Chuyên đề Tính chất cơ bản của phân thức Toán 8

 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Tính chất cơ bản của phân thức 
* Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân 
thức bằng phân thức đã cho. Ta có: 
 AA.M
 BB.M
với M là đa thức khác đa thức 0. 
* Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức 
bằng phân thức đã cho. Ta có: 
 AA: N
 BB: N
với N là một nhân tử chung của cả A và B. 
2. Quy tắc đối dấu 
* Nếu đổi dấu cà tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có: 
 A A
 . 
 B B
* Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu đồng thời đổi dấu của phân thức thì được một phân thức bằng phân thức 
đã cho. Ta có: 
 AA A
 . 
 B BB
IL BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.DẠNG BÀI MINH HỌA 
Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước. 
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: 
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tù ở hai vế; 
Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm. 
 x 4 x2 16 1
Bài 6: Biến đổi cặp phân thức và ,x ,x 0,x 4 thành cặp phân thức mới có 
 2x 3x 13
cùng tử thức và bằng phân thức ban đầu. 
Dạng 3: Tính giá trị của phân thức. 
Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước: 
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử; 
Bước 2. Rút gọn từng phân thức; 
Bước 3. Thay giá trị của biến vào phân thức và tính. 
Bài 7: Tính giá trị phân thức sau: 
 x2 2x 3
a. A ,x 1 tại 3x 1 0 
 x2 2x 1
 x 2
b. B ,x 2;x 3 tại x2 4 0 
 x2 5x 6
Bài 8: Với giá trị x thỏa mãn 2x2 7x 3 0 , tính giá trị của các phân thức sau: 
 x2 2x 1
a. 
 2x2 x 1
 x3 27
b. 
 x2 2x 3
Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau. 
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: 
Bước 1. Phân tích từ thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử; 
Bước 2. Rút gọn từng phân thức, từ đó suy ra điều phải chứng minh. 
Chú ý: Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng định nghĩa hai 
 AC
phân thức bằng nhau: nếu A.D = B.C 
 BD
Bài 9: Các cặp phân thức sau có bằng nhau không. Vì sao? 
 Tương tự bài 2 ta rút gọn và chọn A x 2 B (x 1)(x 2);C x 1 x2 2x 4 
Bài 4: 
 12x2 12x 3 3(2x 1)2 2x 11 2x
 A ,x 2,x 5 
 6x 35 x 32 x 15 x 5 xx 5
Bài 5: 
 1 BB
 B x 1 
 4x 34x2 x 3 4x 3 x 1 
 x 1
Vậy phân thức cần tìm là 
 4x2 x 3
Bài 6: 
 x 4 x 4 x 4 x2 16
 Và ta giữ nguyên biểu thức thứ 2 
 2x2x x 4 2x x 4 
 x2 16 1
 ,x ,x 0,x 4 
 3x 13
Bài 7: 
 x2 2x 3x 3
 A 
 x2 2x 1x 1
 1
Thay x A 2 
 3
 2 x 2(loai ) x 21
b) ta có x 4 0 B 2 
 x 2(tm ) x 5x 6x 3
 1
Với x 2 B 
 5
Bài 8: 
 x 3
 2
 2x 7x 3 0 1 
 x 
 2
 6b2 9b3b 3
a) với b ; 
 4b2 9 A 2
 n mm n
b) với m 2. 
 2 mA
 x2 2xy y2 A
Bài 3: Dùng tích chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức A biết: 
 x yy2 x2
Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài. 
 4x 3
Bài 4: Cho phân thức . Biến đổi phân thức đã cho thành một phân thức bằng nó và có tử 
 x2 5
thức là đa thức A 12x2 9x . 
 8x2 8x 2
Bài 5: Biến đổi phân thức thành một phân thức bằng nó và có tử thức là 
 4x 2 15 x 
 A 1 2x 
Bài 6: Dùng tích chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân 
thức bằng nó và có cùng tử thức: 
 3 x 1 x 5 x2 25
a) và b) và 
 x 2 5x 4x 2x 3
Dạng 3: Tính giá trị của phân thức. 
Bài 7: Tính giá trị của phân thức: 
 2x 2
a) với x 1 tại x 1 
 x2 2x 1 
 3x2 3x
b) với x 1 tại x 2 
 x2 1
 x2 1 1
Bài 8: Tính giá trị của phân thức: với x 1; x tại 3x 1 0 
 2x2 3x 1 2
Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau. 
 9x 6 3x2 3x 3 2
Bài 9: Cho cặp phân thức và với x 1 và x . Chứng tỏ cặp 
 3x2 3x 2x 2 x3 1 3
phân thức trên bằng nhau. 
 HƯỚNG DẪN 
Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước. 
Bài 1: 
 22
 5 x y 5 x y x y 5 x y 5x2 5y2
a) Ta có: 33 x y 3 x y 3 x y . 
 2a3 4a22a2 a 2 2a2
 ... 2a2
b) Ta có: a2 4 a 2 a 2 a 2 
Bài 2: 
 6b2 9b32b b 3 32b b 3 3b
a) Ta có: A 2b 3 
 4b2 9 2b 2 32 2b 32 b 3 2b 3
 n m m n m n
b) Ta có: A m 2 . 
 2 m2 mm 2
Bài 3: 
Ta có: 
 22 22 223
 x 2xy y y 2xy x y x y x y x y x 3
 A x y 
 x yx yy x y x . y x y2 x2
Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài. 
Bài 4: 
 4x 3 4x 3 .3x 12x2 9x
Ta có: 
 x2 5 x2 5 .3x 3x3 15x
Bài 5: 
 2 2
 8x2 8x 224 x 4x 1 22 x 1 2x 11 2x
Ta có: . 
 4x 2 15 x 22 x 1 15 x 22 x 1 15 x 15 xx 15
Bài 6: 
 33. x 1 3x 3
a) Ta có: 
 x 2 x 2 x 1 x2 x 2
 2
 3x2 3x 33 x x 1 3
Ta có: 2 
 x3 1 x 1 x2 x 1 x 1
 9x 63x2 3x 3
Từ 1 , 2 
 3x2 3x 2x 2 x3 1
Bài 10: 
 y2 5y 6 y 2 y 3 y 3
Ta có: 1 
 3y 63 y 2 3
 2y2 5y 3 y 32 y 1 y 3
Ta có: 2 
 6y 332 y 1 3
 y2 5y 62y2 5y 3
Từ 1 , 2 . 
 3y 66y 3
Bài 11: 
 x2 1 x 1 x 1 x 1
a) Ta có: 1 
 x2 3x 4 x 1 x 4 x 4
 x2 2x 3 x 3 x 1 x 3
Ta có: 2 
 x2 x 2 x 2 x 1 x 2
 x2 1x2 2x 3
Từ 1 , 2 . 
 x2 3x 4x2 x 2
b) Với x 1;x 2 và x 4 
 x2 1x2 2x 3x 1x 3
thì 
 x2 3x 4x2 x 2x 4x 2
 5
 x 1 x 2 x 4 x 3 x2 3x 2 x2 7x 12 4x 10 x . 
 2
 5
Vậy x thì hai phân thức đã cho bằng nhau. 
 2
Bài 12: 
 1
a) Loại trường hợp x = 1 và thay x = -2 được kết quả . 
 5