Chuyên đề Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác - Đại số Lớp 11

GIẢI TÍCH 11. 
BÀI 2. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
I. Lý thuyết đạo hàm của hàm số lượng giác 
 sin x
1. Giới hạn của 
 x
 sin x
 lim 1 
 x 0
Định lý : x
Chú ý : Nếu hàm số u u x thỏa mãn điều kiện : ux 0 với mọi xx 0 và limux 0
 xx 0
 sinux 
thì lim 1. 
 xx 0 ux 
2. Đạo hàm của hàm số yx sin 
Định lý : Hàm số yx sin có đạo hàm tại mọi x và sinxx cos 
Chú ý : Nếu yu sin và thì sinu u .cos u . 
3. Đạo hàm của hàm số yx cos 
Định lý : Hàm số có đạo hàm tại mọi và cosxx sin 
Chú ý : Nếu y cos u và thì cosu u .sin u . 
4. Đạo hàm của hàm số yx tan 
 1
Định lý : Hàm số yx tan có đạo hàm tại mọi x k , k và tan x 
 2 cos2 x
Chú ý : Nếu yu tan và có đạo hàm trên K , u x k 
 2
 u 
 k với mọi xK . Khi đó trên ta có : tan u . 
 cos2 u
5. Đạo hàm của hàm số yx cot 
Định lý : 1
 Hàm số yx cot có đạo hàm tại mọi x k , k và cot x 2 
 sin x
Chú ý : Nếu yu cot và có đạo hàm trên ,u x k 
 u 
 k với mọi x . Khi đó trên ta có : cot u . 
 sin2 u
 Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác 
 sin 2x 
Ví dụ 4.Tính đạo hàm của hàm số y tại x . 
 cos3x 4
 Lời giải 
  5 
TXĐ : D \  k , k 2 , k 2 k 
 2 6 6
 sin 2x .cos3 x sin 2 x . cos3 x 2cos 2x .cos3 x 3sin 2 x .sin3 x
Ta có : y 
 cos3xx 22 cos3 
Khi đó : y 32. Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại là 32. 
 4
Ví dụ 5.Tính đạo hàm của hàm số y x.cos2 x tại x . 
 2
 Lời giải 
TXĐ : D 
Ta có: y x.cos 2 x x . cos 2 x cos 2 x 2 x .sin 2 x 
 ' 
Khi đó : y 1 . Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại là 1 . 
 2
Ví dụ 6. Chứng minh rằng : fx' 0 với f( x ) cos6 x 2sin 4 x .cos 2 x 3sin 2 x .cos 4 x sin 4 x . 
 Lời giải 
TXĐ : 
Ta có : 
 f x sin4 x 1 2cos 2 x cos 4 x 3sin 2 x cos 2 x 
 sin4x 1 2cos 2 x cos 4 x 1 2sin 2 x 
 sin4x cos 4 x 2sin 4 x cos 2 x 2sin 2 x cos 4 x 
 2
 cos2x sin 2 x 2sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x 
 1
Khi đó : fx 0 
 Vậy chứng tỏ với fx đã cho. 
Bài tập áp dụng: 
Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số yx sin 3 . 
Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y 5sin x 3cos x . 
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số y sin( x ) cos x . 
 36 
Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số y 4cos2 x 5sin(2 x 3) . 
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số y 3sin x cos x 2019 x . 
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số y x2.cos x 2 x sin x . 
 2
Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số y x2.cos3 x 2 x sin x . 
 3
 22 
Bài 6. Tính đạo hàm của hàm số y sin 3 x cos 2 x 1 . 
 4
 Bài giải 
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số . 
 Lời giải 
 Ta có y cos x sin x . 
 36 
Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số . 
 Lời giải 
 Ta có y 8sin2 x 10cos 2 x 3 . 
 Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số . 
 Lời giải 
 Ta có : y 3cos x sin x 2019 
 2 
Bài 4. Cho hàm số y cos 3 x sin 2 x . Tính y . 
 63 3
 Lời giải 
 2 
 Ta có: y 3sin 3 x 2cos 2 x . 
 63 
 Vậy 
 2 5 7
 y 3sin 3. 2cos 2. 3sin 2cos0 . 
 3 3 6 3 3 6 2
Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số y x2.cos3 x 2 x sin 3 x . 
 Lời giải 
 ' x
 2
 ' x 1 2 x
 Ta có: yx' cot2 1 x 1 
 2 2 2 2 2 2 2
 sinx 1 sin x 1 x 1.sin x 1
 1 
Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số f x cot x2 tại điểm x . 
 2 2
 Lời giải 
 2 
 1 x x
 Ta có: fx' 
 2 sin2xx 2 sin 2 2
 2 2 
 Suy ra: f ' 
 22 2 2
 sin 
 2
Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số f x tan22 x cot x tại điểm x . 
 4
 Lời giải 
 1 1 2tanxx 2cot
 Ta có: f' x 2tan x .2 2cot x . 2 2 2 
 cosx sin x cos x sin x
 2 tan 2cot
 Suy ra: f '8 44 
 4 cos22 sin
 44
Bài tập áp dụng: 
 x
Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số y tan . 
 3
Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y 3cos x cot 2 x . 
Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số y tan5 x cot 4 x . 
Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số yx cot 1 tại điểm x . 
 2
Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số y tan3 x cot 2 x tại điểm x . 
 4
 Lời giải 
Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số . 
 11
 (tanxx cot ) 22
 Ta có: fx'() cosxx sin 
 2 tanx cot x 2 tan x cot x
 sin22x cos x 2cos2 x
 2sin2x cos 2 x tan x cot x sin 2 2 x tan x cot x
 2cos
 2
 Suy ra f '0 
 4 2 
 sin tan cot
 2 4 4
Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y tan x2 2 x 1 
 '
 2
 xx 21 
 Ta có: y' tan x2 2 x 1 
 22
 cos xx 2 1 
 1
 2x 
 x 21xx 
 cos2 x 2 2 x 1 x cos 2 x 2 2 x 1 
 11
Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số y tan x tan35 x tan x 
 35
 Ta có: yx' 1 tan6 
Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số y tan(2 x 1) x cos2 x . 
Ta có: 
 2 2
 y' 2 cos x 2 x sin x cos x 
 cos (2x 1)
 2
 cos2 x x sin 2 x
 cos2 (2x 1)
Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số y 2 tan22 x 5cot x . 
 2sinxx 5
 Ta có: y ' 
 cos3xx sin 2 2
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác có yếu tố đạo hàm 
Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1. Cho yx tan . Chứng minh rằng yy'2 10 
 Lời giải 
 ' 1
 Ta có: tanxx 1 tan2 
 cos2 x