Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 1, Bài 2: Ứng dụng hệ phương trình

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
 BÀI 2. ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là một công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong thực tiễn cũng 
 như trong các môn học khác như: Vật lí, Hoá học, Sinh học, Kinh tế,... 
 I. ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ
 1. Ứng dụng trong bài toán về mạch điện
 Bài toán 1. Cho mạch điện như Hình 1. Biết RRR1 36 ,2 90  ,3 60  và UV 60 . Gọi I1
 là cường độ dòng điện chạy qua mạch chính, I2 và I3 là cường độ dòng điện chạy qua hai nhánh. 
 Tính III1, 2, 3 . 
 Giải 
 Cường độ dòng điện của đoạn mạch mắc song song là: I2 I3 . 
 Ta có: III1 2 3 hay III1 2 3 0 . 
 Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch mắc song song là: UIRIR2 2 2 3  3 nên 90II2 60 3 hay 
 3II2 23 0 . 
 Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch AB là: UUU 1 2 nên 60 IRIR1 1 2  2 hay 
 36IIII1 902 60 61 15 2 10 . 
 III1 2 3 0
 Ta có hệ phương trình: 3II2 2 3 0 . 
 6II1 15 2 10
 5 1 1
 Giải hệ phương trình, ta được IAIAIA ( ), ( ), ( ) . 
 1 62 33 2
 2. Ứng dụng trong viễn thông
 Bài toán 2. Cũng như trong mặt phẳng toạ độ, trong không gian ta có thể đưa vào hệ trục tọa độ
 Oxyz . Khi đó, mỗi điểm M trong không gian có toạ độ là bộ ba số x0 ; y0; z 0 và được kí hiệu là
 M x0 ; y0; z 0 ( H 2) . 
 Khoảng cách giữa hai điểm P x1; y1; z 1 , Q x2 ; y2; z 2 trong không gian được tính như sau: 
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
Bước 1. Coi x1, x2,, x 3 x 4 là các ẩn, lập hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn dựa theo định luật bảo 
toàn nguyên tố trong phản ứng hoá học. 
Bước 2. Chọn ra một trong bốn ẩn x1, x2,, x 3 x 4 và cho ẩn đó một giá trị cụ thể. Thông thường, ta 
chọn ra ẩn ứng với phân tử có cấu trúc phức tạp nhất trong bốn phân tử A1, AAA2 , 3 , 4 . Giải hệ 
phương trình bậc nhất theo ba ẩn còn lại. 
 t
Bài toán 3. Tìm các hệ số x, y, z để cân bằng phương trình: xFe3 O4 yO 2 zFe 2 O 3 . 
Giải 
Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và O, ta có: 3x 2z hay 3x 2z 0 và 
 4x 2y 3 z hay 4x 2y 3 z 0 . 
 3x 2 z 0
Ta có hệ phương trình sau: I 
 4x 2y 3 z 0
 x 4 x 4
Chọn x 4 . Khi đó, hệ (1) trở thành 2z 12 z 6
 2y 3 z 16 y 1
 t0
Vậy ta có phương trình sau cân bằng: 4Fe3 O4 O 2  6 Fe2 O 3 . 
Bài toán 4. Hoà tan hoàn toàn 13, 4 g hỗn hợp X gồm Mg, Al, Fe , vào dung dịch H 2SO4 đặc 
nóng dư thu được 0,55 mol khí SO2 chỉ theo các phương trình phản ứng hoá học (1), (2), (3). Mặt 
khác, nếu cho 13, 4 g hỗn hợp trên tác dụng với dung dịch HCl dư thì thu được 0,5 mol khí H 2
chỉ theo các phương trình phản ứng hoá học (4),(5),(6) : 
 t
 Mg 2H2 SO4 MgSO4 2 H 2 O SO 2 (1) Mg 2 HCl MgCl2 H 2 (4)
 Soá mol a a a a 
 t
 2Al 6 H SO Al SO 6 H O 3(2) SO 2 Al 6 HCl 2 AlCl 3(5) H
 2 4 2 4 3 2 2 3 2 
 Soá mol b 1,5b b 1,5b 
 t
 2Fe 6 H SO Fe SO 6 H O 3 SO(3) Fe 2 HCl FeCl H (6)
 2 4 2 4 3 2 2 2 2
 Soá mol c 1,5c c c
Ở đó, a,b,(,, c a b c lớn hơn 0 ) lần lượt là số mol của Mg, Al và Fe trong hỗn hợp X . 
