Chuyên đề Tính chất ba đường trung trực của tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 
 BÀI 8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được tính chất đường trung trực của tam giác cân. 
 + Nắm được tính chất ba đường trung trực tam giác. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng tính chất ba đường trung trực của tam giác để giải toán. 
 Trang 1 
 Lấy E là trung điểm của BC BE 4cm . 
 Qua E kẻ đường thẳng d2  BC . 
 d1 cắt d2 tại O thì O chính là tâm đường tròn 
 ngoại tiếp ABC . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm của cạnh 
huyền. 
 Hướng dẫn giải 
 Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có B C 90o . 
 Gọi D là giao điểm của các đường trung trực cạnh AB 
 và AC. 
 Ta có EA EC . Khi đó DE cũng là đường trung tuyến 
 ADC nên ADC cân tại D. 
 o
 DD3  4 90 C và AD DC . 
 FA FB và FD AB DAB cân tại D 
 o
 DD1 2 90 B và AD BD . 
 Do đó o o 
 DDDD1  2 3 4 2 90 B 2 90 C 
 2 180o B C 2 180 o 90 o 180 o 
 BDC,, thẳng hàng D nằm trên BC. 
 Mà BD AD và AD DC nên BD DC D là trung điểm của BC hay giao điểm của ba 
 đường trung trực của ABC nằm trên trung điểm cạnh huyền. 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho ABC có A là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo 
thứ tự ở D và E. 
 a) Các ABD, ACE là tam giác gì? 
 b) Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm 
 nào trong hình vẽ? 
Đáp án 
 a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. 
 Xét DAB có DM là trung trực của AB 
 DAB cân tại D 
 Tương tự ta có EAC cân tại E. 
 b) Xét OAB có OM là trung trực của AB OAB cân tại O 
 Trang 3 
 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 
 ABC OA OB OC . 
 Ta có AO là đường trung trực ứng với cạnh BC đồng 
 thời là đường phân giác của góc A. 
 60o
 Suy ra BAO OAC 30o . 
 2
 Tương tự, ta có OCE 30o . 
 Vì ABC đều nên AB AC BC . 
 CE AC AE
 Lại có AD AB BD CE AD . 
 AE BD
 Xét OAD và OCE 
 có OA OCOAD; OCE 30o ; CE AD (chứng 
 minh trên) 
 OAD OCE (c.g.c) OD OE 
 ODE cân tại O. 
 Vậy đường trung trực của đoạn DE luôn đi qua điểm 
 cố định O. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho ABC , M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Tính 
số đo OMB . 
 Hướng dẫn giải 
 Vì OF là trung trực nên OA OB . 
 Vì OE là trung trực nên OA OC . 
 Suy ra OA OB OC OBC cân tại O mà M là trung điểm BC 
 OM là đường trung trực của OBC OM  BC OMB 90o . 
Ví dụ 2. Cho ABC cân tại A, có A 50o . Đường trung trực của AB cắt BC ở D. 
 Trang 5 
 OCA OCE CO là phân giác của ACB . (2) 
 Từ (1) và (2), ta có O là giao của ba đường phân giác của ABC . 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho ABC có AB AC , lấy E trên cạnh CA sao cho CE BA, các đường trung trực của các 
đoạn thẳng BE và CA cắt nhau ở I. 
 a) Chứng minh AIB CIE . 
 b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. 
Đáp án 
 a) Xét IBE có IM là trung trực của BE IBE cân 
 tại I IB IE . 
 Xét IAC có IN là trung trực của AC IAC cân tại I 
 IA IC . 
 Xét AIB và CIE có IA IC; AB CE ; IB IE . 
 Do đó AIB CIE (c.c.c) 
 b) Vì IAC cân tại I nên IAC ICA . (1) 
 AIB CIE IAB ICE ICA . (2) 
 Từ (1) và (2) ta có IAC IAB AI là tia phân giác của góc BAC. 
Câu 2: Cho ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của 
tia OB lấy điểm D sao cho OB OD . 
 a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD. 
 b) Chứng minh các tam giác ABD, CBD vuông. 
 c) Biết ABC 70o . Hãy tính số đo góc ADC ? 
Đáp án 
 a) Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC 
 nên OA OB OC . 
