Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 2, Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 2. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP - NHỊ THỨC NEWTON
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
 BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
 Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n 1 bằng phương pháp quy nạp toán học, ta 
 làm như sau: 
 Bước 1. Chứng tỏ mệnh đề đúng với n 1. 
 Bước 2. Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P( k) là mệnh đề đúng (gọi là giả thiết quy nạp), 
 ta phải chứng tỏ P( k 1) cũng là mệnh đề đúng. 
 Nhận xét: Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n, n m m * bằng phương pháp
 quy nạp toán học, ở Bước 1 trong cách làm trên, ta phải chứng tỏ mệnh đề đúng với n m . 
 PHẦN A. VÍ DỤ 
 Ví dụ 1. Chứng minh rằng n3 n chia hết cho 3 với mọi n * . 
 Lời giải 
 Bước 1. Khi n 1, ta có: 13 1 0 chia hết cho 3. 
 Bước 2. Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà k 3 k chia hết cho 3, ta phải chứng minh 
 (k 1)3 ( k 1) chia hết cho 3. 
 Thật vậy, ta có: (k 1)3 ( k 1) k3 3 k 2 3 k 1 k 1 k3 k 3 k2 k .
 Theo giả thiết quy nạp, k 3 k 3, mà 3 k2 k 3.
 3 2  3 
 Suy ra k k 3 k k 3, tức là (k 1) ( k 1)  3.
 Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, n3 n chia hết cho 3 với mọi n * . 
 1 1 1 n
 Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi n * , ta có:  . 
 1.2 2.3n ( n 1) n 1
 Lời giải 
 1 1
 Bước 1. Khi n 1, ta có: , vậy đẳng thức đúng với n 1. 
 1(1 1) 1 1
 Bước 2. Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức 
 1 1 1 k 1
 cũng đúng với k 1 , tức là  . 
 1.2 2.3 (k 1)[(k 1) 1] ( k 1) 1
 1 1 1 k
 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:  . 
 1.2 2.3k ( k 1) k 1
 Suy ra 
 1 1 1 1
  
 1.2 2.3k ( k 1) ( k 1)[( k 1) 1]
 k 1
 k 1 (k 1)( k 2)
 k2 2 k 1 ( k 1)2
 (k 1)( k 2) ( k 1)( k 2)
 k 1 k 1
 . 
 k 2 ( k 1) 1
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
b) Nêu quy luật xếp số chấm lần lượt ở hàng thứ nhất, hàng thứ hai, theo thứ tự từ dưới lên trên
trong hình 2b. Tính số chấm ở hàng thứ n .
c) Ghép Hình 2a và Hình 2b ta được Hình 3. Giả sử Hình 2a và Hình 2b có n hàng. Tính số
 *
chấm có trong Hình 3. Từ đó, xác định công thức tính tổng: Tn 1 2 3  n với mọi n 
và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học. 
 Lời giải 
a) Số chấm ở hàng thứ n theo thứ tự từ trên xuống dưới trong Hình 2a là n .
b) Số chấm ở hàng thứ n theo thứ tự từ dưới lên trên trong Hình 2b là n .
c) Do các chấm ở Hình 3 xếp thành n hàng và n 1 cột nên số chấm ở Hình 3 là Sn n ( n 1) . 
Gọi Tn là số chấm ở Hình 2a . Khi đó Tn 1 2 3  n . Mặt khác, số chấm ở Hình 2b cũng 
 1 n(n 1) n(n 1)
là T . Suy ra TS . Vậy T 1 2 3  n . Ta chứng minh
 n n 2n 2 n 2
 n(n 1)
 T với mọi n * bằng phương pháp quy nạp toán học như sau: 
 n 2
 1(1 1)
Bước 1. Khi n 1, ta có: T 1 . Vậy đẳng thức đúng. 
 1 2
Bước 2. Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức 
 (k 1)(k 2)
cũng đúng với k 1, tức là T . 
 k 1 2
 k(k 1)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: T . 
 k 2
 k(k 1) (k 1)( k 2)
Suy ra T  1 2 3k ( k 1) k 1 . 
 k 1 2 2
Vậy đẳng thức đúng với k 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi 
 n * . 
Ví dụ 6 
a) Diện tích của các hình tô màu trong mỗi hàng ở Hình 4 được viết ở bên trái mỗi hàng đó. Tiếp
tục vẽ theo quy luật đó, hãy tìm diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n .
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 Vậy đẳng thức đúng với k 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi 
 2
 * 3 3 3 3 n(n 1) *
 n , tức là Pn 1 2 3  n với mọi n . 
 2 
 PHẦN B. BÀI TẬP 
Câu 1. Chứng minh: 
 1 1 1
 a) ... n 1 1 với mọi n * 
 1 2 2 3 n n 1
 2
 23 1 33 1 4 3 1n3 1 2 n n 1 
 b) . . ... với mọi n *,n 2 . 
 23 1 3 3 1 4 3 1n3 1 3 n n 1 
 Lời giải 
 a) 
 +) Khi n 1 , ta có: 
 1 2 1 2 1 2 1
 2 1 1 1 1
 1 2 ( 1 2)( 2 1) ( 2)2 12 1
 Vậy mệnh đề đúng với n 1 . 
 +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng 
 đúng với k 1, tức là: 
 1 1 1
  (k 1) 1 1
 1 2 2 3k 1 ( k 1) 1
 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 
 1 1 1
  k 1 1
 1 2 2 3 k k 1
 Khi đó: 
 1 1 1
  
