Chuyên đề Tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng dạng - Hình học 12

 DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG 
Kiến thức cần nhớ: 
Giả sử ta có điểm A 1 và đường thẳng 1 có vec tơ chỉ phương là u . Điểm B 2 và đường 
thẳng 2 có vec tơ chỉ phương là v và mặt phẳng P : Ax By C z D 0 . 
 Khi đó: 
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : 
 MA, u
 dM ; . 
 1 u
 Khoảng cách từ đến đường thẳng , với 12// : 
 d 1;;; 2 d B 1 d A 2 . 
 Khoảng cách từ đến mặt phẳng P , với 1 // P : 
 d 1;();() P d A P . 
 Khoảng cách từ đến đường thẳng , với 1 và chéo nhau: 
 u,. v AB
 d ; . 
 12 uv, 
 Ví dụ 1 
 Ví 
 x 11 y z
 Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và điểm M 1; 1;2 
 2 1 1
 . Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d . 
 Lời giải 
Lấy Nd 1;0; 1 , ta có: MN 0;1; 3 . 
 có vecto chỉ phương là: u 2;1; 1 . 
Suy ra: MN, u 2; 6; 2 . 
 2 2 2
 MN, u 2 6 2 66
Ta có: d M, d . 
 u 22 1 1 3
 Ví dụ 2 
 x y 12 z
 Trong không gian hệ trục tọa độ , cho đường thẳng d : . Tìm điểm M Ox 
 1 1 1
 sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng bằng 14 . 
 Lời giải 
 Lấy Nd 0; 1;2 , ta có: M Ox M x;0;0 MN x ; 1;2 . 
1 
 xt 1 
 yt 2 4 1 8 2
Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình: tH ;; . 
 zt 2 3 3 3 3
 x 2 y z 5 0
 2 5 8
Ta có: AH ;; . 
 3 3 3
 có vecto chỉ phương là: u 2;5;8 . 
 x 1 y 1 z 2
 có phương trình là: . 
 2 5 8
 Ví dụ 5 
 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2x y 2 z 2 0 , đường thẳng 
 x 1 y 2 z 3 1
 d : và điểm A ;1;1 . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng , song 
 1 2 2 2
 song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng cắt mặt phẳng Oxy tại điểm 
 B. Tính độ dài đoạn thẳng AB . 
 Lời giải 
 x 1 y 2 z 3
Ta có: d : đi qua M ( 1; 2; 3) và có một VTCP là u 1;2;2 . 
 1 2 2
Ta có: B  Oxy ,  nên B  Oxy B a;2 2 a ;0 . 
 u; MB
Ta có: // d và dd ,3 nên d B;3 d 3 
 u
Ta có: MB a 1;4 2 a ;3 ; u; MB 4 a 2;2 a 1;2 4 a . 
 u; MB 2
 3 2a 1 2
Do đó 3 3 2a 1 9. 
 u 3
 2
 12 2 9 7
Vậy AB a 1 2 a 1 9 1 .
 2 4 2 
 Ví dụ 6 
 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 5 0 và đường thẳng có phương 
 xt 1 
 trình tham số: yt 2 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng P . 
 zt 34 
 Lời giải 
Đường thẳng qua M 1;2; 3 và có một véc tơ chỉ phương là u 1; 1; 4 . 
Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến là n 2; 2;1 . 
Ta có n.0 u n  u mà MPP // . 
3 
 Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3;3; 3 thuộc mặt phẳng : 2x – 2 y z 150 và mặt 
 cầu S :(x 2)2 (y 3) 2 (z 5) 2 100 . Đường thẳng qua M , nằm trên mặt phẳng cắt 
 ()S tại A , B . Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng là 
 Lời giải 
Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 , bán kính R 10 . Do IM R nên luôn cắt S tại A , B . 
 AB 2
Khi đó Rd2 (I, ) . Do đó, AB nhỏ nhất thì dI , lớn nhất 
 2
 d I, IM  IM . 
 u n; IM 16;11;10
 x 3 y 3 z 3
Phương trình của : . 
 16 11 10
5 
 x y2 z
 Trong không gian Oxyz , cho :x y z 5 0 và : . Viết phương trình 
 1 2 2
 đường thẳng d biết đi qua điểm A 3; 1;1 , nằm trong mặt phẳng và hợp với một góc 
 bằng 45 . 
 Lời giải 
Giả sử vecto chỉ phương của d là u a; b ; c , a2 b 2 c 2 0 . 
Vecto pháp tuyến của là n 1; 1;1 . 
Vecto chỉ phương của là u 1;2;2 . 
Vì d nên u n u. n 0 a b c 0 1 . 
 2 abc22
Do góc giữa d và là 45 nên cos 45 cosuu , 
 2 abc2 2 2 . 4 4 1
 3 2.a2 b 2 c 2 2 a 2 b 2 c . (2) 
Thay 1 vào 2 ta được: 
 2
3 2.a22 a c c 2. a 2 a c 2 c 
 3a22 ac c 3 a 4 c 
 15ac 7 c2 0 c 15 a 7 c 0 c 0 hoặc 15ac 7 0 . 
 xt3
Với c 0 ta chọn ab1, ta được d:1 y t . 
 z 1
 xt37
Với 15ac 7 0, chọn a7, c 15, b 8, ta được d: y 1 8 t . 
 zt1 15
 Ví dụ 4 
 Ví 
 xt 15
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d:2 y t và mặt phẳng 
 z 1
 (P ) :3 x 2 y 5 0 . Tính góc hợp bởi giữa đường thẳng d và mặt phẳng ()P 
 Lời giải 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ud 5;1;0 . Mặt phẳng ()P có vectơ pháp tuyến là 
n()P 3; 2;5 . Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ()P . Ta có 
 5.3 1.( 2) 0.0 2 0
sin cos undP ; () . Vậy 45 . 
 52 1 2 0 2 . 3 2 ( 2) 2 0 2 2
7 
Nếu BC 00 , suy ra A 0 , không thỏa mãn. 
 B
 2 1
 22 BB C
Nếu B 0 , 26B 37 BC 11 C 0 26 37 11 0 . 
 CC B 11
 C 26
 B
Với 1, chọn BCA 1; 1 2 . 
 C
 xt 22
Ta có phương trình đường thẳng d là: y 3, t t . 
 zt 2 
 B 11
Với , chọn BCA 11; 26 37 . 
 C 26
 xt 2 37
Ta có phương trình đường thẳng d là: y 3 11 t , t . 
 zt 2 26
 Ví dụ 7 
 Ví 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2; 1;1 , B 0;1; 2 và đường thẳng 
 x y 31 z
 d : . Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của đường thẳng d với 
 1 1 2
 mặt phẳng OAB , nằm trong mặt phẳng và hợp với đường thẳng d một góc sao cho 
 . 
 Lời giải 
Phương trình mặt phẳng OAB : x 4 y 2z 0. 
Gọi điểm M  d OAB , suy ra M 10;13; 21 . 
Giả sử đường thẳng có vec tơ chỉ phương u a;; b c . 
 Vì  OAB a 4 b 2 c 0 (1) 
 5 a b25 c
 Mà cos (2) 
 6 6 a2 b 2 c 2 6
 52
 b c a c
 Từ (1) và (2) , 
 11 11
 b c,6 a c
 52
 + Với b c, a c , từ đó ta chọn u (2; 5; 11) 
 11 11
 x 10 y 13 z 21
 Phương trình của : . 
 2 5 11
 + Với b c,6 a c , từ đó ta chọn u (6; 1; 1) 
 x 10 y 13 z 21
 Phương trình của : . 
 6 1 1
9