Chuyên đề Tính tổng dãy số có quy luật Toán Lớp 6

 1 
 CHUYÊN ĐỀ: TÍNH TỔNG DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT 
 A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT. 
 Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều S a1 a 2 a 3 ... an 
 Cần tính tổng: . (1) 
 Với a2 a 1 a 3 a 2... ann a 1 d (các số hạng cách đều nhau một giá trị d ) 
 Số số hạng của tổng là n=( an − a1 ):1 d + với a1 là số hạng thứ nhất 
 an là số hạng thứ n. 
 Tổng S=+ n( a1 an ):2. 
 Số hạng thứ n của dãy là an = a1 +( n −1) d . 
 Ví dụ 1: Tính tổng S 1 2 3 4 ... 2019 2020 . 
 Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 1. 
 Lời giải 
 Số số hạng của dãy là 2020 1 :1 1 2020 . 
 Tổng S 1 2020 .2020: 2 2041210 . 
 Bài toán tổng quát: Tính tổng Sn1 2 3 ... . 
 Số số hạng của dãy là nn1 :1 1 . 
 Tổng S n1 n : 2. 
 Ví dụ 2: Tính tổng S 1 3 5 ... 2019 2021. 
 Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 2 . 
 Lời giải 
 Số số hạng của dãy là 2021 1 : 2 1 1011. 
 Tổng S 1 2021 .1011: 2 1022121. 
 Ví dụ 3: Tính tổng S 5 10 15 ... 2015 2020 . 
 Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 5. 
 Lời giải 
 Số số hạng của dãy là 2020 5 :5 1 404 . 
 Tổng S 5 2020 .404: 2 409050. 
 3 
 Lời giải 
 Ta có 6S = 62 + 6 3 + 6 4 + 6 5 ... + 6 100 . 
 Vậy 6SSS− = 5 = 6100 − 6. 
 66100 −
 Suy ra S = . 
 5
 Dạng 3: Tính tổng có dạng A=1 + a2 + a 4 + a 6 + ....... + a 2n (1) 
 Phương pháp: 
 Bước 1: Nhân hai vế của đẳng thức với a 2 ta được: 
 a2. A= a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + ....... + a 2n+ 2 (2) 
 Bước 2: Lấy (21) −( ) theo vế ta được: 
 aAAaaaa2.−=++++( 2468 ....... + a 22nn+ ) −++++( 1 aaa 246 ....... + a 2 )
 22n+ 
 2 2n+ 2 a −1
 A( a −11) = a − A = 2
 a −1
 Ví dụ 1: Tính tổng sau: A =1 + 22 + 2 4 + 2 6 +  .. + 2 98 + 2 100 (1) 
 Lời giải 
 Nhân vào hai vế với 22 ta được: 
 2.2A = 2222 2 + 4 + 6 + 8 + ..2 + 100 + 2 102 (2) 
 Lấy (21) −( ) theo vế : 
 2.2AA−=( 2222 2 +++++ 4 6 8 ..2 100 + 2 102) −+++++( 1222 2 4 6 ..2 98 + 2 100 )
 21102 − 
 3AA= 2102 − 1 =
 3
 1 1 1 1 1
 Ví dụ 2: Tính tổng sau: B = + + + +.... + (1) 
 9 9 81 729 32018
 Lời giải 
 1 1 1 1 1
 Đặt CBC= + + +.... + = + 
 9 81 729 32018 9
 1 1 1 1
 Ta có: C = + + +.... + 
 32 2 4 3 6 3 2018
 1 1 1 1 1
 .C = + + + .... + 
 32 3 4 2 6 3 8 3 2020
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 −CC2. =++++ 2 4 6 .... 2018 −++++ 4 6 8 .... 2020 
 3 3 2 3 3 3 2 3 3 
 8 1 1 9 1 1 32018 − 1
 ..CC =2 − 2020 = 2 − 2020 = 2018
 9 3 3 8 3 3 8.3
 5 
 1+ 524 + 5 + ..... + 5 40 =( 1 + 5 2) +( 5 46 + 5) ..... +( 5 3840 + 5 )
 =( 1 + 52) + 5 4 .( 1 + 5 2) + ......5 38 .( 1 + 5 2 ) 
 = 26 + 54 .26 + ......5 38 .26
 Vậy 1+++ 52 5 4 .....5 40 chia hết cho 26. 
 Ví dụ 6: Chứng minh rằng: 1+ 22 + 2 4 + ..... + 2 100 chia hết cho 21. 
 Lời giải 
 Phân tích: Ta nhóm 3 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 21. 
 Ta có: 
 1++++=+++++ 22 2 4 ..... 2 100( 1 2 2 2 4) ( 2 6 2 8 2 10) ..... +++( 2 96 2 98 2 100 )
 =( 1 + 22 + 2 4) + 2 6 .( 1 + 2 2 +2 4) + .... + 2 96 .( 1 + 2 2 + 2 4 ) 
 = 21 + 26 .21 + ...... + 2 96 .21
 Do đó: chia hết cho 21 
 Ví dụ 7: Chứng minh rằng: 1+ 32 + 3 4 + ..... + 3 100 chia hết cho 82. 
 Lời giải 
 Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách đều để làm xuất hiện thừa số 82. 
