Chuyên đề Tính thể tích các khối đa diện khác - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
 HÌNH HỌC 12. 
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
BÀI 3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
 DẠNG 6: Thể tích các khối đa diện khác 
 Ví dụ 1 
 Cho hình chóp có . Tính thể tích khối 
 chóp . 
 Lời giải 
 Lời giải 
Vì AB 3 a , AC 4 a , BC 5 a nên tam giác ABC vuông tại A . 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC . Vì SA SB SC nên là tâm 
đường tròn ngoại tiếp tam giác và chính là trung điểm của BC . 
 25 119a
Xét tam giác vuông SBH ta có SH SB2 HB 2 36 a 2 a 2 . 
 42
 1
Diện tích tam giác là S  AB  AC 6 a2 . 
 ABC 2
 1 119
Vậy thể tích khối chóp S. ABC là V 6 a23  a a 119 . 
 S. ABC 32
 Ví dụ 2 
 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và . Hình chiếu vuông góc của 
 trên mặt đáy trùng với trung điểm . Biết Góc giữa hai 
 mặt phẳng và mặt phẳng đáy là . Tính thể tích của khối chóp 
 Lời giải 
1 Hình học lớp 12 | 
Gọi H là trung điểm của cạnh OC  SH ABCD . 
 AB HP
Kẻ HP AB P AB , ta có AB  SHP AB  SP . 
 AB SH
 SH
Do đó SAB ; ABCD SPH 6000 tan 60 3 SH HP 3 . 
 HP
Xét mặt phẳng ABCD , ta có 
 HP AB HP AH3 3 3 a 3 a 3
 HP// BC HP BC SH . 
 BC AB BC AC 4 4 4 4
 1 1 3aa 33 3
 V SH.... S a2 
 3ABCD 3 4 4
 Ví dụ 4 
 Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của , là 
 điểm thuộc cạnh sao cho , là điểm thuộc cạnh sao cho . Mặt 
 phẳng cắt tại . Biết khối chóp có thể tích bằng . Tính thể tích khối đa 
 diện . 
 Lời giải 
 S
 M
 Q
 I
 P N
 B
 A O
 D
 C
Gọi O AC  BD;; I SO  PM Q IN  SA . 
 SA SB SC34 SD
Đặt a ; b 2 ; c ; d . 
 SQ SM SN23 SP
 11
Ta có: a c b d a . 
 6
 VS. MNPQ a b c d 5 22
Ta có: VS. ABCD . 
 VS. BCDA 4 abcd 22 5
 17
Vậy VVV . 
 ABCD... QMNP S ABCD S MNPQ 5
3 Hình học lớp 12 | 
Ta có: VVVVV 2A B C BC 2.4 A ... SBC 8 A SBC 8 S ABC . 
Gọi G là trọng tâm ABC . Ta có SA, ABC SA , AG SAG 60  . 
 SG23 a
Xét SAG vuông tại . Ta có tanSAG SG AG .tan SAG . . 3 a 
 AG 32
 1 1aa23 3 3 23a3
 V .... SG S a VV 8 . 
 S. ABC3 ABC 3 4 12 S. ABC 3
 Ví dụ 7 
 Cho hình lập phương cạnh bằng 1. Gọi là trung điểm cạnh . Mặt 
 phẳng cắt cạnh tại . Tính thể tích của khối đa diện . 
 Lời giải 
 1
 1 .1
 A'. A MB AB 2 3
S 
 A' MBA 2 2 4
 1131
Nên VS ....AD 1 
 DAM.AB' 3 A' MBA 3 4 4
 V BM BK 1 1 1
* Dễ thấy B. MKD .. 
 VB.CB'D BB' BC 2 2 4
5 Hình học lớp 12 | 
Gọi V1 là thể tích khối đa diện có các đỉnh MPQEFN,,,,, . 
Gọi Sh, lần lượt là diện tích đáy và chiếu cao của hình hộp ABCD.' A B C D . 
 11S
Ta có : S PE. QF .sin PE , QF AB . BC .sin AB , BC . 
 PQEF 2 2 2
 11Sv
Suy ra V1 SPQEF .,, d M PQEF d N PQEF h . 
 3 3 2 6
 Ví dụ 10 
 Cho khối tứ diện có thể tích . Gọi là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là trung 
 điểm các cạnh của khối tứ diện Tính tỉ số . 
 Lời giải 
 V AM AN AP 1
Ta có : A. MNP ... 
 V AB AC AD 8
 V
Suy ra V . 
 A. MNP 8
 V
Tương tự, ta có VVV . 
 B... MSQ C NQR D PSR 8
 V V 1
Từ đó suy ra V . Nên . 
 2 V 2
 Ví dụ 11 
 Cho khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh bằng tâm ; cạnh 
 bên bằng Gọi là trung điểm của , là điểm đối xứng của qua . Tính thể 
 tích khối đa diện . 
 Lời giải 
7 Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 13 
 Cho khối lăng trụ có thể tích là . Hai mặt phẳng và chia khối 
 lăng trụ đã cho thành bốn phần. Tính thể tích phần lớn nhất. 
 Lời giải 
Gọi I A B  AB , J B C  BC . 
 1 1 1
Ta tính được VVVVV ;. 
 B BAC3 BJIB 4 B BAC 12
 1 1 1
Suy ra VVVVV . 
 ABCJI A B C JI 3 12 4
 1 1 5
Vậy VVVVV . 
 ACC A JI 3 4 12
 Ví dụ 14 
 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng và góc nhọn bằng , cạnh bên của 
 hình hộp dài và tạo với đáy một góc . Tính thể tích hình hộp. 
 Lời giải 
Gọi hình hộp đã cho là ABCD.'''' A B C D với BAD 45 . Kẻ A' H ABCD tại H thì 
A AH 45 . 
 2
Ta có: S AB. AD .sin 45  6.6. 18 2 . 
 ABCD 2
9