Chuyên đề Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Hình học 11

 DẠNG 2: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
Phương pháp: 
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ta thực hiện theo các bước sau: 
 A
 a
 φ a'
 O A'
 α
- Tìm giao điểm Oa  
- Dựng hình chiếu A' của một điểm Aa xuống 
- Góc AOA' chính là góc giữa đường thẳng và . 
Lưu ý: 
- Để dựng hình chiếu của điểm A trên ta chọn một đường thẳng b  khi đó 
 AA' b . 
- Để tính góc ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA'. Ngoài ra nếu 
 không xác định góc thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng theo 
 un.
 công thức sin trong đó u là VTCP của còn n là vec tơ có giá vuông góc với . 
 un
- 
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , BC , BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi 
một. Khẳng định nào sau đây đúng? 
 A. Góc giữa AC và BCD là góc ACB . B. Góc giữa AD và ABC là góc ADB . 
 C. Góc giữa và ABD là góc CAB . D. Góc giữa CD và là góc CBD . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
 AB BC
Từ giả thiết ta có AB BCD . 
 AB CD
Do đó AC, BCD ACB . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
Ta có: SA ABCD SA  AC 
 SC; ABCD SCA 
 a 6
ABCD là hình vuông cạnh a AC a2, SA 
 3
 SA 3
 tan 30 . 
 AC 3
Câu 6: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của 
S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính 
số đo của góc giữa SA và ABC . 
 A. 600 B. 750 C. 450 D. 300 
Hướng dẫn giải: 
Do H là hình chiếu của lên mặt phẳng nên 
SH ABC 
 Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp 
 SA;; ABC SA AH SAH 
Ta có: SH ABC SH  AH 
 Mà: ABC SBC SH AH . Vậy tam giác SAH vuông cân 
tại SAH 450 
Câu 7: Cho hình thoi có tâm O , AC 2 a;2 BD AC . Lấy điểm không thuộc ABCD 
 1
sao cho SO ABCD . Biết tan SBO . Tính số đo của góc giữa SC và . 
 2
 A. 30 . B. 45. C. 60. D. 75. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
Ta có: AC 2 a; BD 2ACa 4 OB2 a 
 SO 11
 tan SBO SO OB a . 
 OB 22
 SO a
Mặt khác SC, ABCD SCO ; 1 
 OC a
Suy ra số đo của góc giữa và bằng . 
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên 
 AC a 2. 
 SA ABCD AC là hình chiếu vuông góc của SC 
lên ABCD SCA là góc giữa và ABCD . 
Tam giác SAC vuông tại A nên 
 SA a 6 1 1
 tanSCA . SCA 300 . 
 AC 3 a 23
Chọn đáp án A. 
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D . Gọi là góc giữa AC ' và mp A''. BCD Chọn 
khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 
 2
 A. 300. B. tan . C. 450. D. tan 2. 
 3
Hướng dẫn giải: 
 A'' C AC I
Gọi 
 C'' D CD H
 C'' D CD
mà C''' D A BCD IH là hình chiếu 
 CDAD'''
vuông góc của lên A''' BCD C IH là góc giữa 
 CH'1
và Mà tanC ' IH .2 2. 
 IH
 2 
 Chọn đáp án D. 
Câu 12: Cho hình chóp S. ABC có SA () ABC và tam giác ABC không vuông, gọi HK, lần 
lượt là trực tâm các ABC và SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp() SBC là? 
 A. 65. B. 90 . C. 45. D. 120. 
Hướng dẫn giải:: 
 BC SA
Gọi I  AH BC. Ta có BC ()()() SAI SBC  SAI và K SI . 
 BC AI
 SB CK
Ta lại có SB ()()() CHK SBC  CHK . 
 SB CH
Mà HK ()() SAI SHK , suy ra HK () SBC 
 Chọn đáp án B. 
Câu 13: Cho hình chóp thỏa mãn SA SB SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S 
lên mp ABC . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 
 A. là trực tâm tam giác . 
 B. là trọng tâm tam giác . 
 C. là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . 
 D. là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . 
Hướng dẫn giải: 
 B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng 
 khi a và song song (hoặc trùng với ). 
