Chuyên đề Tính chất ba đường phân giác của tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 
 BÀI 6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phát biểu được định nghĩa đường phân giác của tam giác, tính chất đường phân giác trong tam 
 giác cân. 
 + Phát biểu được định lí về ba đường phân giác của tam giác. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng được các định nghĩa, định lí để chứng minh các tính chất hình học. 
 Trang 1 
 BAC 180o ABC ACB 
 180o 120 o 60 o . 
 Mà BI, CI lần lượt là đường phân giác của ABC và 
 ACB nên I là giao điểm của ba đường phân giác 
 trong của ABC AI là đường phân giác của 
 BAC 
 BAC x 30o . 
 2
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Tìm x trong hình vẽ sau 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có DE DF nên DEF cân tại D 
 DFE DEF 2 HED 64o . 
 Vì DEF có hai đường phân giác DH, EH nên H là giao điểm 
 của ba đường phân giác trong DEF FH là đường phân giác 
 F
 của DEF x 32o . 
 2
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho xOy , đường phân giác Oz. Trên đường Ox lấy điểm A sao cho OA 3 cm. Từ A kẻ đường 
thẳng vuông góc với Ox cắt Oz tại H, cắt Oy tại K. Lấy điểm B trên đường Ox sao cho KA là đường phân 
giác của góc OKB . Hạ HI OK I OK . 
 a) Chứng minh AH HI . 
 b) Biết OH 5cm , tính khoảng cách từ điểm H đến BK. 
Đáp án 
 a) Vì H nằm trên đường phân giác của xOy nên H cách đều 
 Ox, Oy nên AH HI . 
 b) AOH vuông tại A, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có 
 AH 52 3 2 4 (cm). 
 Ta có H là giao điểm của ba đường phân giác trong của 
 OBK nên H cách đều ba cạnh của tam giác đó. 
 Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK bằng AH 4cm . 
Câu 2: Cho ABC có CF là đường phân giác của góc C F AB . Qua F kẻ đường thẳng song song với 
BC cắt AC ở E. 
 a) Chứng minh FEC là tam giác cân. 
 b) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD FE . Chứng minh FE FD . 
Đáp án 
 Trang 3 
 Hướng dẫn giải 
 Gọi F, H, G lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E xuống các đường thẳng AB, AC và BC. 
 Các đường phân giác ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở E nên 
 EF EG và EH EG EF EH E thuộc đường phân 
 giác của góc BAC . 
 Lại có AD là đường phân giác của góc BAC . 
 Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho tam giác DEF có DE DF , hạ DK  EF ( K EF ). Gọi EM, FN lần lượt là đường phân 
giác trong các góc E và F của tam giác DEF. Chứng minh rằng: 
 a) DK là đường phân giác của góc EDF . 
 b) DK, EM, FN đồng quy. 
Đáp án 
 a) Do DE DF (giả thiết) nên DEF cân tại D. 
 Suy ra DK là đường cao đồng thời là đường phân giác của EDF . 
 b) Xét DEF có DK, EM, FN là các đường phân giác. 
Suy ra ba đường thẳng DK, EM, FN đồng quy. 
Câu 2: Cho tam giác ABC. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. 
 a) Chứng minh rằng BK là phân giác của góc ABC . 
 b) Cho các đường phân giác của góc A và C trong ABC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng B, I, 
 K thẳng hàng. 
Đáp án 
 a) Gọi M, N, P lầ lượt là hình chiếu vuông góc của điểm K trên các 
 đường thẳng AB, AC và BC. 
 Vì các đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau tại K 
 nên KM KN và KN KP . 
 KM KP nên K thuộc tia phân giác của góc ABC . (1) 
 b) Vì I là giao điểm các tia phân giác của A và C trong ABC nên I là giao của ba đường phân 
 giác của ABC . 
 Suy ra BI cũng là phân giác của góc ABC . (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra B, I, K thẳng hàng. 
Câu 3: Cho ABC là tam giác đều. Qua B kẻ đường thẳng d// AC và hạ BM AC M AC . Qua C 
kẻ đường thẳng d // AB và hạ CN AB N AB . Hai đường thẳng d và d cắt nhau tại P. Chứng 
minh rằng 
 a) Đường phân giác của góc A và hai đường BM, CN đồng quy. 
 Trang 5 
 giác) AI là phân giác của góc A. 
 Mặt khác, ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng 
 thời là đường phân giác của góc A (tính chất tam giác 
 cân). 
 AH trùng AI. 
 Hay AI vuông góc với BC. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho tam giác MNP cân tại M có G là trọng tâm. I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh 
của tam giác đó. Chứng minh rằng ba điểm M, G, I thẳng hàng. 
 Hướng dẫn giải 
 I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của MNP nên MI là 
 đường phân giác của góc NMP . 
 Do MNP cân tại M nên đường phân giác MI cũng là đường trung 
 tuyết. 
 G là trọng tâm MNP nên MI đi qua G hay M, G, I thẳng hàng. 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1: Cho ABC có đường cao AH đồng thời là đường phân giác của góc A . Chứng minh rằng ABC 
cân tại A. 
Đáp án 
 Xét BHA và CHA có 
 BAH CAH (AH là đường phân giác của góc A ), 
 BHA CHA 90o (giả thiết), 
 Cạnh AH chung. 
 Do đó BHA CHA (c.g.c) 
 AB AC (hai cạnh tương ứng). 
 Vậy ABC cân tại A. 
Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A. CP, BQ là các đường phân giác trong của ABC P AB, Q AC . 
Gọi O là giao điểm của CP và BQ. 
 a) Chứng minh tam giác OBC là tam giác cân. 
 b) Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh AB, AC và BC. 
 c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó. 
 d) Chứng minh CP BQ . 
 e) Tam giác APQ là tam giác gì? Vì sao? 
Đáp án 
 a) ABC cân tại A nên ABC ACB . 
 Trang 7 
 180o 25 o 30 o 125 o . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho tam giác ABC. Các đường phân giác của B và C cắt nhau ở I. 
 a) Nếu A 70o , hãy tính số đo góc BIC . 
 b) Nếu BIC 140o , hãy tính số đo góc A. 
 A
 c) Chứng minh rằng BIC 90o . 
 2
 Hướng dẫn giải 
 a) Xét ABC có BAC ABC ACB 180o suy ra 
 ABC ACB 180o BAC 180 o 70 o 110 o . 
 ABC ACB ABC ACB 110o
 Do đó IBC ICB 55o . 
 2 2 2 2
 Vậy BIC 180o IBC ICB 180 o 55 o 125 o . 
 b) Xét BIC có BIC 140o IBC ICB 180 o BIC 40 o . 
 Do BI, CI là phân giác của góc B và góc C nên 
 ABC ACB2 IBC 2 ICB 2 IBC ICB 80o . 
 Ta có BAC 180o ABC ACB 180 o 80 o 100 o . 
 ABCACB 180o BAC 
 c) Ta có BIC 180o IBC ICB 180 o 180 o 
 2 2
 BAC BAC 
 180o 90 o 90 o 
 2 2
 A
 Vậy BIC 90o . 
 2
 Bài tập tự luyện dạng 4 
Câu 1: Cho tam giác ABC có B C . Từ đỉnh A kẻ đường cao AH và đường phân giác AD. 
 Trang 9