Tính độ dài hai bán kính qua 
 tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9. 
 Lời giải: 
 Facebook Nguyễn Vương 7