Chuyên đề Tính đơn điệu của hàm số - Đại số 12

 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ- CÓ GIẢI CHI TIẾT 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f() x xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng 
 hoặc một đoạn. 
 Hàm số y f() x đồng biến (tăng) trên K nếu x1,, x 2 K x 1 x 2 f x 1 f x 2 . 
 Hàm số y f() x nghịch biến (giảm) trên K nếu x1,, x 2 K x 1 x 2 f x 1 f x 2 . 
 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f() x có đạo hàm trên khoảng K . 
 Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x 0,  x K . 
 Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x 0,  x K . 
 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f() x có đạo hàm trên khoảng K . 
 Nếu f x 0,  x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . 
 Nếu f x 0,  x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . 
 Nếu f x 0,  x K thì hàm số không đổi trên khoảng K . 
  Chú ý. 
  Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y f() x 
 liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y f() x liên tục 
 trên đoạn ab; và có đạo hàm trên khoảng ab; thì hàm số đồng 
 biến trên đoạn ab; . 
  Nếu f x 0,  x K ( hoặc f x 0,  x K ) và fx 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn 
 của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ). 
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 
 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y f() x trên tập xác định 
 Bước 1. Tìm tập xác định D. 
 Bước 2. Tính đạo hàm y f() x . 
 Bước 3. Tìm nghiệm của fx () hoặc những giá trị x làm cho fx () không xác định. 
 Bước 4. Lập bảng biến thiên. 
 Bước 5. Kết luận. 
 2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f() x đồng biến, nghịch biến trên khoảng 
 ab; cho trước. 
 Cho hàm số y f(,) x m có tập xác định D, khoảng (;)a b D : 
  Hàm số nghịch biến trên (;)ab y' 0,  x ( a ; b ) 
  Hàm số đồng biến trên (;)ab y' 0,  x ( a ; b ) ax b ad bc
 Đối với hàm số yy ' 
 cx d() cx d 2
 Nếu ad – bc > 0 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định 
 Nếu ad – bc < 0 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 
 ở đây ad – bc = 1 +1 = 2 > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định → 
 chọn D 
Câu 2. Cho hàm số y x32 3 x 3 x 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 
 A. Hàm số luôn nghịch biến trên . 
 B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; . 
 C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; . 
 D. Hàm số luôn đồng biến trên . 
 Hướng dẫn 
 TXĐ: D . Ta có y' 3 x22 6 x 3 3( x 1) 0 ,  x Chọn A. 
 Giải nhanh 
 Đối với hàm bậc ba mà các em thấy hệ số a < 0 thì chỉ có hai khả năng là nghịch biến 
 trên R (y’ = 0 vô nghiệm) hoặc nghịch ngoài khoảng nghiệm ;a và b; . 
 Ngược lại 
 các em thấy hệ số a > 0 thì chỉ có hai khả năng là đồng biến trên R (y’ = 0 vô nghiệm) 
 hoặc đồng biến ngoài khoảng nghiệm và b; . 
 Nhìn cái thấy ngay a = -1 < 0 nên loại ngay C, D 
 Còn A, B các em thử đáp án bằng cách thử y’(0) bằng máy tính casio ( tại sao thử tại 
 vì x= 0 là sự khác biệt giữa hai đáp án) 
 qyzQ)qd+3Q)dp3Q)+2$= 
 Vậy y’(0) = -3 < 0 → chọn A 
Câu 3. Cho hàm số y x42 4 x 10 và các khoảng sau: A. h( x ) x42 4 x 4 . B. g( x ) x32 3 x 10 x 1. 
 44
 C. f() x x53 x x . D. k( x ) x32 10 x cos x . 
 53
 Hướng dẫn 
 Ta có: f'() x 4 x4 4 x 2 1 (2 x 2 1) 2 0,  x . Chọn C. 
 Giải nhanh 
 A, B, D các em loại luôn vì hệ số a của cả ba hàm đều > 0 nên nó không thể nghịch 
 biến trên a; nên không thể nghịch biến trên R còn lại đáp án C 
 xx2 35
Câu 6. Hỏi hàm số y nghịch biến trên các khoảng nào ? 
 x 1
 A. ( ; 4)và (2; ) . B. 4;2 . 
 C. ;1 và 1; . D. 4; 1 và 1;2 . 
 Hướng dẫn 
 2
 xx 28 2 x 2
 TXĐ: D \1  . y ' 2 . Giải y' 0 x 2 x 8 0 
 (x 1) x 4
 y ' không xác định khi x 1. Bảng biến thiên: 
 – – 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng 4; 1 và 1;2 Chọn D. 