Tính khối lượng Mg, Al, Fe trong hỗn hợp X . 
Giải 
Do khối lượng hỗn hợp X bằng 13,4 g; nguyên tử khối (khối lượng mol) của Mg, Al, Fe lần lượt 
là 24, 27,56 nên ta có: 24a 27b 56 c 13, 4 . 
Số mol SO2 là 0,55 (mol). 
Từ các phương trình (1), (2), (3), ta có: a 1,5b 1,5 c 0,55 . 
Số mol H 2 là 0,5( mol ) . 
Từ các phương trình (4), (5), (6), ta có: a 1,5b c 0,5 . 
 24a 27 b 56 c 13,4
Ta có hệ phương trình: a 1,5 b 1,5 c 0,55
 a 1,5 b c 0,5.
Giải hệ phương trình, ta được: a 0,1( molb ); 0, 2( molc ); 0,1( mol ) . 
Vậy ta có: 
Khối lượng Mg trong hỗn hợp X là: 24.0,1 2, 4( g ) . 
Khối lượng Al trong hỗn hợp X là: 27.0, 2 5, 4( g ) . 
Khối lượng Fe trong hỗn hợp X là: 56 0,1 5,6( g ) . 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
III. ỨNG DỤNG TRONG SINH HỌC
Bài toán 7. Một phân tử DNA có tổng số nucleotide (nu) loại G với một loại nucleotide khác 
bằng 60% tổng số nucleotide của phân tử DNA. Tổng số liên kết hydrogen của phân tử DNA là 3 
 1 1
120. Trong mạch 1 có số nu loại A bằng số nu loại G và bằng số nu loại T. Xác định số 
 2 4
nucleotide mỗi loại trên từng mạch của phân tử DNA đó. 
Giải 
Kí hiệu: A,GTX,, lần lượt là tổng số nu loại A,GTX,, của phân tử DNA; N là tổng số nu của 
phân tử DNA; 
 A1,GTX1, 1 , 1 lần lượt là tổng số nu loại A,GTX,, trong mạch 1; A2 ,GTX2, 2 , 2 lần lượt là tổng số 
nu loại A,GTX,, trong mạch 2. 
-Ta có: G ANATGX 50% ; ; .
Mà đề bài cho tổng số nu loại G với một loại nu khác là 60% của N nên G XN 60% . Suy
ra G XN 30% và A TN 40% .
Vì A T nên từ A TN 40% ta có: A TN 20% . Do đó, G 1,5 A.
-Ta có số liên kết hydrogen bằng 2 A 3G 3120 mà G 1,5 A nên A TGX 480; 720 .
Vậy N 2( AG ) 2400 .
Do đó, tổng số nucleotide của phân tử DNA trên mỗi mạch là 2400 : 2 1200.
-Ta có: A1 TAT2, 2 1 nên A1 TAA1 1 2 480 . 
 1 1
Theo giả thiết ở mạch 1 có A GT hay G 2 ATA , 4 . 
 1 2 14 1 1 1 1 1
 AT1 1 480 A1 96
Ta có hệ phương trình: 4 AT1 1 0 T1 384
 2 AGG1 1 0 1 192
Vậy số nucleotide loại X của mạch 1 là: X1 1200 96 384 192 528. 
-Ở mạch 2, ta có:
 A2 TTAGXXG1 384;2 1 96;2 1 528;2 1 192.
