Chuyên đề Tính tích phân bằng định nghĩa - Đại số 12

 NGUYÊN HÀM – 
 3 
 TÍCH PHÂN 
 CHƯƠNG
CHUYÊN ĐỀ 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. 1. Định nghĩa 
 - Cho hàm số f liên tục trên K và a , b là hai số thực bất kì thuộc K . Nếu F là một nguyên 
hàm của f trên K thì hiệu số F b – F a gọi là tích phân của f từ a đến b , ký hiệu 
b b
 f x d x . Nếu ab thì f x dx gọi là tích phân của f trên đoạn ab; . 
a a
 b
 - Hiệu số F b– F a còn được ký hiệu là Fx . Do đó nếu F là một nguyên hàm của f 
 a
 b
 b
trên K thì f xd x F x F b F a . 
 a 
 a
 b b
 Vì fx dx là một nguyên hàm bất kỳ của f nên ta có f x dd x f x x 
 a
 a
 - Ta gọi a là cận dưới, b là cận trên, x là biến lấy tích phân, f là hàm số dưới dấu tích phân, 
 fx dx là biểu thức dưới dấu tích phân. 
  Chú ý: 
 - Tích phân chi phụ thuộc vào 2 cận tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân, nó không 
 b b b
 phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là: fxx d ftt d fuuFbFa d 
 a a a 
 - Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số fx liên tục và không âm trên đoạn ab; , 
 b
 thì tích phân f x d x là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của fx, 
 a 
 b
 trục Ox và hai đường thẳng xa , xb . Vậy S f x d x 
 a
1.2. Tính chất 
 Với 2 hàm số f , g liên tục trên K và a , b , c là 3 số thực bất kỳ thuộc K , ta có: 
 a ba
 f x d0 x f x dd x f x x 
 a ab
 b c c b b b
 f x d x f x d x f x d x fxgx d x fxx d gxx d 
 a b a a a a
 bb
 k. f x d x k f x d x , k . 
 aa
 1
 xx
 21 
 x xx 
 11 
 2 1 2 1 55 
 x dx dx 
 00 2
 5 5 5 ln ln 5
 5
 0
 21 
 1 1 3 4
 55 
 2 2 2
 lnln 5 ln ln 5 5ln 5ln 5
 5 5 5
 Ví dụ 6: 
 Cho hàm số liên tục trên đoạn [0, 10] và , . Tính
 Lời giải 
 10 2 6 10 2 10
Ta có fxx d7 fxxfxx d d fxx d7 fxx d fxx d734 
 0 0 2 6 0 6
Vậy P 4 . 
 Ví dụ 7: 
 Cho hàm số liên tục trên và , . Tính 
 Lời giải 
 1
Đặt u 2 x 1 d x d u . Khi x 1thì u 1, khi x 1thì u 3. 
 2
 13 1 0 3 1 0 3 
Nên I fuu d fuufuu d d fuufuu d d ; 
 2 1 2 1 0 2 1 0 
 1
Xét f x d x 4. Đặt x u dd x u 
 0
 xu 00 
Khi đó, ta có: 
 xu 11 
 1 1 0
Nên 4 f x d x f u d u f u d u 
 0 0 1
 33
Ta có f x d x 6 f u d u 6 
 00
 1
Vậy I 4 6 5
 2 
 x 0 t 1
 x 1 t 1
 1 dt 1 t6
 I t51 . | 0
 1
 1 2 2 6
 Cách 2: 
 1 1 1
 d 1 2x 1
 I 12xdx5 12x 5 12xd12x 5
 22
 0 0 0
 1
 111 2x 6
 1 1 0
 2 6 12 
 0
 Cách 3 : Sử dụng MTCT với bài toán trắc nghiệm 
 Ví dụ 2 
[Mức độ 2] Tính 
 Lời giải 
 t 1 dt
 Đặt: t 1 3x x dx= 
 33 
 Đổi cận: 
 x 0 t 1
 x 1 t 4 
 1 4 4
 10 10 t 1 1 10
 I 13x 1xdx t1 dt t2tdt 
 0 1 33 1
 4 11 124 12 12
 110 11 1 t t 1 2.4 4 
 2t t dt 2 
 31 3 11 12 0 2 11 12 
 Ví dụ 3 
[Mức độ 2] Tính 
 Lời giải 
 t32 1 3t
 Đặt t=3 1+7x x dx= dt 
 77
 x 0 t 1
 Đổi cận: 
 x 1 t 2
 1 23 2
 3 t 1 1 4
 I 17x1xdx t1 dt 8ttdt 
 0 1 77 1
 5 2 
 1 2 t 1 1 29
 4t 4 4 1 32 1 
 7 51 7 5 35
 Ví dụ 4 
[Mức độ 2] Tính 
 Lời giải 
 Trường hợp 1: Nếu bậc tử Px lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu Qx ta thực hiện chia tử cho 
 mẫu. 
 11
 Trường hợp 2: Mẫu bậc nhất: dx ln | ax b | c , a 0 . 
 ax b a
 mx n
 Trường hợp 3: Mẫu bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt: Ix d với a , c 0 
 ax b cx d 
 mx n A B
Phân tích . 
 ax bcx d ax b cx d
Quy đồng 2 vế ta được: mx n A cx d B ax b * . 
 b
Cho x thay vào suy ra A. 
 a
 d
Cho x thay vào suy ra B . 
 c
 mx n A B
Khi đó: Ix d dx . 
 ax b cx d ax b cx d
Lưu ý: Có thể giải tìm A, B bằng cách đồng nhất thức của đẳng thức . 
 Ac Ba m
 mx n Ac Ba x Ad Bb giải tìm A, B 
 Ad Bb n
 mx n
 Trường hợp 4: Mẫu bậc 2 có nghiệm kép Ix d với a 0 . 
 ax b 2
 mx n A B
Phân tích . 
 ax b 22ax b ax b 
 Aa m
Quy đồng 2 vế ta được: mx n Aax b B mx n Aax. Ab B . Giải tìm A, B. 
 Ab B n
 mx n A B
Khi đó: Ix d dx . 
 22ax b
 ax b ax b 
 1
 Trường hợp 5: Mẫu bậc 2 vô nghiệm Ix d với a 0 , c 0 . 
 ax b 2 c2
 ddt c t
Đặt ax b ctan t a d x c d x . 
 cos22t a .cos t
 1 1c d t 1 t
 I d x . d t . 
 222 22 
 ax b c ct 1 tan at.cos ac ac
 Ví dụ 6 
 [Mức độ 1] Tính tích phân . 
 Lời giải 
 11
 1 d1 x 1
 Cách 1: Ta có: I d x ln x 1 ln 2 ln1 ln 2 . Chọn đáp án C. 
 0
 00xx 11
 Cách 2 : Sử dụng MTCT. 
 Ví dụ 7 
 [Mức độ 1] Tính tích phân 
 Lời giải