Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 2, Bài 2: Nhị thức Newton

 CHUYÊN ĐỀ TỐN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 2. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP - NHỊ THỨC NEWTON
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
 BÀI 2. NHỊ THỨC NEWTON 
 I. CƠNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
 Trong trường hợp tổng quát, với n là số nguyên dương, ta cĩ cơng thức nhị thức Newton: 
 n 0 n1 n 1 k n k k n 1 n 1 n n
 (a b) CaCabn n  Cabn  Cabn Cbn
 Nhận xét 
 Từ cơng thức nhị thức Newton nĩi trên, ta cĩ khai triển của (a b )n như sau: 
 n 0 n1 n 1 2n 2 2 3n 3 3
 (a b) Can CabCab n n Cabn , ở đĩ các dấu “+”, “-" xen kẽ nhau. 
 3 030 1311 2322 33
 Chẳng hạn, ta cĩ: (ab ) Ca3 CabCab3 3 Cb3
 0 3 1 2 1 2 2 3 3
 C3a C 3 a b C3 ab C3 b ;
 4 040 1411 2422 3433 44
 (ab ) Ca4 CabCab4 4 Cab4 Cb4
 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
 C4a CabCab 4 4 Cab4 Cb4 .
 Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau: 
 a) (x y)6 ;
 b) (x y)6 .
 Lời giải: 
 Ta cĩ: 
 6 06 15 242 333 424 55 66
 a) (xy ) Cx6 CxyCxy 6 6 Cxy6 Cxy6 Cxy6 Cy6
 x 6 6xy5 15 xy4 2 20 xy 3 3 15 xy 2 4 6 xyy 5 6 .
 6 06 15 242 333 424 55 66
 b) (xy ) Cx6 CxyCxy 6 6 Cxy6 Cxy6 Cxy6 Cy6
 x6 6 xy5 15 xy4 2 20 xy 3 3 15 xy 2 4 6 xyy 5 6 .
 Ví dụ 2. Khai triển biểu thức (x 2)7 .
 Lời giải: 
 7 7 16 252 343 434 525 66 7
 (x 2) xCx 7 2 Cx7 2 Cx7 2 Cx7 2 Cx7 2 Cx7 2 2
 Ví dụ 3. Khai triển biểu thức (x 1)n với n * . 
 Lời giải: 
 n 0 n1 n 1 k n k k n 1 n 1 n n
 (x 1) Cn x C n x   1 Cn x   1 Cn x  1 Cn 1
 0n 1 n 1 k n k n 1 n
 Cn x C n x  Cn x  Cn x C n .
 Ví dụ 4. Cho n * , tính mỗi tổng sau: 
 0 1 2 2n 1 2n
 a) A CCCCC2n 2 n 2 n  2n 2 n
 0 1 2 2n 1 2n
 b) B CCCCC2n 2 n 2 n  2n 2 n ; 
 0 2 4 2n 2 2n 1 3 5 2n 3 2n 1
 c) C CCCCC2n 2 n 2 n  2n 2 n ; D CCCCC2n 2 n 2 n  2n 2 n . Tính C D
 Lời giải: 
 a) Ta cĩ:
 2n 0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 2n 1 2 n 1 2 n 2 n
 (a b) Ca2n CabCab2n 2n  Cab2n Cb2n .
 Cho a b 1, ta cĩ: 
 2n 0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 2n 1 2 n 1 2 n 2 n
 (11) C2n 1 CC2n 1111  2n   CC2n 11  2n 1
 0 1 2 2n 1 2 n
 CCCCC2n 2 n 2 n  2n 2 n .
 Vậy A (1 1)2n 22n . 
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TỐN 10 
b) Khai triển của nhị thức (a b)6 là:
 (a b)6 a6 6 a 5 b 15 a4 b 2 20 a 3 b 3 15 a 2 b 4 6 ab 5 b 6 .