 Giải nhanh 
 Ngó thấy hệ số của x2 là a = 1 > 0 nên A, C bị loại vì không thể nghịch biến tại 
 Đáp án B bị loại vì chứa -1 nên còn lại đáp án D 
 x3
Câu 7. Hỏi hàm số y 3 x2 5 x 2 nghịch biến trên khoảng nào? 
 3
 A. (5; ) B. 2;3 C. ;1 D. 1;5 
 Hướng dẫn Tính y’(10) !o0= 
 >0 nhận D 
 Hàm này không bị gián đoạn nên chọn B 
Câu 9. Cho hàm số y x32 3 x 9 x 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 
 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1 . 
 B. Hàm số đồng biến trên . 
 C. Hàm số đồng biến trên 9; 5 . 
 D. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; . 
 Hướng dẫn 
 TXĐ: D . Do y' 3 x2 6 x 9 3( x 1)( x 3) nên hàm số không thể đồng biến trên 
 . Chọn B. 
 Tư duy giải nhanh: 
 Đối với hàm bậc ba y ax32 bx cx d thì y' 3 ax2 2 bx c có '3 b2 ac 
 Nếu ' b2 3 ac 0 → hàm số đồng biến ( a>0) hoặc nghịch biến (a<0) trên R 
 Nếu ' b2 3 ac 0 → hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng biến, nghịch biến trên 
 các khoảng xác định 
 Trong bài này ngó thấy a và c trái dấu nên chắc chắn ' b2 3 ac 0 nên hàm số 
 này không thể đồng biến hay nghịch biến trên R. 
 Tất nhiên các em có thể thử đáp án y’(0) < 0 cũng ra ngay nhưng nếu các em nhớ 
 được công thức đơn giản kia thì thầy nghĩ chỉ mất khoảng 10s để làm bài này. 
Câu 10. Cho hàm số y 3 x23 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 
 A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 . 
 B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 ; 2;3 . 
 C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 ; 2;3 . 
 D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;3 . 
 Hướng dẫn 
 || 0 0 || 
 7 11 
 Hàm số đồng biến 0; và ; chọn A 
 12 12
 Sử Dụng Máy Tính Casio 
 Thử ngay y’(0.1) xem A, C có đúng không 
 CqyQ)P2+(jQ)))d$0.1= 
 > 0 
 Nhận A hoặc C. Nếu để ý các em sẽ thấy hàm không bị gián đoạn tại chỗ nào nên 
 7 
 loại ngay C vì đáp án C cho hàm bị gián đoạn tại . Nếu thử thì các em lấy giá trị 
 12
 đặc trưng của A hoặc C. 
 Giờ thử tiếp y’(0.99 ) !oo99qK= 
 > 0 → nhận đáp án A. 
 xm 2
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y giảm trên các 
 x 1
 khoảng mà nó xác định ? 
 A. m 3. B. m 3. C. m 1. D. m 1. 
 Hướng dẫn 
 m 1
 Tập xác định: D \1  . Ta có y 
 x 1 2
 Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định y 0,  x 1 m 1 
 Giải nhanh 
 Để thỏa mãn điều kiện thì ac bd 0 0 tức là: 1 1( mm 2) 0 1→ chọn D 
 Nếu thử đáp án các em thử đáp án thì B, C bị loại vì có dầu bằng 1
 Trường hợp 3: m ta có: 
 2
 33 mm 2 2
 sinxx ,  1 3 m 2 m 1 m . Vậy m 4; 
 2mm 1 2 1 3 3
 Chọn A 
 Sử dụng máy tính Casio 
 y' m 3 (2 m 1)sin x 
 Hàm số nghịch biến trên yx' 0,  tức là y'0 với x =1 
 Các em coi m là Y sử dụng tính năng CACL của máy tính các em nhập biểu thức y’ 
 rồi dựa vào đáp án chọn giá trị của Y cho hợp lý. 
 Qnp3+(2Qn+1)jQ)) 
 tiên CACL với Y = 4, X = 1 
 r4=1= 
 Vậy đáp án B, C sai vì y’(1) > 0 với m=4 → loại được B, C 
 Giờ CACL với Y = 1, X = 1 
 r1=1= 
 Như vậy là đáp án D cũng sai rồi vì m =1 thì y’(1) > 0 → chọn A 
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên 
 ? 
 y 2 x32 3( m 2) x 6( m 1) x 3 m 5 
 A. 0. B. –1 . C. 2. D. 1. 
 Hướng dẫn 
 2 x 1
 Tính nhanh, ta có f ( x ) 0 6 x 6 m 2 x 6 m 1 0 
 xm 1