Chuyên đề Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 
 BÀI 7: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phát biểu được định lí thuận và đảo về tính chất các điểm thuộc đường trung trực. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng được các định lí để giải toán. 
 + Ứng dụng trong một số bài toán thực tế. 
 Trang 1 
Ví dụ. Cho góc vuông xOy . Trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B (không trùng với O). Đường 
trung trực của các đoạn thẳng OA và OB cắt nhau ở H. 
 a) Chứng minh rằng A, H, B thẳng hàng. 
 b) Chứng minh H là trung điểm của AB. 
 Hướng dẫn giải 
 a) Ta có H thuộc trung trực của OA, OB 
 HA HO HB AHO, BHO cân tại H 
 AHO 180o 2 AOH
 (tổng ba góc trong tam giác) 
 o
 BHO 180 2 BOH 
 AHB AHO BHO 
 180o 2 AOH 180 o 2 BOH 
 360o 2 AOH BOH 
 360o 2 AOB 360 o 2.90 o 180 o . 
 Vậy A, H, B thẳng hàng. 
 b) Từ kết quả câu a) có HA HB và ba điểm A, H, B thẳng hàng nên H là trung điểm của AB. 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho MNP vuông tại M có P 30o . Trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho MQ MP . 
Tính số đo NQM . 
Đáp án 
 Ta có MQ MP (giả thiết) 
 M là trung điểm của PQ. (1) 
 Lại có MNP vuông tại M 
 NM  MP hay NM PQ . (2) 
 Từ (1), (2) suy ra NM là trung trực của PQ NQ NP (tính chất đường trung trực) 
 NQP cân tại N (định nghĩa tam giác cân). 
 NQM NQP NPQ NPM 30o . 
Câu 2: Cho xOy 40o . Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm 
B. Lấy điểm C sao cho OB là đường trung trực của AC. 
 a) Chứng minh OAB OCB . 
 b) Tính số đó AOC . 
Đáp án 
 a) Ta có OB là đường trung trực của AC (giả thiết) 
 OA OC, BA BC (tính chất đường trung trực của một 
 đoạn thẳng). 
 Trang 3 
 a) Ta có PAB cân tại P nên PA PB 
 P thuộc đường trung trực của AB (tính chất đường 
 trung trực của một đoạn thẳng) (1) 
 b) Lại có QAB cân tại Q nên QA QB 
 Q thuộc trung trực của AB (tính chất đường trung 
 trực của một đoạn thẳng). (2) 
 Từ (1), (2) suy ra PQ là đường trung trực của AB. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho góc xOy (0o xOy 90 o ), Ot là tia phân giác của xOy và H là một điểm bất kì thuộc tia Ot. 
Qua H lần lượt vẽ đường thẳng d và d thỏa mãn d vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và d vuông góc 
với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh rằng: 
 a) OH là đường trung trực của AB. 
 b) Điểm H thuộc đường trung trực của CD. 
 Hướng dẫn giải 
 a) Xét HAO và HBO có 
 HAO HBO 90o (vì HA Ox , HB Oy ); 
 HOA HOB (do OH là phân giác xOy ); 
 OH cạnh chung. 
 Do đó HAO HBO (cạnh huyền – góc nhọn) 
 OA OB
 (các cạnh tương ứng) 
 HA HB
 OH là trung trực của AB (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng). 
 b) Xét OAC và OBD có 
 OAC OBD 90o (vì HA Ox , HB Oy ); 
 OA OB (chứng minh trên); O chung. 
 Do đó OAC OBD (g.c.g) OD OC (hai cạnh tương ứng). 
 Xét ODH và OCH có 
 Trang 5 
Đáp án 
 a) Ta có AD AE (D, E thuộc đường tròn tâm A) 
 A thuộc đường trung trực của DE (tính chất đường 
 trung trực của một đoạn thẳng). 
 b) Tương tự câu a), ta có điểm B thuộc đường trung 
 trực của DE. 
 Vậy AB là đường trung trực của DE. 
Dạng 3: Xác định vị trí của điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài 
 Phương pháp giải 
Sử dụng định lí 2: “Điểm cách đều Ví dụ: Cho hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d. 
hai mút của một đoạn thẳng thì nằm Biết đường thẳng d và đường thẳng AB cắt nhau. Xác định vị 
trên đường trung trực của đoạn thẳng trí điểm M trên đường thẳng d sao cho M cách đều hai điểm 
đó” để xác định một điểm nằm trên A, B. 
đường trung trực của đoạn thẳng. Hướng dẫn giải 
 Vì điểm M cách đều hai điểm A và B nên M thuộc đường 
 trung trực của đoạn thẳng AB. 
 Giả sử trung trực xy của AB cắt d tại M. 
 Khi đó M là giao điểm của đường thẳng d với đường trung 
 trực của AB và M là điểm duy nhất. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho ABC có AB AC . Xác định vị trí điểm D trên cạnh AC sao cho DA DB AC . 
