Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 3, Bài 1: Elip

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 3. BA ĐƯỜNG CONIC
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
 BÀI 1. ELIP 
 1. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ELIP
 x2 y2
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét elip E có phương trình chính tắc là 1, trong đó
 a2 b 2
 a b 0 
 2 2
 Chú ý: Khoảng cách F1F2 2 c (với c a b ) được gọi là tiêu cự của elip (E) . Đoạn A1A2 là 
 trục lớn, đoạn B1B2 là trục bé của elip. Độ dài của trục lớn là 2a , độ dài của trục bé là 2b . Các độ 
 dài OA2 a , OB2 b lần lượt được gọi là độ dài bán trục lớn, độ dài bán trục bé. 
 Elip (E) nhận hai trục toạ độ làm hai trục đối xứng và gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. Gốc O 
 còn được gọi là tâm của elip (E) . 
 II. HÌNH CHỮ NHẬT CƠ SỞ
 x2 y2
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là 1, trong đó 
 a2 b 2
 a b 0 . 
 (E) cắt trục Ox tại các điểm A1( a;0), A2 ( a ;0) và cắt trục Oy tại các điểm B1(0; b ), B2 (0; b ) . 
 Bốn điểm này được gọi là các đỉnh của elip. Vẽ qua A1, A2 hai đường thẳng song song với trục 
 tung; vẽ qua B1, B2 hai đường thẳng song song với trục hoành. Bốn đường thẳng đó tạo thành hình 
 chữ nhật PQRS . Ta gọi hình chữ nhật đó là hình chũ nhật cơ sở của elip (E) 
 (Hình 4). 
 x2 y2
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho elip (E) có phương trình chính tắc là 1(a b 0) . 
 a2 b 2
 Khi đó, ta có: 
 - Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là P( a; b ), Q ( a ; b ), R ( a ; b ) , S( a;) b ;
 - Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở;
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
Ví dụ 3. Tìm toạ độ tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của elip có phương trình chính tắc là 
 x2 y2
 1.
 25 9
 Lời giải: 
Ta có: a 5, b 3. Suy ra c2 a2 b 2 5 2 3 2 16, tức là c 4 . Suy ra 2c 8 . 
Vậy elip có hai tiêu điểm là FF1 4;0 ,2 4;0 và có tiêu cự là 8 . Tâm sai của elip là 
 c 4
 e 0,8 
 a 5
 3
Ví dụ 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng . 
 5
 Lời giải: 
 x2 y2
Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là 1(a b 0) . 
 a2 b 2
Theo đề bài elip có tiêu cự bằng 12 2c 12 c 6 . 
 3 c 3 6 3
Elip có tâm sai bằng a10 b a2 c210 2 6 2 8. 
 5a 5 a 5
 x2 y2 x2 y2
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là 1 hay 1.
 1028 2 100 64
Ví dụ 5. Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng là 20 m , mặt cắt đứng của đường hầm có 
dạng nửa elip và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 7. Giả sử tâm 
sai của đường elip là e 0,5 . 
a) Tìm chiều cao của đường hầm đó.
b) Tìm độ cao của đường hầm tại điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải là 3 m .
Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét.
 Lời giải: 
Gọi chiều cao của đường hầm là b( m) . Khi đó elip có 
bán trục lớn là a 10( m ) , bán trục bé là b( m) . Elip có 
nửa tiêu cự là c a  e 10  0,5 5( m ) . 
a) Chiều cao của đường hầm là b a2 c2 10 2 5 2 8,7( m ) . 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
.Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng (làm tròn kết quả 
đến hàng phần trăm theo đơn vị ki-lô-mét). 
 Lời giải: 
 x2 y2
Giả sử (E) có phương trình chính tắc là 1 trong đó: 
 a2 b 2
 a 768800 : 2 384400( km ), b 767619 : 2 383809,5( km ) . 
Ta có: c a2 b2 3844002 383809,52 453627709,8 21298,54( km ) . 
Khoảng cách ngắn nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng là: 
 a c 384400 21298,54 363101,46( km ). 
Khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng là: 
 a c 384400 21298,54 405698,54( km ) 
 x2 y2
Ví dụ 9. Cho elip (E): 1 với tiêu điểm F ( 5;0). Tìm tọa độ điểm ME ( ) sao cho độ 
 9 4 2
dài F2M nhỏ nhất. 
 Lời giải: 
Có a2 9 , suy ra a 3. 
Gọi toạ độ của M là x; y .
 5
Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có FM 3 x. 
