Chuyên đề Tổ hợp, Xác suất, Quy tắc đếm - Đại số 11

 CHƯƠNG II: TỔ HỢP- XÁC SUẤT 
 Bài 1: QUY TẮC ĐẾM 
I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Quy tắc cộng: 
a) Quy tắc cộng cho hai phương án. 
* Giả sử một công việc V có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có m 
cách thực hiện theo phương án và có n cách thực hiện theo phương án . Khi đó có mn 
cách thực hiện công việc 
b) Quy tắc cộng cho nhiều phương án. 
* Giả sử một công việc V có thể được thực hiện theo một trong k phương án AAA12, ,..., k . Có n1 
cách thực hiện theo phương án A1 , có n2 cách thực hiện theo phương án A2 ,..có nk cách thực 
hiện theo phương án Ak . Khi đó có n12 n ... nk cách thực hiện công việc V . 
c) Quy tắc cộng dưới dạng tập hợp 
Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Khi đó n A B n A n B n A  B . 
Đặc biệt: Nếu AB  thì n A B n A n B . 
 2. Quy tắc nhân: 
a) Quy tắc nhân cho hai công đoạn. 
* Giả sử một công việc V được thực hiện qua hai công đoạn liên tiếp và . Có m cách thực 
hiện công đoạn . Với mỗi cách thực hiện công đoạn lại có n cách thực hiện công đoạn . 
Khi đó có mn. cách thực hiện công việc . 
b) Quy tắc nhân cho nhiều công đoạn. 
* Giả sử một công việc V được thực hiện qua k công đoạn liên tiếp nhau AAA12, ,..., k . Có n1 cách 
thực hiện công đoạn A1 , với mỗi cách thực hiện công đoạn có n2 cách thực hiện công đoạn A2
,., với mỗi cách thực hiện công đoạn Ak 1 có nk cách thực hiện công đoạn Ak . Khi đó có 
n12. n .... nk cách thực hiện công việc V . 
c) Quy tắc nhân dưới dạng tập hợp 
Tích Đề các của hai tập hợp A và B là tập hợp Ax B x; y | x A , y B 
Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Khi đó n A B n A . n B . 
II. BÀI TẬP 
DẠNG 1: ĐẾM TRỰC TIẾP. 
A. Phương pháp đếm trực tiếp: 
1. Nội dung phương pháp 
Để đếm số cách thực hiện một công việc, ta phân chia cách thực hiện công việc đó thành các 
phương án, trong mỗi phương án lại chia thành các công đoạn. Sau đó sử dụng quy tắc nhân và quy 
tắc cộng để suy ra số cách thực hiện công việc đó. 
 Trang 1 
 Ví dụ 4 
 Trên giá sách có quyển sách tiếng Việt khác nhau, quyển sách tiếng Anh khác nhau và 
 quyển sách tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách tiếng khác nhau? 
 Lời giải 
Theo quy tắc nhân, có 10.8 80 cách chọn một quyển tiếng Việt và một quyển tiếng Anh; có 
10.6 60 cách chọn một quyển tiếng Việt và một quyển tiếng Pháp; có 8.6 48 cách chọn một 
quyển tiếng Anh và một quyển tiếng Pháp. 
Vậy theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn hai quyển sách tiếng khác nhau là 
 80 60 48 188 
 Ví dụ 5 
 Một người có áo trong đó có áo trắng và cà vạt trong đó có cà vạt màu vàng. Hỏi có 
 bao nhiêu cách chọn áo và cà vạt nếu đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? 
 Lời giải 
Trường hợp 1. Chọn áo trắng. 
Bước 1 : Có 3 cách chọn. 
Bước 2 : Vì không được chọn cà vạt màu vàng nên có 3 cách chọn cà vạt. 
Vậy trường hợp 1 có 3.3 9 cách chọn áo và cà vạt. 
Trường hợp 2. Không chọn áo trắng. 
Bước 1 : Có 4 cách chọn. 
Bước 2 : Có 5 cách chọn cà vạt. 
Vậy trường hợp 1 có 4.5 20 cách chọn áo và cà vạt. 
