Chuyên đề Toán học 10 - Chuyên đề 1, Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 CHUYÊN ĐỀ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
BÀI 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA
 1. Phương trình bậc nhất ba ẩn
 Nhận xét
 - Phương trình bậc nhất ba ẩn là phương trình có dạng: ax by cz d , trong đó x, y, z là ba ẩn;
 các hệ số a, b, c không đồng thời bằng 0.
 - Nếu phương trình bậc nhất ba ẩn ax by cz d trở thành mệnh đề đúng khi x x0 ; 
 y y0 ; z z0 thì bộ số x0 ; y0; z 0 gọi là một nghiệm của phương trình đó. 
 2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
 - Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình mà mỗi phương trình trong hệ là một
 phương trình bậc nhất đối với ba ẩn đó.
 - Bộ số x0 ; y0; z 0 đồng thời nghiệm đúng tất cả các phương trình của một hệ phương trình bậc 
 nhất ba ẩn được gọi là nghiệm của hệ phương trình đó. 
 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là: 
 a x b y c z d
 1 1 1 1
 a2 x b 2 y c 2 z d 2
 a x b y c z d
 3 3 3 3
 Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số; các hệ số của ba ẩn x, y, z trong mỗi 
 phương trình không đồng thời bằng 0. 
 Cho hai hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: 
 axbyczd mxnypzq 
 1 1 1 1 1 1 1 1
 axbyczd2 2 2 2 (I); mxnypzq2 2 2 2 (II) 
 axbyczd mxnypzq 
 3 3 3 3 3 3 3 3
 Nhận xét 
 - Nếu tập nghiệm của hệ phương trình (I) bằng tập nghiệm của hệ phương trình (II) thì hệ phương
 trình (I) được gọi là tương đương với hệ phương trình (II).
 - Phép biến đổi hệ phương trình bậc nhất ba ẩn về hệ phương trình tương đương với nó được gọi
 là phép biến đổi tương đương hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
 Chú ý: Để giải hệ phương trình (I), ta thường thực hiện một số phép biến đổi tương đương nhằm
 dẫn đến một hệ phương trình có thể tìm được nghiệm một cách dễ dàng.
 Ví dụ 1. Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số
 (1;2; 3) có phải là một nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
 2x 3 y 5 z 13
 a) 4x 2 y 3 z 3
 2
 x 2 y 4 z 1
 2x y z 3
 b) 5x y 3 z 16
 x 2 y 5
 Lời giải 
 Hệ phương trình ở câu a) không phải là hệ phương trình bậc nhất vì phương trình thứ ba chứa z 2 . 
 Hệ phương trình ở câu b) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Thay x 1; y 2; z 3 vào các 
 phương trình trong hệ ta đượcc 
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 Lời giải 
Ta có: 
 x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1
 5x y 3 z 10 16y 7 z 5 16y 7 z 5
 3x 7 y 4 z 7 3 x 7 y 4 z 7 16 y 2 z 10
 x 3y 2 z 1 x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1
 16y 7z 5 16y  7 ( 3) 5 y 1
 5z 15 z 3 z 3
 x 3.1 2  ( 3) 1 x 4
 y 1 y 1
 z 3 z 3.
 4x y 3 z 11
Luyện tập 1. Giải hệ phương trình 2x 3 y 2 z 9 
 x y z 3
 Lời giải: 
 4x y 3 z 11 4x y 3 z 11 4 x y 3 z 11
 2x 3 y 2 z 9 7y 7 z 7 y z 1
 x y z 3 x y z 3 3y 7 z 23
 4x y 3 z 11 4 x y 3 z 11 4 x  ( 3) 3 ( 2) 11 x 2
 y z 1 y ( 2) 1 y 3 y 3
 10z 20 z 2 z 2 z 2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y ; z ) (4;1;2) . 
 x 3y z 1
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 2x y 2 z 2
 x 2 y 3 z 1
 Lời giải 
Ta có: 
 x 3yz 1 xyz 3 1 xyz 3 1 xyz 3 1
 2x y 22 z 540y z 540y z 540 y z
 x 2 y3 z 1 x 2 y 3 z 1 5y 4 z 2 0 2
Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 
 x 2y 6 z 5
Luyện tập 2. Giải hệ phương trình: x y 2 z 3
 x 4 y 2 z 13
 Lời giải: 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 29
 Ta thấy trên màn hình hiện ra x . 