 Ta có: 
 1++++=++++++++ 32 3 4 ..... 3 100( 1 3 4) ( 3 2 3 6) .....( 3 90 3 94) ( 3 96 3 100 )
 =( 1 + 34) + 3 2 .( 1 + 3 4) + ....... + 3 90 .( 1 + 3 4) + 3 96 .( 1 + 3 4 ) 
 = 82 + 32 .82 + ..... + 3 90 .82 + 3 96 .82
 Vậy chia hết cho 82. 
 5242 −
 Ví dụ 8: So sánh: 1+ 52 + 5 4 + ..... + 5 40 với . 
 23
 Lời giải 
 Đặt A =1 + 52 + 5 4 + ..... + 5 40 
 52 .A = 5 2 + 5 4 + 5 6 + ..... + 5 42
 52 .AA −=++++( 5 2 5 4 5 6 ..... 5 42) −++++( 1 5 2 5 4 ..... 5 40 ) 
 542− 1 5 42 − 2 5 42 − 2
 24.AA = 542 − 1 = 
 24 24 23
 5242 −
 Vậy 1+ 52 + 5 4 + ..... + 5 40 . 
 23
 7102 − 2019
 Ví dụ 9: So sánh: 1+ 72 + 7 4 + ..... + 7 100 với . 
 2021
 Lời giải 
 7 
 Phân tích: 
 + ) 9=− 10 1;999=− 103 1;99999=− 105 1;.;999...9=− 1015 1. 
 15 so 9
 +) Tổng trên có 8 số hạng. 
 Lời giải 
 3 5 15
 Ta có: S3 =++9 999 99999 ++ ... 999...9 =++++( 10 10 10 ... 10) − 8 
 15 so 9
 aa21n+ −
 Áp dụng công thức a+ a3 + a 5 +... + a 2n− 1 = với na==8; 10 ta được : 
 a2 −1
 1017−− 10 10 17 10
 10+ 103 + 10 5 + ... + 10 15 = = 
 102 − 1 99
 1017−− 10 10 17 802
 Vậy S = −8 = . 
 3 99 99
 Dạng 5: Tổng có dạng: S=1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n( n + 1) . 
 Ví dụ 1: Tính tổng: A =1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99 . 
 Phân tích: 
 Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 1. 
 Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của 
 A với 3 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 3 này được viết dưới dạng (30− ) ở số 
 hạng thứ nhất, (41− ) ở số hạng thứ hai, (52− ) ở số hạng thứ ba, , (100− 97) ở số hạng cuối 
 cùng. 
 Lời giải: 
 Ta có: 
 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 98.99.3 
 3A = 1.2.( 3 − 0) + 2.3.( 4 − 1) + 3.4.( 5 − 2) + ... + 98.99.( 100 − 97) 
 3A =++++( 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 97.98.99 + 98.99.100) −++++( 0.1.2 1.2.3 2.3.4 ... 97.98.99) 
 3A = 98.99.100 . 
 98.99.100
 Suy ra: A ==323400 . 
 3
 Bình luận: 
 Ta thấy: là tích của ba thừa số, trong đó 98.99 là hai thừa số của số hạng lớn nhất 
 trong tổng, còn thừa số 100 bằng 99+ 1(bằng thừa số lớn nhất của A cộng với khoảng cách giữa 
 hai thừa số của mỗi số hạng trong A ). 
 9 
 =121( −) + 2.31( −) + 3.41( −) + ... +nn ( + 1) − 1
 =+1.2 2.3 + 3.4 ++ ...n n +−++++++ 1 1 2 3 4 5 ... n
 ( ) ( ) 
 n( n++12)( n )
 Mà 1.2+ 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... +nn( + 1) = (Theo dạng bài trước) 
 3
 n( n+1)( n + 2) n( n + 1) nn+1 1 2 + 4 − 3
 S = − = n( n +11) − = n( n + ) 
 3 2 3 2 6
 n( n++1)( 2 n 1)
 Vậy S = 
 6
 Do đó, ta có công thức tính dãy số: 
 n.( n ++ 1)( 2 n 1)
 Sn=12 + 2 2 + 3 2 +  + 2 = 
 6 
 Ví dụ 1: Tính các tổng sau: 
 N = 1 + 22 + 3 2 + 4 2 + 5 2 ++ 99 2 
 A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000 
 Lời giải 
 Tính N 
 Áp dụng bài toán tổng quát 
 n( n+1)( 2 n + 1) 99.( 99 + 1)( 2.99 + 1)
 Ta thấy n = 99 nên N = = = 328350 
 66
 Tính A 
 Ta biến đổi về dạng tương tự như biểu thức ta có: 
 = 12+ 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + ... + 100 2 
 100.( 100++ 1)( 2.100 1)
 = = 338350 (với n =100 ) 
 6
 Ví dụ 2. Tính tổng sau: 
 2 2 2 2 2 2
 B = − 1 + 2– 3 + 4 −  − 19 + 20. 
 Lời giải 
 Tính B 
 Ta biến đổi về dạng quen thuộc như biểu thức bằng cách thêm bớt tổng 22+ 4 2 + ... + 100 2 . 
 B = − 12 + 2– 2 3 2 + 4 2 −  − 19 2 + 20 2 
 B =−++++(12 2 2 3 2 ... 20 2) + 2( 2 2 ++++ 4 2 6 2 ... 20 2 )