Chuyên đề Tính vi phân - Đại số Lớp 11

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11. CHƯƠNG V. 
ĐẠO HÀM 
 BÀI 4: VI PHÂN 
 I LÝ THUYẾT 
 = 
1. Định nghĩa: 
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ab; và có đạo hàm tại x a; b . Giả sử x là số 
gia của x . 
Ta gọi tích f x x là vi phân của hàm số y f x tại x ứng với số gia x , ký hiệu là dy , tức 
là: ddy f x f x x . 
2. Chú ý: 
 Với yx ta có dx d x x x 1. x x . 
 Do đó, với y f x ta có dy df x f x dx . 
3.Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng 
 y
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: fx 0 lim . 
 x 0 x
 y
Khi x đủ nhỏ thì fx hay y f x x 
 x 0 0
Từ đó ta có công thức tính gần đúng: f x0 x f x 0 f x 0 x 
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
 DẠNG 1: TÌM VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 
1) PHƯƠNG PHÁP: 
- Áp dụng định nghĩa để tìm vi phân của hàm số fx : 
 dy dfx f x x f xdx 
- Vi phân của hàm số tại một điểm x0 chính là tích của đạo hàm của hàm số tại một điểm x0 và số 
gia x tương ứng : 
 df x00 f x x 
1 | 
 Lời giải 
 2 xx 
 f x 21 x x2 , f x x2 1 
 x2 1
 fx 0 1. 
 Do đó: df x00 f x x 0,01. 
 Ví dụ 5 
 Tìm vi phân của hàm số tại điểm ứng với . 
 Lời giải 
 1 1 1
 f x tan x cot x , fx 22 . 
 2 tanxx cot cosxx sin
 1 1 1
 fx 0 22 0,68 . 
 2 tan1 cot1 cos 1 sin 1
Vậy df x00 f x x 0,68.0,1 0,068. 
3) BÀI TẬP ÁP DỤNG 
 Bài 1 
 Tìm vi phân của hàm số ? 
 Lời giải 
 Ta có y x2 3 x 2 y ' 2 x 3. 
 Vậy dydx (2 3 x 2) ydx ' (2 x 3) dx . 
 Bài 2 
 Tìm vi phân của hàm số ? 
 Lời giải 
 2x 1 7
 Ta có yy '. 
 3 xx (3 )2
 2x 1 7
 Vậy dy d y'. dx 2 dx 
 3 xx (3 )
3 | 
 Bài 2 
 Tìm vi phân của các hàm số sau? 
 a) . b) . 
 Lời giải 
 x 25 
a) Ta có: dy dx2 dx . 
 21x 21x 
 x22 x 1 2 x 2
b) Ta có: dy 2 dx2 dx . 
 xx 1 xx2 1 
 Bài 3 
 Tìm vi phân của các hàm số sau? 
 a) . b) . 
 Lời giải 
 1
a) Ta có: dy 23 x dx dx . 
 23x 
 x
b) Ta có: dy x2 1 dx dx . 
 2
 x 1
 Bài 4 
 Tìm vi phân của các hàm số sau? 
 a) . b) . 
 Lời giải 
a) Ta có: dy sin x 2cos x dx cos x 2sin x dx . 
b) Ta có: 
 1 2 
dy sin 2 x tan x dx 2cos 2 x dx 2cos 2 x tan x 1 dx . 
 33 2 
 cos x 
 3
 Bài 5 
 Tìm vi phân của các hàm tại điểm và . 
5 | 
Ta có 30 30' . Theo công thức tính gần đúng, với xx , ta có 
 6 360 0 6 360
 f f f ., tức là sin sin cos . 0,5076. 
 6 360 6 6 360 6 360 6 6 360
 Ví dụ 4 
 Tính giá trị gần đúng của ( làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn). 
 Lời giải 
Đặt f x cos x , ta có f x sin x . 
Ta có 45 30' . Theo công thức tính gần đúng, với xx , ta có 
 4 360 0 4 360
 f f f ., tức là cos cos sin . 0,7009. 
 4 360 4 4 360 4 360 4 6 360
. 
 Ví dụ 5 
 Tính giá trị gần đúng của ( làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn). 
 Lời giải 
 1 1
Đặt fx , ta có fx . 
 x x2
Ta có 0,9995 1 0,0005. Theo công thức tính gần đúng, với xx0 1, 0,0005 ta có 
 1
 f 1 0,0005 f 1 f 1 . 0,0005 , tức là 1 1. 0,0005 1,0005. 
 0,9995
3) BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
 Bài 1 
 Tính giá trị gần đúng của (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả). 
 Lời giải 
 1
Đặt f x x , ta có fx . 
 2 x
7 | 
 Bài 5 
 Tính giá trị gần đúng của ( làm tròn kết quả đến hàng phần 
 nghìn). 
 Lời giải 
Ta có tan2 tan88  tan3  tan87  ... tan44  tan46  1 
 tan1 tan2 tan3 ...tan87  tan88   tan1 .tan45   tan1 
 1
Đặt f x tan x , ta có fx . 
 cos2 x
Ta có 10 . Theo công thức tính gần đúng, với xx 0, ta có 
 180 0 180
 1
tan1 f 0 f 0 f 0 . ,tức là tan 0 tan 0 2 . 0,0175. 
 180 180 180 cos 0 180
9 |