 60
 8
 Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra y . 
 15
 13
 Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra z . 
 12
 29 8 13 
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (;;);;x y z . 
 60 15 12 
 Chú ý: MODE 5 2 để vào chế độ giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. 
 2x 3 y 4 z 5
 Luyện tập 4. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình: 4x 5 y z 6
 3x 4 y 3 z 7
 Lời giải: 
 Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím: 
 22
 Ta thấy trên màn hình hiện ra x . 
 101
 131
 Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra y . 
 101
 39
 Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra z . 
 101
 22 131 39 
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;;);;y z . 
 101 101 101 
BÀI TẬP 
DẠNG 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 
Câu 1. Kiểm tra xem mỗi bộ số (x;;) y z đã cho có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không. 
 x 3 y 2 z 1
 a) 5x y 3 z 16 (0;3; 2),(12;5; 13),(1; 2;3) 
 3x 7 y z 14
 3x y 4 z 10
 b) x y 2 z 6 ( 2;4;0),(0; 3;10),(1; 1;5) 
 2x y z 8
 x y z 100
 c) 1 (4;18;78),(8;11;81),(12;4;84). 
 5x 3 y z 100
 3
 Lời giải: 
 a) 
 +) Thay bộ số (0;3; 2) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 
 0 3  3 2  ( 2) 1 5 1 (sai). Vậy bộ số (0;3; 2) không phải nghiệm của phương trình thứ 
 nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho. 
 +) Thay bộ số (12; 5; -13) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 
 12 3  5 2.( 13) 1 1 1 (đúng). Vậy bộ số (12;5; 13) nghiệm đúng với phương trình thứ 
 nhất của hệ đã cho. 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 
 5. 8 3.11 .81 100 100 100 (đúng). Vậy bộ số (8;11;81) nghiệm đúng với phương trình
 thứ hai của hệ đã cho.
 Vì bộ số (8;11;81) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã
 cho.
 +) Thay bộ số (12;4;84) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
 12 4 84 100 100 100 (đúng). Vậy bộ số (12;4;84) nghiệm đúng với phương trình thứ'
 nhất của hệ đã cho.
 Thay bộ số (12;4;84) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
 5. 12 3 4 .84 100 100 100 (đúng). Vậy bộ số (12;4;84) nghiệm đúng với phương trình
 thứ hai của hệ đã cho.
 Vì bộ số (12;4;84) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình
 đã cho.
Câu 2. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (2;0; 1) có phải là 
 nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không. 
 x 2 z 4 x 2y 3 z 7
 a) 2x y z 5 b) 2x y2 z 2
 3x 2 y 6 x 2 y 1
 Lời giải 
 a) Đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
 Bộ ba số (2;0; 1) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
 Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:
 2 2 ( 1) 4
 2.2 0 ( 1) 5
 3.2 2.0 6
 b) Đây không là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ hai của hệ có chứa y2 .
Câu 3. Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (1;2;2) , ( 1;2;3) 
 có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không? 
 2x 3 y 4 z 4 3x 2 y2 4 z 6
 (1) x 2 y z 8 (2) 4x 5 y 2 z 3 
 3x 4 y z 2 x 3 y z 1
 Lời giải 
 Hệ phương trình (1) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. 
 Hệ phương trình (2) không phải là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, vì phương trình thứ nhất của 
 hệ có chứa y2 . 
 -Thay x 1,y 2, z 2 vào vế trái của từng phương trình ở hệ (1) và so sánh với vế phải, ta
 được:
 Phương trình thứ nhất: 2 6 8 4 (thoả mãn);
 Phương trình thứ hai: 1 4 2 5 8 (không thoả mãn).
 Vậy (1;2;2) không là nghiệm của hệ phương trình (1).
 - Thay x 1,y 2, z 3 vào vế trái của từng phương trình ở hệ (1) và so sánh với vế phải, ta
 được:
 Phương trình thứ nhất: 2 6 12 4 (thoả mãn);
 Phương trình thứ hai: 1 4 3 8 (thoả mãn);
 Phương trình thứ ba: 3 8 3 2 (thoả mãn).
 Vậy ( 1;2;3) là nghiệm của hệ phương trình (1).
Câu 4. Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (1;5;2) , (1;1;1) và 
 ( 1;2;3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?
 Facebook Nguyễn Vương 7