 Hướng dẫn giải 
 Vẽ xy là trung trực của BC cắt AC tại D 
 D là điểm cần xác định. 
 Thật vậy DB DC (do D thuộc trung trực của BC) 
 DA DB DA DC . 
 Mà AC DA DC (vì D nằm giữa A và C) 
 Trang 7 
 Mà A1 A 2 (do AI là phân giác của A ) nên E F1 
 AEF cân tại A (tính chất tam giác cân) AE AF . 
 Suy ra A thuộc đường trung trực của EF (tính chất đường trung 
 trực của một đoạn thẳng). 
 Vậy đường trung trực của EF luôn đi qua đỉnh A của tam giác 
 ABC. 
 b) Vì EF// AI nên đường trung trực của EF vuông góc với AI 
 (mối quan hệ giữa vuông góc và song song). 
 Kết hợp kết quả câu a), suy ra đường trung trực của EF luôn đi 
 qua điểm A và vuông góc với AI cố định. 
 Vậy đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố định. 
Dạng 4: Sử dụng tính chất đường trung trực vào bài toán về cực trị 
 Phương pháp giải 
- Sử dụng tính chất đường trung trực Ví dụ: Hai điểm A, B cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là 
để thay đổi độ dài một đoạn thẳng đường thẳng d. Tìm vị trí của điểm C trên đường thẳng d sao 
bằng độ dài một đoạn thẳng khác cho giá trị của tổng CA CB là nhỏ nhất. 
bằng nó. Hướng dẫn giải 
- Sử dụng bất đẳng thức tam giác để 
tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. 
Bước 1. Xây dựng cặp tổng độ dài Lấy D là điểm đối xứng với A qua d. Theo tính chất đường 
đoạn thẳng trung gian. trung trực, ta có CA CD . 
 Do đó CA CB CD CB . 
Bước 2. Lập luận để xác định vị trí Gọi M là giao điểm của BD và d. 
điểm cần tìm. Nếu C không trùng với M thì xét BCD , ta có 
 CB CD BD hay CA CB BD . (1) 
 Nếu C trùng với M thì 
 CA CB MA MB MD MB BD . (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra CA CB BD . 
 Do đó khi C trùng M hay C là giao điểm của BD và d thì giá 
 trị của tổng CA CB nhỏ nhất. 
 Trang 9 
 Theo tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng ta có CA CD . 
 Nếu M không trùng với C, xét MBD có 
 MA MB MD MB BD (bất đẳng thức tam giác). (1) 
 Nếu M trùng C thì 
 MA MB CA CB CD CB BD . (2) 
 Từ (1), (2) ta có MA MB BD . 
 Dấu " " xảy ra khi M C . 
 Vậy điểm M là giao điểm của đường thẳng a và BD thì đường ống dẫn nước phải dùng là ngắn 
 nhất. 
Câu 2: Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng a lấy điểm M bất kì. 
Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng a lấy điểm C bất kì (C A ). 
 a) Hãy so sánh độ dài của MA MC với độ dài đoạn CB. 
 b) Tìm vị trí của M trên đường thẳng a để MA MC là nhỏ nhất. 
Đáp án 
 a) M nằm trên đường trung trực của AB MA MB . (1) 
 Xét CMB có MC MB BC (bất đẳng thức tam giác). (2) 
 Từ (1), (2) ta có MA MC BC . 
 b) Với ba điểm A, B, C cố định thì đoạn thẳng AB cố định nên 
 đường trung trực của AB cũng cố định. 
 Gọi M là giao điểm của BC với đường thẳng a. 
 Điểm M di động trên đường thẳng a thì MB MC BC . 
 MB MC nhỏ nhất là bằng độ dài BC khi M M hay tổng MA MC nhỏ nhất là bằng độ dài 
 BC khi M là giao điểm của đường thẳng a với BC. 
Câu 3: Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy . 
 a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox và Oy sao cho AM AN nhỏ nhất 
 b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox và Oy sao cho ABC có chu vi nhỏ nhất. 
Đáp án 
 a) Từ A vẽ AM Ox , AN Oy (M OxN , Oy ). 
 Ta có AM nhỏ hơn các đoạn từ A đến Ox và AN nhỏ hơn 
 các đoạn từ A đến Oy (đường vuông góc nhỏ hơn mọi 
 đường xiên). 
 Vậy để AM AN có giá trị nhỏ nhất thì M, N lần lượt là 
 hình chiếu của A lên Ox; Oy. 
 b) Lấy D đối xứng với A qua Ox, lấy E đối xứng với A 
 qua Oy. 
 Suy ra Ox, Oy lần lượt là đường trung trực của AD, AE. 
 Đường thẳng DE cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C cần tìm. 
 Thật vậy, lấy hai điểm B , C bất kì lần lượt thuộc Ox, Oy. 
 Ta cần chứng minh AB BC CA AB BC CA . 
 Trang 11