Chuyên đề Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d - Hình học 11

 DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Δ CÓ GIẢI CHI TIẾT 
Phương pháp: 
Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta cần xác định được hình chiếu H của 
điểm trên đường thẳng , rồi xem MH là đường cao của một tam giác nào đó để tính. 
Điểm thường được dựng theo hai cách sau: 
 Trong mp M,Δ vẽ MH Δ d M,Δ MH 
 Dựng mặt phẳng α qua và vuông góc với tại 
 d M,Δ MH. 
Hai công thức sau thường được dùng để tính 
 1 1 1
 ΔMAB vuông tại và có đường cao AH thì . 
 MH2 MA 2 MB 2
 2S
 là đường cao của thì MH MAB . 
 AB
Câu 1: Cho hình chóp tam giác S. ABC với SA vuông góc với ABC và SA 3 a . Diện tích 
tam giác ABC bằng 2,a2 BC a . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu? 
 A. 2.a B. 4.a C. 3.a D. 5.a 
Hướng dẫn giải: 
Kẻ AH vuông góc với BC : 
 142.S a2
S AH.4 BC AH ABC a 
 ABC 2 BC a
Khoảng cách từ S đến BC chính là SH 
Dựa vào tam giác vuông SAH ta có 
SH SA2 AH 2 (3 a ) 2 (4 a ) 2 5 a 
Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD trong đó SA, AB , BC đôi 
một vuông góc và SA AB BC 1. Khoảng cách giữa hai 
điểm SC và nhận giá trị nào trong các giá trị sau ? 
 3
 A. 2. B. 3. C. 2. D. .
 2 
Hướng dẫn giải: 
 SA AB
Do nên SA() ABC SA  AC 
 SA BC S
Như vậy SC SA2 AC 2 SA 2 ( AB 2 BC 2 ) 3 
Chọn đáp án B. 
 A C
 B
Câu 3: Cho hình chóp A. BCD có cạnh AC BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết 
AC a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng 
 7 4 6 2
 A. a . B. a . C. a . D. a . 
 5 7 11 3
+ Ta dễ chứng minh được AS SBC  SH AS  SH ASH vuông tại . 
Áp dụng hệ thức lượng trong ASH vuông tại ta có: 
 4aa22 49 75a
AH2 SA 2 SH 2 9 a 2 AH . 
 55 5
Câu 6: Cho hình chóp A. BCD có cạnh AC BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết 
AC a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ đến đường thẳng AM bằng 
 2 6 7 4
 A. a . B. a . C. a . D. a . 
 3 11 5 7
Hướng dẫn giải: 
Chọn đáp án B. 
Dựng CH AM d C, AM CH . 
 a 3
Vì BCD là tam giác đều cạnh và là trung điểm của nên dễ tính được CM . 
 2
Xét ACM vuông tại có CH là đường cao, ta có: 
 1 1 1 1 1 11 6a2
 CH 2 
CH2 CA 2 CM 226 a 23a2 a 2 11
 4
 6
 CH a . 
 11
Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có SA ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD 2, a 
SA a. Khoảng cách từ đến SCD bằng: 
 3a 32a 2a 23a
 A. . B. . C. . D. . 
 7 2 5 3
Hướng dẫn giải: 
SA ABCD nên SA CD; AD CD . S
Suy ra SAD  CD Trong SAD kẻ AH vuông góc SD 
 H
tại . Khi đó AH SCD 
 SA. AD a .2 a 2 a 5
d A, SCD AH .. 
 SA2 AD 2 a 2(2 a ) 2 5
 A D
Chọn đáp án C. 
Câu 8: Hình chóp đều S. ABC có cạnh đáy bằng 3,a cạnh 
 B C
bên bằng 2.a Khoảng cách từ S đến ABC bằng : 
 S
 A. B. a 3. C. a. D. a 5. 
Hướng dẫn giải: 
Gọi O là chân đường cao của hình chóp. 
 A C
 O
 H 
 B 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
Kẻ AH SC , khi đó d A; SC AH . 
ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ 60 ABC đều nên 
AC a . 
Trong tam giác vuông SAC ta có: 
 1 1 1
AH2 SA 2 AC 2
 SA. AC 2 a . a 2 5 a
 AH . 
 SA2 AC 24 a 2 a 2 5
Câu 12: Cho hình chóp S. ABCD có SA ABCD , SA 2 a , là hình vuông cạnh bằng . 
Gọi O là tâm của , tính khoảng cách từ đến SC . 
 a 3 a 3 a 2 a 2
 A. . B. . C. . D. . 
 3 4 3 4
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
Kẻ OH SC , khi đó d O; SC OH . Ta có: SAC OCH (g- g) 
 OH OC OC
nên OH . SA . 
 SA SC SC
 12a
Mà: OC AC , SC SA22 AC a 6 . 
 22
 OC a a 3
Vậy OH . SA . 
 SC 3 3
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt 
đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng 
 a 2 a 2
 A. a 2 cot . B. a 2 tan . C. cos . D. sin . 
 2 2
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
SO ABCD , là tâm của hình vuông . 
Kẻ OH SD , khi đó d O; SD OH , SDO . 
 a 2
Ta có: OH ODsin sin . 
 2
Câu 14: Cho hình chóp S. ABC trong đó SA , AB , BC 
vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA 3 a , AB a 3 , BC a 6 . Khoảng cách từ B đến 
 bằng 
 A. a 2 . B. 2a . C. 23a . D. a 3 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
Vì , , vuông góc với nhau từng đôi một nên 
CB SB. 
Kẻ BH SC , khi đó d B; SC BH . 
Ta có: SB SA2 AB 2 9 a 2 3 a 2 2 3 a . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn đáp án D. 
 a 11
Ta có d(;) A BD AC BCD AC  BD 
 2
Lại có với M là trung điểm BD mà BCD đều nên 
CM BD 
 AC BD
Từ đó ta có AM BD 
 CM BD
Suy ra d(A;BD) AM 
Xét tam giác vuông ACM , ta có 
 2
 2 aa3 11
 22 
AM AC CM a 2 
 22
Vậy . 
Câu 18: Cho hình chóp S. ABC trong đó SA, AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết 
SA 3, a AB a 3, BC a 6. Khoảng cách từ B đến SC bằng 
 A. a 2 . B. 2a . C. 2a 3 . D. a 3 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn đáp án B. 
Ta có 
 SA AB
 SB BC 
 AB BC
Suy ra SBC vuông tại 
Kẻ BH SC . Ta có d(;) B SC BH 
Lại có 
 1 1 1 1 1 1
BH2 SB 2 BC 2 SA 2 AB 2 BC 24 a 2
 d( B ; SC ) BH 2 a . 
Câu 19: Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của 
hình lập phương đó đến đường thẳng CD bằng 
 a 6 a 3
 A. . B. . C. . D. . 
 2 2
Hướng dẫn giải: 
Gọi M là trung điểm của CD . Do là hình 
lập phương nên tam giác ACD'là tam giác đều cạnh 
. 
 a 6
 AM CD d A, CD AM 
 2
Đáp án: B.