Do đó có tất cả 20 9 29 cách chọn áo và cà vạt thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
 Ví dụ 6 
 Nhãn mỗi chiếc ghế trong một hội trường gồm hai phần : phần đầu là một chữ cái , phần thứ hai 
 là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác 
 nhau ? 
 Lời giải 
Gọi n là số nguyên dương nhỏ hơn 26. 
Ta có: 0 n 26, n n 1,2,3,...,25 . 
Chọn một chữ cái trong 24 chữ cái có 24 cách. 
Chọn một số nguyên dương có 25 cách. 
Theo quy tắc nhân có : 24.25 600 cách ghi nhãn khác nhau. 
 Ví dụ 7 
 Cho hai đường thẳng song song . Trên lấy điểm phân biệt, trên lấy điểm phân 
 biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ đỉnh nói trên? 
 Trang 3 
 Lời giải 
Xếp 7 bạn nữ thành hàng ngang có 7.6.5.4.3.2.1 5040 cách xếp. 
Khi đó 7 bạn nữ chia hàng ngang thành 8 khoảng trống mà mỗi bạn nữ là một vách ngăn. 
Xếp 5 bạn nam vào 8 khoảng trống đó sao cho mỗi khoảng trống xếp nhiều nhất một bạn nam. Số 
cách xếp 5 bạn nam là: 8.7.6.5.4 6720 cách xếp. 
Theo quy tắc nhân có: 5040 6720 33868800 cách xếp. 
 Ví dụ 2 
 Có bao nhiêu cách chia 10 cái bánh giống nhau cho 3 người sao cho mỗi người có ít nhất một 
 chiếc bánh. 
 Lời giải 
 Xếp 10 cái bánh thành một hàng, khi đó có 9 khoảng trống ở giữa các chiếc bánh. Để chia 
10 chiếc bánh thành 3 phần mà mỗi phần có ít nhất một chiếc, người ta đặt hai chiếc đũa vào 2 
khoảng trống trong 9 khoảng trống đó. Tuy nhiên vai trò hai chiếc đũa là như nhau nên có tất cả 
9.8
 36 cách chia 
 2
 Ví dụ 3 
 Tổ của lớp có học sinh nam và học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp bạn học 
 sinh vào dãy ghế đặt theo hàng ngang sao cho bạn học sinh nam không đứng cạnh nhau? 
 Lời giải 
Có 4 vị trí để xếp 4 học sinh nữ 
 + Vị trí 1: có 4 cách xếp 
 + Vị trí 2: có 3 cách xếp 
 + Vị trí 3: có 2 cách xếp 
 + Vị trí 4: có 1 cách xếp 
Ta có 4 học sinh nữ tạo thành 5 vách ngăn, ta đặt 2 học sinh nam vào 5 vách ngăn đó 
 + Học sinh nam thứ nhất: có 5 cách chọn 
 + Học sinh nam thứ hai: có 4 cách chọn 
Theo quy tắc nhân: 4.3.2.1.5.4 480 cách chọn 
 Ví dụ 4 
 Có bao nhiêu cách xếp bạn nam và bạn nữ vào một bàn tròn có 12 chỗ ngồi, sao cho không 
 có hai bạn nam nào ngồi cạnh nhau. 
 Lời giải 
Xếp bạn nam vào bàn tròn có 1.6.5.4.3.2.1 720 cách xếp. 
Khi đó 7 bạn nam chia vòng tròn quanh bàn thành 7 khoảng trống. 
Xếp 5 bạn nữ vào 7 khoảng trống đó sao cho mỗi khoảng trống xếp nhiều nhất một bạn nữ. Số 
cách xếp 5 bạn nữ là: 7.6.5.4.3 2520 cách xếp. 
Theo quy tắc nhân có: 720 2520 1814400 cách xếp. 
 Trang 5 
 Ví dụ 3 
 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp T, 4 học 
 sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 3 học sinh tham gia trực tuần sao cho 3 học sinh đó 
 thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
 Lời giải 
* Ta đếm số cách chọn 3 học sinh bất kì trong 12 học sinh. 
Chọn bạn thứ nhất có 12 cách. Chọn bạn thứ 2 từ 11 bạn còn lại có 11 cách. Chọn bạn thứ 3 từ 3 
bạn còn lại có 10 cách. 
 12.11.10
Mà mỗi cách chọn như vậy lặp lại 6 lần nên có tất cả 220 cách. 
