Chuyên đề Tính chất đường phân giác của tam giác Toán Lớp 8

 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định lý 
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai 
cạnh kề hai đoạn ấy. 
 ABC  DB AB
  . 
 BAD CAD  DC AC
2. Chú ý 
* Định lý vẫn đúng với đối với đường phân giác góc ngoài của tam giác. 
 ABC AB  AC EB AB
  . 
 BAE CAE  EC AC
* Các định lý trên có định lý đảo 
 DB AB
 AD là đường phân giác trong của tam giác. 
 DC AC
 EB AB
 AE là đường phân giác ngoài của tam giác. 
 EC AC
II. BÀI TẬP MINH HỌA 
A.DẠNG BÀI CƠ BẢN 
 DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
 Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng và sử dụng kĩ thuật đại 
số hóa hình học. 
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
 Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng. 
 Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học. Công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện 
tích tam giác. 
VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM . Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh 
 A
 AB ở D , tia phân giác của góc AMC cắt các cạnh AC ở E . Chứng minh rằng DE BC . 
Lời giải (hình 289) 
Từ giả thiết AM là trung tuyến, đặt BM MC a . 
 D E
Áp dụng tính chất của đường phân giác MD và ME vào hai tam giác 
 2 3
 AMB và AMC , ta được: 1 4
 B M C
 AD AM AM Hình 289
 AD AE
 DB MB a . 
 AE AM AM DB EC
 EC MC a
Điều này chứng tỏ đường thẳng DE cắt hai cạnh AB và AC của tam 
giác ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên DE BC (theo định 
lí Ta-lét đảo). 
Ví dụ 2. 
a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và phân giác AD . Tính diện tích tam giác 
 ADM biết AB m, AC n ()n m . 
b) Cho n 7 cm , m 3 cm . Hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích 
tam giác ABC ? A
Lời giải (hình 290) 
 S n
a) Ta có ADM DM hay DM m
 SSADM .
 SABC BC BC
(vì chung chiều cao kẻ từ đến , với ). 
 A BC SS ABC B D M C
 Hình 290
Ta còn phải tính tỉ số DM: BC . 
Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC , 
ta được: 
 DB BA m DB mt
 (với t 0 ). 
 DC CA n DC nt
 Bài 2: Cho tam giác ABC có AB 4 cm , AC 5 cm , BC 6 cm , các đường phân giác BD và 
CE cắt nhau ở I. 
a) Tính các độ dài AD,. DC 
b) Tính các độ dài AE,. BE 
Bài 3: Cho tam giác cân ABC có AB BC. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường 
phân giác góc C cắt BA tại N. Chứng minh MN // AC. 
Bài 4: Cho ΔABC có AD , BE , CF là các đường phân giác. Chứng minh rằng: 
 AE CD BF
  .  . 1. 
 EC DB FA
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của A và D cắt các đường chéo BD và AC lần lượt 
tại M và N. Chứng minh: MN song song với AD. 
Bài 6: Cho ΔABC có phân giác AD , biếtAB m, AC n . 
a) Tính tỉ số diện tích của ΔABD và ΔACD theo m và n . 
b) Vẽ phân giác DE của ADB và vẽ phân giác DFcủa ADC . Chứng minh rằng: 
 AFCDBEAEBDCF.... . 
Bài 7: Cho ΔABC , trung tuyến AM , đường phân giác của AMB cắt AB ở D , đường phân giác 
của AMC cắt AC ở E. 
a) Chứng minh rằng DE/ /BC . 
b) Gọi I là giao điểm của AM và DE . Chứng minh rằng DI IE. 
c) Tính DE , biết BC 30cm,AM 10cm. 
d) ΔABC phải thêm điều kiện gì để ta có DE AM? 
e) Chứng minh rằng ΔABC cân nếu biết MD ME . 
Bài 8: Cho ∆ABC vuông cân tại A. Đường cao AH và đường phân giác BE cắt nhau tại I. Chứng 
minh rằng: CE 2. HI . 
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI CƠ BẢN 
Bài 1: 
 Hình 2 
 Bài 5: Gọi O là giao điểm của BD và AC. 
 AB BM
Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: 
 AD DM
 CD CN
Tương tự, ; 
 AD AN
 BM CN
Mà , suy ra 
 AB CD DM AN
Từ đó, ta có: 
 BM CN BD CA DO AO
 1 1 
 DM AN DM AN DM AN
Suy ra MN// AD . 
