Chuyên đề Tính thể tích khối chóp có đỉnh là điểm đặc biệt trên mặt đáy - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
 HÌNH HỌC 12. 
 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
 BÀI 3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN 
DẠNG 2: Thể tích khối chóp có hình chiếu của đỉnh là các điểm đặc biệt trên mặt đáy (không 
trùng với các đỉnh của đa giác đáy) 
A. LÝ THUYẾT 
+ Tóm tắt ngắn gọn kiến thức cơ bản cần nắm. 
 1
Công thức tính thể tích khối chóp: V .. B h . (Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao) 
 3
- Để tính thể tích của khối chóp, ta thực hiện theo các bước sau: 
Bước 1: Xác định đường cao. Tính đường cao. 
Bước 2: Nhận dạng đáy. Tính diện tích của đáy. 
Bước 3: Tính thể tích theo công thức. 
Chú ý: 
1. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp 
đa giác đáy. 
2. Nếu ()()SAB ABC thì đường cao SH của tam giác SAB chính là đường cao của khối chóp
S. ABC 
3. Để tính diện tích tam giác ta sử dụng các công thức sau: 
 1 1 1
S h... a h b h c . 
 2a 2 b 2 c
 1 1 1
S absin C bc sin A ac sin C . 
 2 2 2
4. Tam giác ABC có h là đường cao kẻ từ A , S là diện tích. 
 3AB 3
- Tam giác ABC đều: h , S AB2 . 
 2 4
 AB. AC 1
- Tam giác ABC vuông tại A : BC AB22 AC , h , S AB. AC . 
 BC 2
 BC 2 1
- Tam giác ABC cân tại A : h AB2 , S h. BC . 
 4 2
5. Góc giữa cạnh bên và đáy 
 S
 A I C
 H
 K
 B 
1 Hình học lớp 12 | 
 S
 2a
 A D
 a
 H 60°
 B C 
 SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy nên hình chiếu vuông góc của S
trên ()ABCD là trung điểm H của AB. 
 17a 51a
CH BC22 BH . Do SC,( ABCD ) SCH 60  nên SH CH.tan 60  . 
 2 2
 1 51a3
S ABCD.2 a2 V SH. S . 
 ABCD S. ABCD33 ABCD
 Ví dụ 3 
 (THPT Lạng Giang 2 – Bắc Giang 2017) Cho hình chóp có đáy là tam giác cân đỉnh , 
 , . Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc 
 với đáy. Tính thể tích khối chóp . 
Lời giải 
 S
 A a B
 H
 120°
 C 
Gọi H là trung điểm của AB , SAB đều cạnh a và vuông góc với đáy nên đường cao của hình 
 3a
chóp là SH . 
 2
 1 1 3a2 1 a3
S AB. AC .sin BAC a2 sin120  V SH. S . 
 ABC 2 2 4 S. ABC38 ABC
3 Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 6 
 Cho tứ diện có là tam giác đều cạnh , tam giác cân tại và nằm trong mặt 
 phẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết hợp với một góc . Tính thể tích 
 của khối tứ diện đã cho. 
 Lời giải 
 60°
 a
Do BCD cân tại D và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABC nên hình chiếu vuông góc của 
D trên ABC là trung điểm H của BC DH ABC 
 3a
 AD, ABC DAH 60  DH AH.tan 60  . 
 2
 3a2 13a3
S V DH. S . 
 ABC 4 38ABC
 Ví dụ 7 
 Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác cân tại và nằm 
 trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. tạo với một góc . Tính thể tích 
 của khối chóp đã cho. 
 Lời giải 
 45°
 a 
5 Hình học lớp 12 | 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra G là chân đường cao kẻ từ S xuống mặt đáy 
 SG ABC 
Kẻ Ax////, BC BC SA Ax 
 3 3
Nên d SA,,,,, BC d BC SA Ax d M SA Ax d G,, SA Ax vì MA GA . 
 2 2
Kẻ GH SA. 
 Ax GA
Ta có Ax  SAG Ax  GH . 
