Chuyên đề Tính góc giữa hai đường thẳng - Hình học 11

 DẠNG 1: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG-CÓ GIẢI CHI TIẾT 
Phương pháp: 
Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách 
 dd12,
Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( 
thường nằm trên một trong hai đường thẳng). 
 d1
 d'1
 O
 d'2
 d2
 ''
Từ dựng các đường thẳng dd12, lần lượt song song ( có thể tròng nếu nằm trên một 
trong hai đường thẳng) với và . Góc giữa hai đường thẳng chính là góc giữa hai 
 d1 d2
đường thẳng . 
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác 
 b2 c 2 a 2
cos A . 
 2bc
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng 
 uu12,
 uu12.
Khi đó góc giữa hai đường thẳng xác định bởi cos dd12 , . 
 uu12
Lưu ý 2: Để tính u1 u 2,, u 1 u 2 ta chọn ba vec tơ a,, b c không đồng phẳng mà có thể tính được 
độ dài 
và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ qua các vec tơ rồi thực hiện các tính 
 uu12,
toán 
 a 3
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB CD a , IJ ( I , J lần lượt là trung điểm của BC và 
 2
AD ). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 
 A. 30 . B. 45. C. 60. D. 90 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. A
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , . 
Ta có: J
 11a M
 MI NI AB CD 
 2 2 2 MINJ là hình thoi. O
 B D
 MI // AB // CD // NI N
 I
Gọi O là giao điểm của MN và IJ . 
 C
Ta có: MIN 2 MIO . 
 33
Từ đó: cos AB , DM . 
 66
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều 
bằng . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN, SC bằng 
 A. 30 . B. 45. C. 60. D. 90 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
 S
Gọi O là tâm của hình vuông O là tâm đường tròn 
ngoại tiếp của hình vuông (1). 
Ta có: SA SB SC SD S nằm trên trục của đường tròn 
ngoại tiếp hình vuông (2). N
Từ (1) và (2) SO ABCD . A B
Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình 
 M O
của SAD). MN,, SC SA SC . 
 D C
 SA2 SC 2 a 2 a 2 2 a 2
Xét SAC , ta có: SAC vuông tại S SA SC . 
 22
 AC 22 AD a
 SA, SC MN , SC 90  . 
Câu 5: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi I và J lần lượt là trung 
điểm của SC và BC . Số đo của góc IJ, CD bằng 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. S
Gọi là tâm của hình vuông là tâm đường tròn 
ngoại tiếp của hình vuông (1). 
Ta có: nằm trên trục của đường tròn I
ngoại tiếp hình vuông (2). A
 B
Từ (1) và (2) . 
 O J
Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình củDa 
 SAB ). IJ,, CD SB AB . C
Mặt khác, ta lại có đều, do đó SBA 60  SB , AB 60  IJ , CD 60  . 
Câu 6: Cho tứ diện có AB CD . Gọi , , E , F lần lượt là trung điểm của AC , , 
BD , . Góc giữa IE, JF bằng 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. A
 IJ // EF // AB
Từ giả thiết ta có: (tính chất đường trung bình 
 JE // IF // CD F
trong tam giác) I
Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành. B D
 11 E
Mặt khác: AB CD IJ AB JE CD ABCD là hình thoi 
 22 J
 IE JF (tính chất hai đường chéo của hình thoi) C
 IE, JF 90  . 
Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD . 
 1
Ta có: IJ IC ID 
 2 
Vì tam giác ABC có AB AC và BAC 60 
Nên tam giác đều. Suy ra: CI AB 
Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI AB . 
 1 1 1
Xét IJ. AB IC ID . AB IC . AB ID . AB 0 . 
 2 2 2
Suy ra IJ AB . Hay góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng 900 . 
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn khẳng định đúng? 
 A. AB2 AC 2 AD 2 BC 2 BD 2 CD 2 3 GA 2 GB 2 GC 2 GD 2 . 
 B. AB2 AC 2 AD 2 BC 2 BD 2 CD 2 4 GA 2 GB 2 GC 2 GD 2 . 
 C. AB2 AC 2 AD 2 BC 2 BD 2 CD 2 6 GA 2 GB 2 GC 2 GD 2 . 
 D. AB2 AC 2 AD 2 BC 2 BD 2 CD 2 2 GA 2 GB 2 GC 2 GD 2 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
AB2 AC 2 AD 2 BC 2 BD 2 CD 2
 2 2 2 2 2 2
 AG GB AG GC AG GD BG GC BG GD CG GD 
 3AG2 3 BG 2 3 CG 2 3 DG 2 2 AG . GB AG . GC AGGD . BG . GD BG . GD CG.1 GD 
Lại có: 
 GA GB GC GD0 
 GA2 GB 2 GC 2 GD 2 
 2 AG . GB AG . GC AG . GD BG . GD BG . GD CG . GD 2 
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 
Câu 13: Cho tứ diện có hai mặt và là các tam 
giác đều. Góc giữa AB và là? 
 A. 120. B. 60. 
 C. 90. D. 30 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
Gọi I là trung điểm của 
Vì và là các tam giác đều 
 CI AB
Nên . 
 DI AB
Suy ra AB CID AB  CD . 
Câu 17: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Cắt tứ diện đó bằng một mặt 
phẳng song song với một cặp cạnh đối diện của tứ diện. Trong các mệnh đề sau mệnh đề 
nào đúng? 
 A. Thiết diện là hình chữ nhật. B. Thiết diện là hình vuông. 
 C. Thiết diện là hình bình hành. D. Thiết diện là hình thang. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. A
Gỉa sử thiết diện là tứ giác MNPQ . 
Ta có: MN// PQ và MN PQ nên là hình bình hành 
 Q
Lại có AC BD MQ  PQ 
Vậy tứ giác là hình chữ nhật. 
 B D
 P
 C
Câu 18: Cho tứ diện . Chứng minh rằng nếu AB.... AC AC AD AD AB thì AB CD , 
AC BD , AD BC . Điều ngược lại đúng không? 
Sau đây là lời giải: 
Bước 1: AB... AC AC AD AC.( AB AD ) 0 AC.0 DB 
Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.. AD AD AB ta được và 
AB.. AC AD AB ta được . 
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến 
đổi tương đương. 
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? 
 A. Sai ở bước 3. B. Đúng C. Sai ở bước 2. D. Sai ở bước 1. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
Bài giải đúng. 
Câu 19: Cho hình chóp S. ABC có SA SB SC và ASB BSC CSA . Hãy xác định góc giữa cặp 
vectơ SC và AB ? 
 A. 120 B. 45 C. 60 D. 90 
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. S
Ta có: SC.... AB SC SB SA SC SB SC SA 
 SA. SB cos BSC SC . SA .cos ASC 0 
Vì và BSC ASC 
Do đó: SC, AB 900 
Câu 20: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh bên 
đều bằng . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN, SC bằng: 
 A. B. 30 C. D. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C.