Bài 6: a) Vẽ đường cao AH của ABC .Vì ΔABC có phân giác AD nên: 
 1
 ..AH BD
 BD AB m S BD m
 . Vậy ABD 2 
 CD AC n S1 CD n
 ACD ..AH CD
 2
 AF AD
b) Ta có: (do DFlà phân giác ADC ) 
 CF CD
 BE BD
 (do DE là phân giác ADB ) 
 AE AD
 AF CD BE AD CD BD
 . . . . 1
 CF BD AE CD BD AD
 AF.... CD BE AE BDCF 
Bài 7: a) Ta có 
 BD MB
 (do MD là phân giác của AMB ) 
 AD MA
 CE MC
 (do ME là phân giác của AMC ) 
 AE MA
Mà MBMC ( M là trung điểm của BC ) 
 BD CE
 DE / /BC 
 AD AE
b) Xét ABM và ACM lần lượt có DI/ /BM và EI/ /CM . 
 DI EI AI 
 Mà BM CM DI EI 
 BM CM AM 
 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, BM là đường phân giác. Biết rằng 
 GM AC . Chứng minh rằng BM vuông góc với trung tuyến AD . 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng qua I cắt các 
đường thẳng BC,, CA AB lần lượt tại DEF,, sao cho D, E nằm cùng phía đối với điểm I . Chứng 
 BC AC AB
minh rằng: . 
 ID IE IF
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao 
cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia 
 BG HD
AM cắt BC tại G. Chứng minh: . 
 BC AH HC
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của 
AB. Biết AB=6cm, AC=8cm. 
a) Vẽ AK là tia phân giác của góc BAC (K thuộc BC). Tính AK? 
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên AC và T là điểm đối xứng của N qua I với I là giao điểm 
của CN và HE. Chứng minh tứ giác NETH là hình bình hành. 
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI NÂNG CAO 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, BM là đường phân giác. Biết rằng 
 GM AC . Chứng minh rằng BM vuông góc với trung tuyến AD . 
 Giải 
Cách 1. (Không dùng tính chất đường phân giác). Gọi I là giao điểm của BM và AD, H là trung 
 1
điểm AC DH // AB và DH AB (vì DH là đường trung bình ABC ). 
 2
Lại có GM // AB (cùng vuông góc với AC ) 
 GM // DH . Áp dụng hệ quả định lý ta-lét: 
Xét ADH có GM // DH 
 GM AG2 GM 2
 . 
 DH AD3 DH 3
 GI GM GH 1
Xét ABI có GM // AB 
 AI AB BH 3
 GIAIA 3 3 3 2 AD
 AI... AG AD AI 
 AI 3 4 4 3 2
 I là trung điểm của AD . 
 ABD có BI vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, suy ra ABD cân tại B nên BI 
vừa là đường cao vừa là đường phân giác. Do đó BM AD . 
 BCHCBCBGHCGCHC 
 1 
 BGHDBGHDGBHD
 HCGC HCAC
Ta chứng minh: . Ta có: DE // AH . 
 HDGB HDAE
Dựng đường thẳng qua E vuông góc AH tại I, suy ra HIED là hình chữ nhật. 
IE = HD = HA; IAE HBA do đó hai tam giác vuông IEA và HBA bằng nhau.
 HCACAC
 AE AB .
 HDAEAB
Vì M là trung điểm BE, tam giác ABE cân tại A nên AM là tia phân giác góc BAC hay G là chân
đường phân giác trong góc BAC trong tam giác ABC. Từ đó ta có:
 GCAC HCACACGC
 . Vậy . 
 GBAB HDAEABGB
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. 
Biết AB=6cm, AC=8cm. 
a) Vẽ AK là tia phân giác của góc BAC (K thuộc BC). Tính AK?
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên AC và T là điểm đối xứng của N qua I với I là giao điểm
của CN và HE. Chứng minh tứ giác NETH là hình bình hành. 
Giải: 
a) Theo tính chất chân đường phân giác trong ta có: B
 K C A C 4 C K 4
 . 
 K B A B 3 C B 7 H
Gọi K’ là hình chiếu vuông góc của K lên AC, suy ra KK’ // K
AB. Theo định lí Talet ta có: N
 K K ' C K 4 4 4 2 4
 KK' .AB .6 (cm) . 
 A B C B 7 7 7 7 I
Mặt khác, tam giác AKK’ vuông cân tại K’ nên: T
 24 A C
 AK KK’.2 2(cm) . E K'
 7
b) Ta chứng minh I là trung điểm của HE.
 IECIIH
Vì HE AC nên HE // BA. Theo định lí Talet ta có: . 
 NACNNB
Vì NA = NB nên IE = IH. Do đó I là trung điểm của HE. 
Theo giả thiết thì I là trung điểm của NT. 
Tứ giác NETH có hai đường chéo NT và EH có chung trung điểm I nên NETH là hình bình hành.