Ví dụ 8. Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:
 7
a) x y 
 7
b) x 2 
 Lời giải: 
Tam giác Pascal ứng với n 7 là: 
Vậy: 
a) (xy )7 x7 7 xy 6 21 xy5 2 35 xy 4 3 35 xy 3 4 21 xy 2 5 7 xyy 6 7 .
b) (x 2)7
  x7 7 x6 ( 2) 21 x5 ( 2) 2 35 x 4 ( 2) 3 35 x 3 ( 2) 4 21 x 2 ( 2) 5 7 x ( 2)6 ( 2) 7
 x7 14 x 6 84 x 5 280 x4 560 x3 672 x2 448 x 128
III. HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
Trong mục này, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của các hệ số trong khai triển nhị thức Newton 
 ()a b n . 
1. Sự biến thiên của dãy hệ số trong khai triển nhị thức ()a b n
 0 1 2n 1 n n
Nhận xét: Một cách tổng quát, dãy hệ số: CnCCCC n n n n trong khai triển ()a b cĩ hai tính 
chất sau: 
- Các cặp hệ số tính từ hai đầu trở vào (tương ứng) thì bằng nhau:
 k n k *
 Cn C n  k , k n , n . 
- Dãy hệ số tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần:
 0 1 2 n 2n 1 n
 Cn CC n n  và  CCCn n n . 
Ví dụ 9. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của: 
a) (a b)6
b) (a b)7 .
 Lời giải: 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TỐN 10 
 Lời giải: 
 a) (2x y )6
 0 615 2 423332 221 566
 C6 (2)x CxyCxyCxyCxyCxyCy6 (2) 6 (2) 6 (2) 6 (2) 6 (2) 6
 6 6 155 2442 3333 4224 5 5 6
 2 x C6 2 x y C6 2 x y C6 2 x y C6 2 x y C6 2 xy y .
 b) (x 3y )6
 [x ( 3y )]6
 0 6 1 5 24 233 342 45 56 6
 C6 xCx 6 ( 3) yCx6 (3) y Cx6 (3) yCx6 (3) y CxyC6 (3)6 (3) y
 6 15 2242 3333 4424 555 66
 x C6 3 x y C6 3 x y C6 3 x y C6 3 x y C6 3 xy 3 y
 c) (x 1)n
 n
 (x ( 1)]
 0 n 1n 1 2n 2 2 n 1 n 1 n n
 Cn x Cn x( 1) Cn x ( 1)  Cn x( 1) Cn ( 1)
 n 1 n 1 2 2n 2 n 1 n 1 n
 x Cn ( 1) x Cn ( 1) x  Cn ( 1) x ( 1) . 
 d) (x 2)n
 0 n 1n 1 2n 2 2 n 1 n 1 n n
 Cn x Cn x2 Cn x2  Cn x2 Cn 2
 n 1 n 1 2 2n 2 n 1 n 1 n
 x Cn 2 x Cn 2 x  Cn 2 x 2 .
 e) (x y)2n
 0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 2n 1 2 n 1 2 n 2 n
 C2n x C2n x y C2n x y  C2n xy C2n y
 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 2n 1 2 n 1 2 n
 x C2n x y C2n x y  C2n xy y . 
 g) (x y)2n
 0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 2n 1 2n 1 2 n 2 n
 C2n xCx 2n ( yCx)() 2n y  Cxy2n ()() Cy2n 
 0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 2n 1 2 n 1 2 n 2 n
 C2n x C2n x y C2n x y  C2n xy C2n y
 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 2n 1 2 n 1 2 n
 x C2n x y C2n x y  C2n xy y . 
Câu 2. Hãy khai triển (x 2)6 . 
 Lời giải 
 Áp dụng cơng thức nhị thức Newton, ta cĩ 
 6 0615 2423334245 566
 (x 2)       CxCx6 6 2 Cx6 2 Cx6 2 Cx6 2 Cx6 2 C6 2
 x6 12x5 60 x 4 160 x3 240 x2 192 x 64.
Câu 3. Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển (x 1)7 . 
 Lời giải 
 Sử dụng tam giác Pascal, ta cĩ: 
 (x 1)7 x7   7 x 6 ( 1) 21 x5 ( 1) 2  35x4 ( 1) 3  35x3 ( 1) 4  21x2 ( 1) 5  7 x ( 1)6 ( 1) 7
 x7 7 x6 21 x 5 35 x 4 35 x 3 21 x 2 7 x 1.