 C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 Q thì mặt phẳng song song với mặt phẳng . 
 D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 thì song song với . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
Câu 17: Cho góc tam diện Sxyz với xSy 1200 , ySz 600 , zSx 900 . Trên các tia Sx,, Sy Sz lần 
lượt lấy các điểm ABC,, sao cho SA SB SC a . Tam giác ABC có đặc điểm nào trong các 
số các đặc điểm sau : 
 A. Vuông cân. B. Đều. 
 C. Cân nhưng không vuông. D. Vuông nhưng không cân. 
Hướng dẫn giải: 
Xét SAB có AB2 SA 2 SB 2 2 SASB . .cos ASB 3 a 2 AB a 3 . 
 SBC đều BC a. 
 SAC có AB SA22 SC a 2 . 
Từ đó ABC vuông tại C. 
Vậy chọn D. 
Câu 18: Cho hình chóp S. ABCD có SA ABCD và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm 
của và I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây sai ? 
 A. IO ABCD . 
 B. BC SB. 
 C. SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD. 
 D. Tam giác SCD vuông ở D. 
Hướng dẫn giải: 
Có IO là đường trung bình tam giác SAC nên IO// SA nên 
IO ABCD . Phương án A đúng. 
 BC AB
Có BC SB . Phương án B đúng 
 BC SA
 CD AD
Và CD SD nên phương án D đúng. 
 CD SA
Phương án C sai. Thật vậy nếu là mặt phẳng 
trung trực của BD BD AC (vô lý). 
Vậy chọn C. 
Câu 19: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? 
 A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ 
 vuông góc với mặt phẳng kia. 
 B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với 
 nhau. 
 C. Với mỗi điểm A và mỗi điểm B  thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao 
 tuyến d của và  . 
 2ba22 
Để C nằm giữa S và C thì ASC 900 cos ASC 0  0  b 2 a 
 1 2b2
Chọn đáp án C 
Câu 24: Cho tứ diện ABCD có AB,, BC CD đôi một vuông góc. Điểm cách đều ABCD,,, là: 
 A. Trung điểm BC . B. Trung điểm AD . C. Trung điểm AC . D. Trung điểm AB . 
Hướng dẫn giải: 
Sử dụng tính chất trung điểm của tam giác vuông 
Câu 25: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi tâm O . Biết SA SC, SB SD . 
Khẳng định nào sau đây đúng ? 
 A. AB () SAC . B. CD AC . C. SO () ABCD . D. CD () SBD . 
Hướng dẫn giải: 
Do hình chóp có đáy là hình thoi tâm , nên 
Câu 26: Cho hình chóp có đáy là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có 
đường cao AH vuông góc với mp() ABCD . Gọi là góc giữa BD và mp() SAD . Chọn khẳng 
định đúng trong các khẳng định sau? 
 3 3
 A. 600 . B. 300 . C. cos . D. sin . 
 22 22
Hướng dẫn giải: 
 AB 3
Gọi I là trung điểm AS , suy ra BI() SAD IDB . Ta có: BI ,2 BD AB . Suy ra 
 2
 BI 3
sin 
 BD 22
Câu 27: Cho tứ diện đều. Gọi là góc giữa và mp() BCD . Chọn khẳng định đúng 
trong các khẳng định sau? 
 3 3 3
 A. cos . B. cos . C. cos 0 . D. cos . 
 3 4 2
Hướng dẫn giải:: 
Gọi H là hình chiếu của A lên , a là độ dài cạnh của tứ diện . 
 a 3 BH 3
Ta có ABH , BH . cos Chọn đáp án A. 
 3 AB 3
Câu 28: Cho tam giác ABC vuông cân tại và BC a . Trên đường thẳng qua vuông góc 
 a 6
với ABC lấy điểm S sao cho SA . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và ABC . 
 2
 A. 750 B. 300 C. 450 D. 600 
Hướng dẫn giải: 
 a 6
 SA
SB,() ABC SBA tan 2 3 60 
 AB a
 2
Câu 29: Cho hình lập phương ABCD. A1 B 1 C 1 D 1 . Gọi là góc 
giữa AC1 và mp ABCD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?