Chuyên đề Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC. 
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC 
 BÀI 4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phát biểu được định nghĩa đường trung tuyến của tam giác. 
 + Phát biểu được tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. 
  Kĩ năng 
 + Vẽ được các đường trung tuyến của tam giác. 
 + Vận dụng được các định nghĩa và tính chất về đường trung tuyến. 
 Trang 1 
 3 3
 BM BG; CN CG . 
 2 2
 3 3 3
 Do đó ta phải chứng minh BG CG BC 
 2 2 2
 hay BG CG BC. 1 
 Bất đẳng thức 1 luôn đúng vì trong một tam giác 
 tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại. 
 3
 Vậy BM CN BC. (điều phải chứng minh). 
 2
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. 
a) Chứng minh BD CE. 
b) Chứng minh tam giác GBC là tam giác cân. 
 1
c) Chứng minh GD GE BC. 
 2
Hướng dẫn giải 
a) Ta có ABC cân tại A AB AC mà AB 2 BE ; 
 AC 2 CD (vì E, D theo thứ tự là trung điểm của AB, 
AC). 
Do đó ta có 2BE 2 CD hay BE CD. 
Xét BCE và CBD có 
 BE CD (chứng minh trên); EBC DCB ; BC là cạnh 
chung. 
Do đó BCE CBD (c.g.c) 
 CE BD (hai cạnh tương ứng). 
 2
b) Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên BG BD 
 3
 2
và CG CE (tính chất trọng tâm). 
 3
 2 2
Mà CE BD (phần a) nên CE BD hay 
 3 3
 CG BG. 
Vậy tam giác GBC cân tại G. 
c) Ta có 
 Trang 3 
Câu 4: Chứng minh rằng trong tam giác tổng độ dài ba đường trung tuyến nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn 
 3
 chu vi tam giác đó. 
 4
Dạng 2: Chứng minh một điểm là trọng tâm tam giác 
 Phương pháp giải 
Sử dụng tính chất trọng tâm. Chẳng hạn để chứng Ví dụ: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, 
minh G là trọng tâm tam giác ABC, có ba đường trên đoạn thẳng AD lấy hai điểm E, G sao cho 
trung tuyến AD, BE, CF thì ta chứng minh AE EG GD. Chứng minh G là trọng tâm tam 
 2 giác ABC. 
Cách 1. G AD và GA AD; 
 3 Hướng dẫn giải 
 2
hoặc G BE và GB BE; 
 3
 2
hoặc G CF và GC CF. 
 3
Cách 2. 
Chứng minh G là giao điểm của hai trong ba 
đường trung tuyến của tam giác ABC. 
 Ta có AD AE EG GD mà AE EG GD nên 
 AD 3 AE 
 1 2
 AE EG GD AD AG AD. 
 3 3
 2
 Vì AD là đường trung tuyến và AG AD nên G 
 3
 là trọng tâm tam giác ABC. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AC. Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho BE 2 ED . Điểm 
F thuộc tia đối của tia DE sao cho BF 2 BE . Gọi K là trung điểm của CF và G là giao điểm của EK với 
AC. 
a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác EFC. 
 GE GC
b) Tính các tỉ số ; . 
 GK DC
Hướng dẫn giải 
 Trang 5 
 1 1
Vì AC AB nên AC AB hay CE BF. 
 2 2
Xét tam giác BCE và tam giác CBF có 
BC chung; BCE CBF (do tam giác ABC cân ở A); 
 CE BF (chứng minh trên). 
Do đó BCE CBF (c.g.c) 
 BE CF (2 cạnh tương ứng). 
Chứng minh tương tự ta có AD BE. 
Từ đó suy ra AD BE CF (điều phải chứng minh). 
 2
b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG AD; 
 3
 2 2
 BG BE; CG CF. 
 3 3
 2 2 2
Vì AD BE CF (theo a) nên AD BE CF hay 
 3 3 3
 AG BG CG (điều phải chứng minh) 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Biết BE CF Chứng minh 
 AG BC. 
Câu 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì 
tam giác đó là tam giác vuông. 
 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác 
Câu 1. 
a) AM là đường trung tuyến của tam giác ABC MB MC. 
Xét AMB và AMC có 
 AB AC (tam giác ABC cân ở A); AM là cạnh chung; 
 MB MC. 
Do đó AMB AMC (c.c.c) 
 AMB AMC (hai góc tương ứng). 
Mà AMB AMC 180 (hai góc kề bù) nên 
 180
 AMB AMC 90 
 2
 Trang 7 
 1
Mà GF CF (do G là trọng tâm ABC ) CF 3 GF 7,5 cm . 
 3
Câu 4. 
Xét tam giác ABC có trung tuyến AD, BE, CF và trọng tâm G. 
Xét GBC có GB GC BC (bất đẳng thức trong tam giác) 
 2 2
 BE CF BC (tính chất trọng tâm) 
 3 3
 3
 BE CF BC. 1 
 2
Chứng minh tương tự ta được 
 3
 AD BE AB. 2 
 2
 3
 AD CF AC. 3 
 2
Cộng 1 , 2 , 3 vế theo vế ta được 
 3
 2 AD BE CF AB BC CA 
 2
 3
 AD BE CF AB BC AC . * 
 4
Bây giờ ta cần chứng minh AD BE CF AB BC CA. 
Trên tia AD lấy điểm A sao cho DA DA. 
Xét ADB và A DC có 
 BD CD; ADB A DC; AD A D. 
Do đó ADB A DC (c.g.c) AB A C. (hai cạnh tương 
ứng) 
Lại có AA AC A C (bất đẳng thức trong tam giác AA C ). 
Suy ra AA AC AB hay 2AD AB AC hay 
 AB AC
 AD . 
 2
 AB BC
Chứng minh tương tự ta được BE và 
 2
 CA BC
 CF . 
 2
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên lại, ta có 
 AD BE CF AB BC CA ** 
 Trang 9 
Dạng 3. Đường trung tuyến của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông 
Câu 1. 
Gọi D là giao điểm của AG và BC DB DC. 
 2 2
Ta có BG BE; CG CF (tính chất trọng tâm). 
 3 3
Vì BE CF nên BG CG BCG cân tại G 
 GCB GBC . 
Xét BFC và CEB có 
 CF BE (giả thiết); GCB GBC (chứng minh trên); BC là 
cạnh chung. 
Do đó BFC CEB (c.g.c) FBC ECB (hai góc tương 
ứng) 
 ABC cân tại A AB AC. 
Từ đó suy ra ABD ACD (c.c.c) ADB ADC. (hai 
góc tương ứng) 
Mà ADB ADC  180 ADB ADC  90 AD  BC 
hay AG BC. 
Câu 2. 
Xét ABC có trung tuyến 
 1 1 
 AM BC AM MB MC BC . 
 2 2 
Khi đó tam giác AMB cân tại M và tam giác AMC cân tại 
M. 
Suy ra MAB MBA và MAC MCA . 
Do đó 
 MBA MCA MAB MAC 
hay CBA BCA BAC . 
Xét tam giác ABC có 
 BAC CBA BCA 180 . 
Mà CBA BCA BAC nên 
 2BAC 180  BAC  90 . 
Vậy tam giác ABC vuông ở A. 
 Trang 11