 6
*Ta đếm số cách chọn 3 học sinh ở cả 3 lớp. 
Chọn 1 HS lớp T có 5 cách. Chọn 1 HS lớp L có 4 cách. Chọn 1 HS lớp H có 3 cách. 
Theo quy tắc nhân có tất cả 5.4.3=60 cách. 
Vậy có 220 60 160 cách. 
 Ví dụ 4 
 Mỗi mật khẩu máy tính gồm 6 ký tự, mỗi ký tự hoặc là một cữ cái hoặc là một chữ số và mặt 
 khẩu phải có ít nhất một chữ số. Hỏi lập được bao nhiêu mật khẩu? 
 Lời giải 
Mỗi ký tự có 26 10 36 cách chọn. Do đó chuỗi gồm 6 ký tự có 366 cách lập. 
Số chuỗi 6 ký tự không có chữ số là 266 . 
 Vậy có tất cả 3666 26 1867866560 mật khẩu. 
 Ví dụ 5 
 Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho bạn C không ngồi 
 đầu. 
 Lời giải 
Số cách xếp 5 học sinh vào 5 vị trí là 5.4.3.2.1=120 cách. 
Ta đếm số cách xếp để bạn C ngồi đầu. 
Ta xếp C trước, sau đó xếp A, B, D ,E. 
Có 2 cách xếp C. 
Xếp A vào 4 vị trí còn lại có 4 cách. 
Xếp B vào 3 vị trí còn lại có 3 cách. 
Xếp C vào 2 vị trí còn lại có 2 cách. 
Xếp E vào 1 vị trí còn lại có 1 cách. 
Như vậy theo quy tắc nhân có 2.1.2.3.4=48 cách xếp sao cho C ngồi giữa. 
Do đó có 120 48 72 cách xếp sao cho C không ngồi đầu. 
 Trang 7 
 5.4
Vì khi thay đổi thứ tự bầu 2 ủy viên thì cũng như nhau. Do vậy số cách bầu 2 ủy viên là 10 
 2
cách 
Số cách chọn là 7.6.10 420 cách 
Như vậy số cách chọn là: 5940 420 5520 cách 
 Ví dụ 8 
 Một học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử để mở cửa lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút 
 được ghi số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên 
 tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành 1 dãy số có tổng 
 lớn hơn 3. Học sinh B chỉ biết muốn mở cửa phải bấm liên tiếp 3 nút. Hỏi có bao nhiêu cách để 
 học sinh B có thể mở được cửa? 
 Lời giải 
- Bước 1: Chọn 3 nút bất kì 
 + Nút thứ nhất: có 10 cách. 
 + Nút thứ hai: có 9 cách. 
 + Nút thứ ba: có 8 cách. 
Vậy số cách chọn: 10.9.8 720 cách 
- Bước 2: Chọn 3 nút nhưng 3 số đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành 1 dãy số có tổng nhỏ hơn hoặc 
bằng 3 
Chúng ta có các trường hợp có thể xảy ra 0;1;2 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;2;0 , 2;1;0 , 2;0;1 
Vậy số cách chọn: 6 cách 
Như vậy số cách để học sinh B mở được cửa là: 720 6 714 cách 
 Ví dụ 9 
 Xét sơ đồ mạng điện như hình vẽ, có 7 công tắc khác nhau, mỗi công tắc có hai trạng thái đóng 
 và mở. Hỏi có bao nhiêu cách đóng-mở 7 công tắc để mạng điện thông mạch từ đến ? 
 Lời giải 
Số cách đóng-mở 7 công tắc là 27 128 . 
Đoạn PQ không thông mạch nếu cả hai đoạn AB và CD đều không thông mạch. 
Số cách đóng- mở đoạn AB là 23 , số cách đóng-mở để AB thông mạch là 1 . 
Do đó số cách đóng- mở để đoạn AB không thông mạch là 213 . 
Tương tự số cách đóng -mở để đoạn CD không thông mạch là 214 
Do đó số cách đóng- mở để đoạn PQ không thông mạch là 234 1 2 1 105 cách. 
Vậy số cách đóng- mở để đoạn PQ thông mạch là: 128 105 23 cách. 
 Trang 9