 2 3
Mặt khác, vì M thuộc (E) nên x 3 
 5 5 5 5 5
 x 3 x 5 x 5 F M 3 x 3 5. 
 3 3 3 3 2 3
Đẳng thức xảy ra khi x 3 . 
Vậy độ dài F2M nhỏ nhất khi M có hoành độ bằng 3, tức là M trùng với đỉnh (3;0) của elip. 
V. ĐƯỜNG CHUẨN CỦA ELIP
Tương tự như parabol, elip cũng có thể xác định thông qua tiêu điểm và đường thẳng đóng vai trò 
như đường chuẩn. 
 x2 y2
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là 1(a b 0) . 
 a2 b 2
 a
Đường thẳng : x gọi là đương chuẩn ứng với tiêu điểm F( c;0) . 
 1 e 1
 a
Đường thẳng : x gọi là đuờng chuẩn ứng với tiêu điểm F( c;0) . 
 2 e 2
Chú ý: Tỉ số của khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường elip đến tiêu điểm và khoảng 
cách từ điểm đó đến đường chuẩn tương ứng luôn bằng tâm sai của elip: 
 MF MF
 1 2 e.
 d M, 1 d M, 2 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 b
 - Mỗi điểm M x; y trên đường tròn (C) qua "phép co" theo trục tung với hệ số thì biến
 1 1 a
 thành điểm M (x;) y trên elip (E) . 
 a
 - Mỗi điểm M (x;) y trên elip (E) qua "phép giãn" theo trục tung với hệ số thì biến thành điểm 
 b
 M1 x; y1 trên đường tròn (C) .
 VII. CÁCH VẼ ĐƯỜNG ELIP
 x2 y2
 Nhận xét: Để vẽ elip 1(a b 0) , ta có thể làm như sau: 
 a2b 2
 - Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x a, x a,, y b y b .
 -Xác định bốn đỉnh và một số điểm cụ thể thuộc elip.
 - Vẽ đường elip ở phía trong hình chữ nhật cơ sở sao cho elip đó tiếp xúc với các cạnh của hình
 chữ nhật cơ sở tại bốn đỉnh của nó và đi qua những điểm cụ thể đã chọn.
 BÀI TẬP 
Câu 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: 
 a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F1( 2;0) ; 
 3
 b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng ; 
 5
 5
 c)Tâm sai bằng và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20. 
 3
 Lời giải: 
 x2 y2
 a)Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là 1(a b 0) . 
 a2b 2
 Theo đề bài ta có:
 - Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a 6 , suy ra a 3, suy ra a2 9 .
 2 2 2 2 2
 -Elip có một tiêu điểm là F1( 2;0) , suy ra c 2 , suy ra b a c 3 2 5 . 
 x2 y2
 Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là 1.
 9 5
 x2 y2
 b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là 1(a b 0) . 
 a2b 2
 Theo đề bài ta có:
 - Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c 12 , suy ra c 6 , suy ra c2 36 .
 -Elip có tâm sai bằng suy ra
 c 3 6 3
 a 10 
 a 5 a 5
 b a2 c2 10 2 6 2 8. 
 x2 y2
 Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là 1.
 100 64
 x2 y2
 c)Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là 1(a b 0) . 
 a2b 2
 Theo đề bài ta có:
 5
 - Elip có tâm sai , bằng suy ra 
 3
 Facebook Nguyễn Vương 7 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 Chú ý 
 b
 Khi tỉ số càng nhỏ (càng gần về 0), thì hình chữ nhật cơ sở càng "dẹt" và elip càng "gầy". 
 a
 b
 Khi tỉ số càng lớn (càng gần tới 1), thì hình chữ nhật cơ' sở càng gần với hình vuông và elip 
 a
 càng "béo" (càng gần đường tròn) (H.3.4). 
 x2 y2
Câu 5. Cho elip (E) : 1(0 b a ) có bốn đỉnh là A( a;0), A ( a ;0), B (0; b ), B (0; b ) . 
 a2 b 2 1 2 1 2
 a) Xác định tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (E).
 b) Cho một điểm M( x;) y bất kì trên (E) . Chứng minh rằng:
 b OM a; a x a;. b y b
 Lời giải 
 a) Gọi PQRS là hình chữ nhật cơ sở của (E) . Toạ độ bốn đỉnh của PQRS là:
 P( abQabRa;), (;),(; bS ),( a ; b ).
 x2 y2
 b) M( x;) y là điểm bất kì trên (E) nên ta có: 1
 a2 b 2
 Suy ra b2 x2 y 2 a 2 , nên b2 OM2 a 2 . 
 Vậy b OM a . 
 Facebook Nguyễn Vương 9