 Vì OD OB nên OD OA O thuộc đường trung trực 
 của AD. (1) 
 Vì OD OB nên OD OC O thuộc đường trung trực 
 của CD. (2) 
 Từ (1) và (2) ta có O là giao điểm của ba đường trung trực tam giác ACD. 
 180o AOB
 b) Xét OAB cân tại O OAB OBA . 
 2
 180o AOD
 Xét OAD cân tại O OAD ODA 
 2
 Trang 7 
 c) AEB 90o . 
Đáp án 
 a) Xét BEC có EM là trung trực của cạnh BC 
 EB EC BEC cân tại E. 
 b) Vì BEC cân tại E nên EBC ECB 30o . 
 ABE ABC EBC 75o 30 o 45 o ; 
 ACE ACB ECB 45o 30 o 15 o ; 
 Trong ABC ta có BAC 180o ABC ACB 180 o 75 o 45 o 60 o . 
 Mà ABE ACE 45o 15 o 60 o nên BAC ABE ACE . 
 o o o o o o o
 c) Nếu AEB 90 , trong ABE có ABE 45 A1 180 ABEAEB 180 45 90 45 . 
 A1 ABE AE BE AE EC . 
 o
 Trong EAC có AE EC A2 ACE 15 
 o o o
 A1 A 2 45 15 60 . 
 o
 Điều này vô lý vì A1  A 2 60 . (1) 
 o o o o
 Nếu AEB 90 , lập luận tương tự, ta có AE ECA;1 A 2 45 15 60 . 
 o
 Điều này vô lý vì A1  A 2 60 . (2) 
 Từ (1) và (2) ta có AEB 90o . 
Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng 
 Phương pháp giải 
Sử dụng tính chất: “Ba đường trung Ví dụ: Cho ABC cân ở A. Gọi M là trung điểm của BC. 
trực trong tam giác cắt nhau tại một Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau ở E. Chứng 
điểm”. minh rằng ba điểm A, E, M thẳng hàng. 
 Hướng dẫn giải 
 Xét MAB và MAC có 
 AB AC (vì ABC cân tại A); 
 Trang 9 
 A, D, I thẳng hàng hay AD là trung trực của BC. 
 Khi đó AD là đường trung trực của ABC . 
 Vậy các đường trung trực của AB và AC đồng quy với AD tại O. 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1: Cho ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng tam giác cân BCD. 
Chứng minh rằng các đường trung trực của AB và AC đồng quy với đường thẳng AD. 
Đáp án 
 Gọi I là trung điểm của BC thì IB IC . 
 Mà ABC cân tại A nên AB AC AI là trung trực 
 của BC. 
 Tương tự, ta có ABD cân tại D nên DI là trung trực của 
 BC. 
 A,, D I thẳng hàng hay AD là trung trực của BC. 
 Khi đó AD là đường trung trực của ABC . 
 Vậy các đường trung trực của AB và AC đồng quy với AD tại O. 
Câu 2: Cho ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho 
 AM BN CP . 
 a) Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều. 
 b) Gọi O là giao điểm các đường trung trực. 
Đáp án 
 a) ABC đều nên AB AC BC . 
 AP AC PC
 CN BC BN
 Ta có nên AP CN . 
 PC BN
 AC BC
 Xét MAP và PCN có 
 AM CP (giả thiết); MAP PCN 60o (giả thiết); AP CN (chứng minh trên). 
 Do đó MAP PCN (c.g.c) MP PN (hai cạnh tương ứng). (1) 
 Tương tự ta có NBM PCN MN PN (hai cạnh tương ứng). (2) 
 Từ (1) và (2) ta có MN MP PN MPN đều. 
 b) Vì O là giao điểm các đường trung trực của ABC OA OB OC . 
 Mặt khác ABC đều nên ta có OAM OAP OCP OCN OBN OBM 30o . 
 Xét MAO và NBO có MA NBMAO; NBO 30o ; OA OB 
 MAO NBO (c.g.c) MO NO (hai cạnh tương ứng). (3) 
 Tương tự ta có NO PO . (4) 
 Từ (3) và (4) ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP O là giao điểm của các đường trung 
 trực MNP . 
 Trang 11