Chuyên đề Tính cực trị của hàm số - Đại số 12

 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ- Cể GIẢI CHI TIẾT 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f() x xỏc định và liờn tục trờn khoảng (;)ab (cú thể a là 
 ; b là ) và điểm x0 (;) a b . 
 Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x (;) x00 h x h và xx 0 thỡ ta núi 
 hàm số fx() đạt cực đại tại x0 . 
 Nếu tồn tại số sao cho f x f x0 với mọi và thỡ ta núi 
 hàm số đạt cực tiểu tại . 
 2. Điều kiện đủ để hàm số cú cực trị: Giả sử hàm số liờn tục trờn 
 K (;) x00 h x h và cú đạo hàm trờn K hoặc trờn Kx\{}0 , với . 
 Nếu fx'0 trờn khoảng (;)x00 h x và fx'( ) 0 trờn (;)x00 x h thỡ là một điểm 
 cực đại của hàm số . 
 Nếu fx 0 trờn khoảng và fx ( ) 0 trờn thỡ là một điểm 
 cực tiểu của hàm số . 
 Minh họa bằng bảng biến thiến 
  Chỳ ý. 
  Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại thỡ được gọi là điểm cực đại 
 (điểm cực tiểu) của hàm số; fx()0 được gọi là giỏ trị cực đại (giỏ trị cực tiểu) của 
 hàm số, kớ hiệu là ffCẹ ()CT , cũn điểm M( x00 ; f ( x )) được gọi là điểm cực đại (điểm 
 cực tiểu) của đồ thị hàm số. 
  Cỏc điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giỏ trị cực đại (giỏ 
 trị cực tiểu) cũn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 
B. Cỏch tỡm cực trị của hàm số 
 1. Quy tắc tỡm cực trị của hàm số 
 CÁCH 1: 
 Bước 1. Tỡm tập xỏc định của hàm số. 
 Bước 2. Tớnh fx . Tỡm cỏc điểm tại đú bằng 0 hoặc khụng xỏc định. 
 Bước 3. Lập bảng biến thiờn. 
 Bước 4. Từ bảng biến thiờn suy ra cỏc điểm cực trị. 
 Cỏch 2 
 Bước 1. Tỡm tập xỏc định của hàm số. 
 Bước 2. Tớnh . Giải phương trỡnh và ký hiệu xi i 1,2,3,... là cỏc 
 nghiệm của nú. 
 ba3 8
 Bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp ABC là R 
 8 ab
 bb2
 42aa b2
 Bỏn kớnh đường trũn nội tiếp là r 
 b4 b b4 a 16 a 2 2 ab 3
 16a2 2 a 2 a
 22 22 
 Phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp là: x y c y c 0 
 b44 a b a 
 MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO 
 32
Cõu 1. Cho hàm số y x 32 x mx (m là tham số) cú đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xỏc định m để (Cm) cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu cỏch đều đường thẳng yx 1. 
 Hướng dẫn 
 Ta cú: y' 3 x2 6 x m . 
 2
 Hàm số cú CĐ, CT y' 3 x 6 x m 0 cú 2 nghiệm phõn biệt xx12; 
 ' 9 3mm 0 3 (*) 
 Gọi hai điểm cực trị là A x12;;;yy12 B x 
 1 1 2mm 
 Thực hiện phộp chia y cho y ta được: y x y' 2 x 2 
 3 3 3 3 
 22m m m m 
 y11 y x 2 xx12 2 ; y22 y x 2 2 
 3 3 3 3 
 2mm 
 Phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : yx 22 
 33 
 Cỏc điểm cực trị cỏch đều đường thẳng xảy ra 1 trong 2 trường hợp: 
 TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trựng với đường thẳng 
 23m
 21 m (thỏa món) 
 32
 TH2: Trung điểm I của AB nằm trờn đường thẳng 
 y1 y 2x 1 x2 2mm 
 yII x 11 22 x1 x 2 22 x 1 x2 
 22 33 
 22mm
 3 .2 6 m 0
 33
 3
 Vậy cỏc giỏ trị cần tỡm của m là: m 0; 
 2
 3 2 3
Cõu 2. Cho hàm số y x 34 mx m (m là tham số) cú đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xỏc định m để (Cm) cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y 
 = x. 
 Hướng dẫn 
 2 x 0
 Ta cú: y 36 x mx ; y 0 . Để hàm số cú cực đại và cực tiểu thỡ m 0. 
 xm 2
 Đồ thị hàm số cú hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) AB (2 m ; 4 m3 ) 
 2(1 2m )
 xx12 
 Hàm số đạt cực trị tại cỏc điểm xx, . Khi đú ta cú: 3 
 12 2 m
 xx 
 12 3
 1 2 2 1
 x x x x x x 4 x x 
 123 1 2 1 2 12 9
 3 29 3 29
 4(1 2m )22 4(2 m ) 1 16 m 12 m 5 0 m  m 
 88
 3 29
 Kết hợp (*), ta suy ra mm  1 
 8
 11
Cõu 6. Cho hàm số y x32 ( m 1) x 3( m 2) x , với m là tham số thực. 