IV. ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
1. Mô hình cân bằng thị trường hàng hoá có liên quan
Giả sử trên thị trường có n loại hàng hoá được mua và bán, đánh số lần lượt là hàng hoá
 1, 2, , n . Ta nói n loại hàng hoá đó có liên quan nếu giá của một mặt hàng nào đó thay đổi thì
nó không những ảnh hưởng tới lượng cung (kí hiệu là Q ) và lượng cầu (kí hiệu là Q ) của bản 
 S Di
thân mặt hàng đó, mà nó còn ảnh hưởng tới giá và lượng cung, lượng cầu của các mặt hàng còn 
lại. 
Như vậy, đối với n loại hàng hoá có liên quan thì lượng cung Q (hoặc lượng cầu Q ) của mối 
 Si D
loại hàng hoá là một đại lượng phụ thuộc vào n biến P1, PP2 ,, n , trong đó P1, PP2 ,, n lần lượt 
là giá của hàng hoá 1, 2, , n . Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng 
cầu vào giá của các hàng hoá bởi hàm cung và hàm cầu như sau: 
 Q SPPP, ,, , Q D P, P, , P (1 i n ) , trong đó P, PP,, lân lượt là giá của
 Si i 1 2 n Di i 1 2 n 1 2 n
hàng hoá 1, 2, , n . 
Mô hình cân bằng thị trường n loại hàng hoá có liên quan (cân bằng cung cầu) được xác định bởi 
hệ phương trình: Q Q,1 i n . Giải hệ phương trình đó chúng ta tìm được bộ giá cân bằng 
 Si Di
thị trường: P PPP, ,, . Thay vào Q (hoặc Q ) chúng ta thu được bộ lượng cân bằng thị 
 1 2 n Si Di
trường: Q QQQ1, 2 ,,  n . 
Bài toán 8. Xét thị trường gồm ba loại hàng hoá gồm chè, cà phê, ca cao có hàm cung và hàm cầu 
tương ứng như sau: 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 b) Khi suy thoái kinh tế, ta chọn C 150 0,7(YT ) . Giả sử I0 300 . Hỏi G0 bằng bao nhiêu 
 thì ổn định được tổng thu nhập quốc dân? 
 Giải 
 a) Khi IG0 300,0 900 , mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng: 
 YC 1200
 0,8YCTI 0,8 150 
 0,2YT 0
 Giải hệ phương trình (I), ta có: 
 YC 1200 YC 1200 Y 3750
 I 8YCT 10 8 1500 2CT 8 11100 C 2550 
 2YT 10 0 YT 5 T 750
 b) Theo giả thiết C 150 0,7(YT ) và I0 300 nên mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có 
 dạng:
 YCG 300 
 0
 0,7Y C 0,7 T 150 II . Giải hệ II , ta có:
 0,2YT 0
 CYG 300 CYG 300 
 0 0
 CYG 300 0 
 11 450 G0
 II 0,7 Y Y 300 G0 0,7.0,2 Y 150 YGY 450 0 
 25 0,44
 TY 0,2 TY 2 
 TY 0,2
 450 G
 Để ổn định được thu nhập quốc dân thì Y 0 3750 G 1200 . 
 0,44 0
 BÀI TẬP 
Câu 1. Cho mạch điện như Hình 3. Biết UVR 20 , 0,5  , r1 1 , r2 2  . Tìm cường độ dòng điện 
 I1, I2 , I chạy qua mỗi điện trở. 
 Lời giải 
 Cường độ dòng điện của đoạn mạch mắc song song là: I1 I
 Ta có: II2 1 ∣ hay ∣ II1 2 0 (1). 
 Hiệu điện thế ở đoạn mạch mắc song song là: U r1  I1 R . I nên 
 1.II1 2. . I hay 2II1 1 0(2) . 
 Hiệu điện thế của cả đoạn mạch là: UUU 2 ' nên 
 20 r2  I2 R. I hay 2II 0,52 20(3) . 
 Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 
 III 0
 1 2
 2II 1 0
 2II 0,5 20
 2
 Giải hệ phương trình, ta được 
 Facebook Nguyễn Vương 7