Chuyên đề Tính chất tia phân giác của một góc Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC. 
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC 
 BÀI 5. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phát biểu được các định lí về tính chất các điểm thuộc tia phân giác. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng được tính chất tia phân giác của một góc để chứng minh tính chất hình học. 
 + Sử dụng được định lí đảo để chứng minh một tia là tia phân giác của một góc. 
 Trang 1 
 BGD CGD 90 (DG là trung trực của BC), 
 BG CG (giả thiết), 
DG là cạnh chung. 
Do đó BGD CGD (hai cạnh góc vuông) 
 BD CD (hai cạnh tương ứng). 
Xét BHD và CKD, có 
 BHD CKD 90 (giả thiết); 
 DH DK (chứng minh trên); 
 BD CD (chứng minh trên). 
Do đó BHD CKD (cạnh huyền – cạnh góc 
vuông) BH CK (hai cạnh tương ứng). 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho ABC có A 120  . Tia phân giác của A cắt BC tại D. Tia phân giác của ADC cắt AC tại I. 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I trên đường thẳng AB, BC. Chứng minh IH IK. 
Câu 2: Cho ABC vuông tại A có AB 3 cm , AC 6 cm . Gọi E là trung điểm AC, tia phân giác của A 
cắt BC tại D. 
a) Tính BC. 
b) Chứng minh BAD EAD. 
c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh điểm D cách đều AB và AC. 
Câu 3: Cho xOy 0 xOy 180  , Om là tia phân giác xOy . Trên tia Om lấy điểm I bất kì. Gọi E, F 
lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến Ox và Oy. Chứng minh: 
a) IOE IOF. 
b) EF Om. 
Câu 4: Cho ABC có A 100  . Gọi CD là tia đối của tia CB. Tia phân giác của B cắt tia phân giác của 
 ACD tại K. Tính số đo BAK . 
Câu 5: Cho ABC có B 120  . Kẻ đường phân giác BM. Đường phân giác của góc ngoài ở đỉnh C cắt 
đường thẳng AB ở P. Đoạn thẳng MP cắt BC ở K. Tính số đo AKM . 
Dạng 2: Chứng minh một tia là tia phân giác của một góc 
 Phương pháp giải 
Cách 1. Sử dụng định lí đảo. Ví dụ: Cho ABC cân tại A, các đường cao BE và 
Cach 2. Sử dụng định nghĩa tia phân giác. CF cắt nhau tại H. Chứng minh AH là phân giác 
Cách 3. Chứng minh hai góc bằng nhau nhờ hai của BAC . 
 Trang 3 
Ví dụ. Cho ABC, hai đường phân giác của hai góc ngoài 
đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại E. Chứng minh E thuộc phân 
giác trong của BAC . 
Hướng dẫn giải 
Từ E hạ EH BC; EF  AB ; EG  AC với 
 H BC; F AB ; G AC . 
Ta có 
 EF EH (E thuộc phân giác ngoài của B ). 1 
Và EH EG (E thuộc phân giác ngoài của C ). 2 
Từ 1 và 2 ta có EF EG E thuộc tia phân giác trong 
của BAC (tính chất tia phân giác của một góc). 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kì trên cạnh BC, kẻ KH AC H AC . Trên tia 
đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI HK. Chứng minh 
a) AB // HK . 
b) KAH IAH . 
c) AKI cân. 
Câu 2: Cho xOy . Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA OB. Lấy các điểm C, D thuộc Oy sao cho 
 OC OA, OD OB . Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng 
a) AD BC. 
b) ABE CDE. 
c) OE là tia phân giác của xOy . 
Câu 3: Cho ABC có phân giác AD thỏa mãn BD 2 DC . Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho 
 BC CE. Chứng minh ADE là tam giác vuông. 
Câu 4: Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ HM, HN lần lượt vuông góc với AB, AC. Trên tia 
đối của tia MH lấy MD MH. Trên tia đối NH lấy điểm E sao cho NE NH. Gọi I và K là giao điểm 
của DE với AB và AC. Chứng minh rằng 
a) IB là tia phân giác của HID . 
b) HA là tia phân giác của IHK . 
 Trang 5 
Câu 3. 
a) Xét IOE và IOF có 
 EF  90  (giả thiết); OI cạnh chung; 
 EOI FOI (Om là tia phân giác). 
Vậy IOE IOF (cạnh huyền – góc nhọn). 
b) IOE IOF (chứng minh trên) OE OF 
(hai cạnh tương ứng). 
Gọi H là giao điểm của Om và EF. 
Xét OHE và OHF, có 
 OE OF (chứng minh trên); EOH FOH (Om là 
tia phân giác); OH chung. 
Do đó OHE OHF (c.g.c) OHE FHO . 
(hai góc tương ứng) 
Mà OHE FHO 180 nên OHE FHO 90 
Vậy EF Om. 
Câu 4. 
Từ K kẻ 
 KE AB; KF  AC ; KH  BC
 E AB; F AC ; H BC . 
Do K thuộc tia phân giác của góc B nên KE KH (tính chất 
tia phân giác của một góc). 1 
Lại có K thuộc tia phân giác của ACD nên KF KH (tính 
chất tia phân giác của một góc). 2 
Từ 1 và 2 suy ra KE KF 
 K thuộc tia phân giác của CAE (tính chất tia phân giác 
của một góc) 
 CAE 180 CAB 180   100
 CAK KAE 40 
 2 2 2
 BAK 180  KAE 180   40 140  . 
Vậy BAK 140  . 
Câu 5. 
 Trang 7 
Suy ra AKI cân tại A. 
Câu 2. 
a) Xét OAD và OCB, có OA OC (giả thiết); O 
chung; OD OB (giả thiết). 
Do đó OAD OCB (c.g.c) AD CB (hai cạnh 
tương ứng). 
b) Do OA OC và OB OD nên AB CD. 
Lại có OAD OCB (chứng minh trên) 
 OBC ODA ; OAD OCB (hai góc tương ứng) 
Mặt khác ABE OBC CDE ODA 180 
 ABE CDE . 
Xét ABE và CDE có 
 OAD OCB (chứng minh trên); 
 AB CD (chứng minh trên); 
 ABE CDE (chứng minh trên); 
Do đó ABE CDE (g.c.g). 
c) Vì ABE CDE (chứng minh trên) nên AE CE 
(hai cạnh tương ứng). 
Xét AEO và CEO có AE CE (chứng minh trên); OE 
cạnh chung; OA OC (giả thiết). 
Do đó AEO CEO (c.c.c) 
 AOE COE (hai góc tương ứng) OE là tia phân 
giác của xOy . 
Câu 3. 
Trên tia AC lấy điểm M sao cho CM CA. 
Xét ACE và MCB có 
 CE CB (giả thiết); ACE MCB (hai góc đối 
đỉnh); CM CA (theo cách dựng hình). 
Do đó ACE MCB (c.g.c). 
Trong tam giác ABM có BC là trung tuyến, 
 BC 2 DC 
 D là trọng tâm của ABM. 
Đường thẳng AD là trung tuyến đồng thời là phân 
 Trang 9