Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 2, Bài 3: Bài tập cuối Chuyên đề 2

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 2. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP - NHỊ THỨC NEWTON
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 2 
Câu 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1, ta có 
 2 232421 2  3  (1)2n n n 2.n 1 
 Lời giải: 
 Ta chứng minh bằng quy nạp theo n . 
 Bước 1. Với n 1 ta có 221 4 1.21 1 . 
 Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n 1 . 
 Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n k , tức là ta có: 
 221 3.22 4  2 3  (k 1)  2k k  2k 1 
 Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n k 1 , nghĩa là ta sẽ chứng minh: 
 2 21 3.22    4 2 3 (k 1) 2k [(k  1) 1] 2k 1 (k 1)2(k 1) 1 . 
 Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: 
 221  3 22   4 2 3 (k  1) 2k [(k  1) 1] 2k 1
 k 2k 1 [( k 1) 1]  2k 1
 (2k 2)  2k 1
 (k 1)  2  2k 1
 (k 1)2k 2
 (k 1)  2(k 1) 1 .
 Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n 1. 
 1 1 1
Câu 2. Đặt S  . 
 n 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
 a) Tính SSS1, 2, 3 . 
 b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp. 
 Lời giải: 
 1 1 1 1 2 1 1 1 3
 a) SS , , S .
 1 1.3 32 1.3 3.5 53 1.3 3.5 5.7 7
 n
 b) Từ a) ta có thể dự đoán S . 
 n 2n 1
 Ta chứng minh bằng quy nạp theo n . 
 1 1
 Bước 1. Với n 1 ta có S . 
 1 3 2.1 1
 Như vậy khẳng định đúng cho trường hợ n 1 . 
 k
 Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n k , tức là ta có: S .
 k 2k 1
 Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n k 1 , nghĩa là ta sẽ chứng minh: 
 k 1
 S .
 k 1 2(k 1) 1
 Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: 
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n. 
Câu 5. Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n * . 
 n2 ( n 1)2
 a) 13 23 3 3  n3 
 4
 b) 1.4 2.7 3.10  n (3n 1) n ( n 1)2
 1 1 1 1 n
 c)  . 
 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2 n 1
 Lời giải 
 12 (1 1)2
 a) Bước 1. Với n 1, ta có 13 . Do đó đẳng thức đúng với n 1 .
 4
 Bước 2. Giả sử đằng thức đúng với n k 1, nghĩa là có: 
 k2 ( k 1)2
 13 23 3 3  k 3 
 4
 Ta cần chứng minh đằng thức đúng với n k 1, nghĩa là cần chứng minh: 
 (k 1)
 13 23 3 3  k3 ( k 1)3 [(k 1) 1]2 4
 2
 Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: 
 13 23 3 3  k3 (k 1)3 
 k 2 (k 1)2
 (k 1)3
 4
 k 2 (k 1)2 4( k 1)3
 4 4
 (k 1)2 k2 4( k 1) 
 4
 (k 1)2 k 2 4 k 4 
 4
 (k 1)2 ( k 2)2 ( k 1)2 [( k 1) 1]2
 . 
 4 4
 Vậy đẳng thức đúng với n k 1. 
 Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n 1. 
 b) Bước 1. Với n 1, ta có 1(3 1 1) 4 1(1 1)2 . Do đó đằng thức đúng với n 1.
 Bước 2. Giả sử đằng thức đúng với n k 1, nghĩa là có:
 1.4 2.7 3.10  k (3k 1) k ( k 1)2
 Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là cần chứng minh:
 1.4 2.7 3.10  k (3k 1) ( k 1)[3( k 1) 1] ( k 1)[( k 1) 1]2
 Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: 1.4 2.7 3.10  k (3k 1) ( k 1)[3( k 1) 1]
 k(k 1)2 ( k 1)[3( k 1) 1]
 (k 1)[ k ( k 1) 3( k 1) 1]
 (k 1) k2 4 k 4 
 (k 1)( k 2)2 ( k 1)[( k 1) 1]2
 Vậy đẳng thức đúng với n k 1. 
 Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n 1. 
 1 1 1
 c) Bước 1. Với n 1, ta có . Do đó đẳng thức đúng với n 1. 
 (2.1 1)(2.1 1) 3 2.1 1
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n 1. 
 n 3 *
Câu 7. Chứng minh rằng 8 n với mọi n . 
 Lời giải: 
 Bước 1. Với n 1 , ta có 81 8 1 13 . Do đó bất đằng thức đúng với n 1 . 
 Bước 2. Giả sử bất đằng thức đúng với n k 1, nghĩa là có: 8k k3 . 
 Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là cần chứng minh: 
 8k 1 (k 1)3 . 
 Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: 
 8k 1 8  8k 8k 3kkkkkk 3 3 3 3 3 3 33 2 3 kvìk 1( 1) ( k 1)3 . 
 Vậy bất đẳng thức đúng với n k 1. 
 Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n 1. 
 1 1 1n 1
Câu 8. Chứng minh rằng bất đẳng thức 1  đúng với mọi n * . 
 2 3n 2
 Lời giải: 
 1 1 1
 Bước 1. Với n 1 , ta có 1 . Do đó bất đẳng thức đúng với n 1 .