 1 2 2 3k 1 (k 1) 1
 1 1 1 1
  
 1 2 2 3 k k 1 k 1 ( k 1) 1
 1 1 1 1
  
 1 2 2 3 k k 1 k 1 ( k 1) 1
 1
 ( k 1 1) 
 k 1 ( k 1) 1
 (k 1) 1 k 1
 (k 1 1) 
 ( k 1 ( k 1) 1)( ( k 1) 1 k 1)
 (k 1) 1 k 1
 ( k 1 1) 
 [(k 1) 1] ( k 1)
 (k 1) 1 k 1
 ( k 1 1) 
 1
 ( k 1 1) ( (k 1) 1 k 1)
 (k 1) 1 1.
 Vậy mệnh đề cũng đúng với n k 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho 
 đúng với mọi n * . 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
+) Với  k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng 
 k 1
với k 1, tức là: (1 2) viết được dưới dạng ak 1 bk 1 2 , trong đó ak 1, bk 1 là các số 
nguyên dương. 
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 
 k
 (1 2) ak bk 2 , với ak , bk là các số nguyên dương. 
Khi đó: 
 (1 2)k 1 (1 2)(1k 2)
 a b 2 (1 2)
 k k 
 ak1 b k 2  1 ak  2 bk 2  2
 ak b k2 a k 2 2  bk
 ak 2  b k a k b k 2.
Vì ak , bk là các số nguyên dương nên ak 2bk và ak bk cũng là các số nguyên dương. 
Vậy mệnh đề cũng đúng với n k 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho 
đúng với mọi n * . 
+) Theo chứng minh trên ta có: 
 * n
Với mọi n thì (1 2) an bn 2 với an ,bn là các số nguyên dương. 
Chứng minh tương tự ta được: 
 * n
Với mọi n thì (1 2) cn dn 2 với cn , dn là các số nguyên dương. 
 *
Giờ ta chứng minh an cn và bn dn với mọi n . 
Cách 1: 
 *
Xét mệnh đề P (n ) : an cn và bn dn với mọi n . 
+) Khi n 1, ta có: 
 1
 (12)12112  a1 1,b1 1
 1
 (12)12112  c1 1, d 1 1
Vậy a1 c1, b 1 d 1 . 
Vậy mệnh đề P(n) đúng với n 1 . 
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề P(n) 
cũng đúng với k 1 , tức là: ak 1 ck 1 và bk 1 dk 1 . 
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: ak ck và bk dk (1) . 
Mặt khác: 
 Facebook Nguyễn Vương 7 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 
 16k 1 15(k 1) 1
 16  16k 15k 16
 1616k (240k 225k ) 16
 1616k 240k 225 k 16
 16 16k 240k 16 225k
 16 16k 15k 1 225k
 Vì 16k 15k 1 và 225k đều chia hết cho 225 nên 1616 k 15k 1 225k 225 , do đó
 16k 1 15(k 1) 1 225 . 
 Vậy mệnh đề cũng đúng với n k 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho 
 đúng với mọi n * . 
 2 n n 1
 S 1 2 2  2 T 2 1 *
Câu 4. Cho n và n , với n . 
 a) So sánh S1 và T1;S2 và T2;S3 và T3 . 
 b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. 
 Lời giải 
 1 2 2 3
 a) S1 1 2 3, S2 122 7, S3 122 2 15
 1 1 2 1 3 1
 T1 2 1 3,T2 2 1 7,T3 2 1 15.
 Vậy S1 TSTST1; 2 2; 3 3 . 
 *
 b) Ta dự đoán Sn Tn với n . 
 +) Khi n 1 , ta có: S1 T1 . 
 Vậy mệnh đề đúng với n 1 . 
 +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng 
 với k 1, tức là: Sk 1 Tk 1 . 
 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: Sk Tk . 
 Khi đó: 
 2 k k 1
 Sk 1 1 2 2  2 2
 k 1
 Sk 2
 k 1
 Tk 2
 2k 1 1 2k 1
 2  2k 1 1
 2k 2 1
 2(k 1) 1 1
 Tk 1.
 Vậy mệnh đề cũng đúng với n k 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho 
 * n 1 *
 đúng với mọi n . Vậy Sn Tn 2 1 với n . 
 1 1 1 1
 Sn 1 2  n Tn 2 n
Câu 5. Cho 2 2 2 và 2 , với n * . 
 a)So sánh S1 và T1;S2 và T2;S3 và T3 . 
 b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. 
 Lời giải 
 Facebook Nguyễn Vương 9