 33
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho ứng với m 2 . 
 2) Xỏc định để hàm số đó cho đạt cực trị tại xx12, sao cho xx12 21. 
 Hướng dẫn 
 Ta cú: y x2 2( m 1) x 3( m 2) 
 Hàm số cú cực đại và cực tiểu y 0 cú hai nghiệm phõn biệt 
 0 mm2 5 7 0 (luụn đỳng với m) 
 x x 2( m 1) xm 32
 Khi đú ta cú: 12 2 
 x x 3( m 2) x1 2 x 3( m 2)
 12 22 
 4 34
 8m2 16 m 9 0 m . 
 4
Cõu 7. Cho hàm số y x3 3(m 1)x 2 9x m , với là tham số thực. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho ứng với m 1. 
 2) Xỏc định để hàm số đó cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 x2 2 . 
 Hướng dẫn 
 Ta cú y' 3x2 6(m 1)x 9. 
 + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 PT y' 0 cú hai nghiệm phõn biệt 
 PT x2 2(m 1)x 3 0 cú hai nghiệm phõn biệt là . 
 m 1 3
 ' (m 1)2 3 0 (1) 
 m 1 3
 + Theo định lý Viet ta cú x1 x2 2(m 1); x1x2 3. Khi đú: 
 2 2
 x1 x2 2 x1 x2 4x1x2 4 4 m 1 12 4 
 (mm 1)2 4 3 1 
+ Từ (1) và (2) suy ra giỏ trị của m cần tỡm là 3 m 1 3 và 1 3 m 1. 
Cõu 8. Cho hàm số y x32 (1 2 m ) x (2 m ) x m 2, với là tham số thực. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho ứng với . 
 1
 2) Xỏc định để hàm số đó cho đạt cực trị tại sao cho xx . 
 123
 Hướng dẫn 
 Ta cú: y' 3 x2 2 (1 2 m)() x 2 m 
 Hướng dẫn 
 x 0
 f x 4 x3 4( m 2) x 0 
 Ta cú 2 
 xm 2
 Hàm số cú CĐ, CT PT fx ( ) 0 cú 3 nghiệm phõn biệt m 2 (*) 
 Khi đú toạ độ cỏc điểm cực trị là: A 0; m2 55, m B 2;1 m m , C 2;1 m m 
 AB 2 m ; m22 4 m 4 , AC 2 m ; m 4 m 4 
 1
 Do ABC luụn cõn tại A, nờn bài toỏn thoả món khi A 600 cosA 
 2
 AB.1 AC
 m 2 3 3 . 
 AB. AC 2
 Cõu hỏi tương tự đối với hàm số: y x42 4( m 1) x 2 m 1 
 4 2 2
Cõu 12. Cho hàm số y x 2 mx m m cú đồ thị (Cm) . 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 
 2) Với những giỏ trị nào của m thỡ đồ thị (Cm) cú ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực 
 trị đú lập thành một tam giỏc cú một gúc bằng 1200 . 
 Hướng dẫn 
 3 2 x 0 
 Ta cú y 44 x mx ; y 0 4 x ( x m ) 0 (m < 0) 
 xm 
 Khi đú cỏc điểm cực trị là: A(0; m2 m ), B m ; m , C m ; m 
 AB (;) m m2 ; AC (;) m m2 . ABC cõn tại A nờn gúc 120 chớnh là A . 
 1AB . AC 1 m . m m4 1
 A 120 cosA 
 4
 2AB. AC 2mm 2
 m 0 ( loaùi )
 mm 4 1
 2m 2 m4 m m 4 3 m 4 m 0 1 
 mm4 2 m 
 3 3
 1
 Vậy m . 
 3 3
 42
Cõu 13. Cho hàm số y x 21 mx m cú đồ thị (Cm) . 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Với những giỏ trị nào của m thỡ đồ thị (Cm) cú ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực 
 trị đú lập thành một tam giỏc cú bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp bằng 1 . 
 Hướng dẫn 
 32 x 0
 Ta cú y 4 x 4 mx 4 x ( x m ) 0 2 
 xm 
 Hàm số đó cho cú ba điểm cực trị PT y 0 cú ba nghiệm phõn biệt và y đổi dấu khi 
 x đi qua cỏc nghiệm đú m 0. Khi đú ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: 
 A(0;1), m B m ; m22 m 1, C m ; m m 1