 1 2
 Bước 2. Giả sử bất đằng thức đúng với n k 1, nghĩa là có: 
 1 1 1k 1
 1  .
 2 3k 2
 Ta cần chứng minh bất đằng thức đúng với n k 1, nghĩa là cần chứng minh: 
 1 1 1 1 (k 1) 1
 1  .
 2 3 k k 1 2
 Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: 
 1 1 11k 11(1)2k 2 k2 23 k 
 1  
 2 3 k k 1 2k 1 2( k 1) 2( k 1)
 kk2 2 1 2 kkkkk2 2 22 3 2 ( kk 1)( 2) k 2 ( k 1) 1
 2(k 1) 2(k 1) 2(k 1) 2(k 1) 2 2
 Vậy bất đẳng thức đúng với n k 1. 
 Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n 1. 
Câu 9. Với một bình rỗng có dung tích 2l , một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau: 
 Bước 1: Rót 1l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình. 
 Bước 2: Rót 1l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình. 
 Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4, 
 *
 Kí hiệu an là lượng nước có trong bình sau bước n n .
 *
 a)Tính a1,a2, a 3 . Từ đó dự đoán công thức tính an với n . 
 b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
 Lời giải: 
 1 1
 a)Sau bước 1 thì trong bình có l nước, do đó a 
 2 1 2
 1 
 1 
 2 3 3
 Sau bước 2 thì trong bình có: l nước, do đó a 
 2 4 2 4
 3 
 1 
 4 7 7
 Sau bước 3 thì trong bình có: l nước, do đó a 
 2 8 2 8
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 1 k k k 8 8 8
 1 C8 ( 3)x  C8 ( 3) x  C8 ( 3) x
 3 3 3
 Số hạng chứa x ứng với giá trị k 3. Hệ số của số hạng này là C8 ( 3) 1512 . 
 b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
 7 k 7
 x 0 7 1 6 x k 7 k x 7 x 
 1 C71 C 7 1  C7 1  C7 
 2 2 2 2 
 k 7
 1 1 k 1 k 7 1 7
 1 C7 x  C7 x  C7 x
 2 2 2 
 3
 3 3 1 35
 Số hạng chứa x ứng với giá trị k 3. Hệ số của số hạng này là C7 . 
 2 8
Câu 14. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của (2x 3)( x 2)6 . 
 Lời giải: 
 (2x 3)(x 2)6
 2x( x 2)6 3( x 2)6
 Ta tìm hệ số của x5 trong từng khai triển: 2x(x 2)6 và 3(x 2)6 . 
 +) 2x ( x 2)6
 2xCxCx 0 6 1 5 (2) Cx24 (2) 233 Cx (2) 342 Cx (2) 45 Cx (2) 56 C (2) 6 
 6 6 6 6 6 6 6 
 0 7 1 6 2 2 5 3 3 4 4 4 3 5 5 2 6 6
 2C6 x 2( 2) Cx6 2( 2) Cx6 2( 2) Cx6 2( 2) Cx6 2( 2) Cx6 2( 2) Cx6
 5 2 2
 Hệ số của x trong khai triển này là 2( 2)C6 120 . 
 +) Có: 3(x 2)6 
 3 C 0 xCx6 1 5 (2) Cx24 (2) 233 Cx (2) 342 Cx (2) 45 Cx (2) 56 C (2) 6 
 6 6 6 6 6 6 6 
 0 6 1 5 2 2 4 3 3 3 4 4 2 5 5 6 6
 3C6 x 3(2) Cx6 3(2) Cx6 3(2) Cx6 3(2) Cx6 3(2) Cx6 3(2) C6
 5 1
 Hệ số của x trong khai triển này là 3( 2)C6 36 . 
 Vậy hệ số của x5 trong khai triển (2x 3)( x 2)6 là 120 ( 36) 84. 
Câu 15. a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 2x )6 , các số hạng được viết theo thứ tự số mũ 
 của x tăng dần. 
 b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026 .
 Lời giải: 
 a)Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
 (1 2x )6
 16 6.15 (2x ) 15.14 (2x ) 2 20.1 3 (2 x ) 3 15.1 2 (2 x ) 4 6.1(2 x )5 (2 x ) 6
 1 12x 60x2 160 x3 240 x4 192 x5 64 x 6
 Ba số hạng đầu tiên của khai triển là 1,12x và 60x2 . 
 b) Với x nhỏ thì x3 , x4,, x 5 x 6 sẽ rất nhỏ. Do đó có thể coi (1 2x )6 1 12x 60 x2 .
 Khi đó 1,026 (1 2  0,01)6 1 12  0,01 60  0,012 1,126 .
Câu 16. Trong khai triển biểu thức (3x 4)15 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận 
 được. 
 Lời giải: 
 Có (3x 4)15
 0 15 1 14 k 15 k k 1 14 15 15
 C15 (3x) C15 (3 x ) (  4)C15 (3 x ) (  4)C15 (3 x )( 4) C15 ( 4)
 15 14 k
 a15x a 14 x  ak x  a1 x a 0 (với ai là hệ số của xi). 
 Facebook Nguyễn Vương 7