 Ax SG
 GH Ax
Khi đó GH  SA,,, Ax d G SA Ax GH . 
 GH SA
 3
Do đó d SA, BC GH GH a . 
 2
 2 2 2aa 3 2 3
Ta lại có AG AM . 
 3 3 2 3
 1 1 1 1 1 1 1
Nên SG2 a . 
 GH2 SG 2 AG 2 SG 2 GH 2 AG 24 a 2
 2
Mà SaABC 3 . 
 1 2a3 3
Vậy V S. SG . 
 33ABC
 Ví dụ 3 
 Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , . Hình chiếu vuông góc của 
 lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của 
 . Biết cosin góc giữa hai đường thẳng và bằng . Tính thể tích khối chóp 
 . 
 Lời giải 
7 Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 4 
 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng . Biết khoảng cách từ đến mặt 
 phẳng bằng , từ đến mặt phẳng bằng , từ đến mặt phẳng 
 bằng và hình chiếu vuông góc của xuống đáy nằm trong tam giác . Tính thể tích 
 khối chóp . 
 Lời giải 
Gọi O là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng ABC . 
Đặt d O, BC a , d O, AC b , d O, AB c , SO h . 
 3
Ta có S S S S a b c 1 (vì ABC đều cạnh bằng 1). 
 ABC OBC OAC OAB 2
 d O, SBC OM OI2 a 2 a 6 a
Mặt khác d O,. SBC . 
 d A, SBC AM AK 3 34 2
 2 1 1
Suy ra ah . 
 a2 h 2 a 2
 d O, SAC d O, AC 2b 2 b 15 b
Tương tự d O,. SAC . 
 d B, SAC d B,AC 3 310 5
 5 1 1
Suy ra bh 2 . 
 b2 h 2 b 2
 d O, SAB d O, AB 2c 2 c 30 c
Tương tự d O,. SAC . 
 d C, SAB d C,AB 3 320 10
9 Hình học lớp 12 | 
 a 3
Vì H đối xứng với A qua BC và ABC đều nên AH 2. a 3 . 
 2
Do SH ABC nên tam giác SAH vuông tại , do đó SH SA2 AH 2 43 a 2 a 2 a. 
 1 13a2 3a3
Vậy thể tích của khối chóp S. ABC là V .. SH S ..a . 
 S. ABC3 ABC 34 12
 Ví dụ 3 
 Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại , góc , cạnh . Biết 
 . Tính thể tích của khối chóp đã cho theo . 
 Lời giải 
Do SA SB SC nên hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là tâm của đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABC . 
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác , ta có: 
 BC a a
 2R R . 
 sin BAC 2sin120 3
11 Hình học lớp 12 | 
Câu 1. (THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai 2017 L2, THPT Công Nghiệp – Hòa Bình 
2017 L2) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và mặt 
phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng ABCD . Thể tích khối chóp S. ABCD bằng 
 3a3 3a3 3a3 3a3
A. . B. . C. . D. . 
 12 6 4 9
 Lời giải 
Chọn B 
 S
 A D
 H
 B C 
 3a
Tam giác SAB đều cạnh a nên chiều cao h . 
 2
 13a3
Sa 2 V h. S . 
 ABCD S. ABCD36 ABCD
Câu 2. (THPT chuyên Hà Tĩnh 2017 L2) Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 
1, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD . Thể tích khối chóp trên gần 
với số nào sau đây nhất? 
A. 0, 3. B. 0, 5. C. 0, 4. D. 0, 2. 
 Lời giải 
Chọn A 
 3
Tam giác SAB đều cạnh bằng 1 nên chiều cao h . 
 2
 13
S 1 V h. S . 
 ABCD S. ABCD36 ABCD
Câu 3. (Sở GD Hải Dương 2017). Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại C và nằm 
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABD , tam giác ABD đều cạnh 2.a Tính thể tích khối 
tứ diện ABCD. 
 3a3 3a3
A. 2a3 . B. . C. . D. 3a3 . 
 3 9
13