Câu 4. Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển: 
 a) (2x 1)6
 b) (x y)7 .
 Lời giải 
 a) (2x 1)6
 (2x )6 6(2x )5 1 15(2 x )4 1 2 20(2 x )3 1 3 15(2 x )2 1 4 6(2 x )15 1 6
 64x6 192x5 240 x4 160 x 3 60 x 2 12 x 1.
 b) (x y)7
 x7 7xyxy6 ( ) 215 ( ) 2 35 xy 4 ( ) 3 35 xy 3 ( ) 4 21 xyxy 2 ( ) 5 7 ( )6 ( y ) 7
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TỐN 10 
 Lời giải 
 Khai triển của (a b)6 cĩ dạng 
 (a b)?????6 a6 ab 5 ab 4 2 ab 3 3 ab 2 4 abb 5 6 
 Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 6 của tam giác Pascal. Do đĩ ta cĩ ngay 
 (a b)6 a6 6 a 5 b 15 a4 b 2 20 a 3 b 3 15 a 2 b 4 6 ab 5 b 6 
Câu 11. Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (3 2x )5 . 
 Lời giải 
 Ta viết khai triển của (a b)5 rồi sau đĩ thay a 3,b 2 x vào khai triển nhận đượcc. 
 Dựa vào hàng 5 của tam giác Pascal, ta cĩ 
 (a b)5 a5 5 a 4 b 10 a3 b 2 10 a 2 b 3 5 ab 4 b 5 
 Với a 3,b 2 x, ta được 
 (3 2x )5   35 5 3 4 ( 2x ) 10 33 ( 2 x ) 2  10 3 2 ( 2x ) 3  5 3( 2 x )4 ( 2 x )5
 243 810x 1080x2 720 x3 240 x4 32 x 5
Câu 12. a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a b)7 . 
 b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x 1)4 .
 Lời giải: 
 a) (a b)7 a7 7 a 6 b 21 a 52 b 35 a 43 b 35 a 34 b 21 a 25 b 7 ab 67 b .
 4 4 4 3 2 2 3 4
 b) (2x 1) (2x (1)] (2)x 4(2)(1) x 6(2)(1) x 4(2)(1)x (1)
 16x4 32x3 24 x 2 8 x 1
 Dưới đây ta sẽ xây dựng cơng thức cho phép xác định trực tiếp hệ số bất kì trong khai triển
 (a b)n
 k
 Tính chất của các số Cn : 
 k n k
 - Cn C n (0 k n ) (Tính chất đối xứng). 
 k 1 k k
 - Cn 1 C n 1 C n (1 k n ) (Hệ thức Pascal). 
Câu 13. Viết khai triển nhị thức Newton (a b)6 . 
 Lời giải 
 Ta cĩ 
 6 06 15 242 333 424 55 66
 (a b) C6 a C6 a b C6 a b C6 a b C6 a b C6 ab C6 b
 a6 6a 5 b 15 a 4 b 2 20 a 3 b 3 15 a 2 b 4 6 ab 5 b 6
 Như vậy, ta tìm lại được kết quả của Ví dụ 1, nhưng bằng phương pháp khác. 
 k 6 k 0 1 2 3
 Chú ý. Vì C6 C6 (0 k 6) nên ta chỉ cần tính C6 ,CCC6,, 6 6 và dùng tính chất này để suy ra 
 4 5 6
 C6 ,CC6, 6
Câu 14. Khai triển biểu thức (3x 2)4 . 
 Lời giải 
 Theo cơng thức nhị thức Newton, ta cĩ 
 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
 (3x 2) C4 (3 x ) C4 (3 x ) ( 2) C4 (3 x ) ( 2) C4 (3 x )( 2) C4 ( 2)
 81x4 216x3 216 x2 96 x 16
 6
Câu 15. Khai triển (x 2y ) .
 Lời giải: 
 Facebook Nguyễn Vương 7