Chuyên đề Tính chất ba đường cao trong tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 
 BÀI 9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được khái niệm về đường cao của tam giác, tính chất ba đường cao trong tam giác và các 
 đường đồng quy trong tam giác cân. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng được các tính chất của đường cao để giải toán. 
 Trang 1 
 Vì H là trực tân của ABC , nên 
 AH BC,, BH  ACCH  AB . 
 Xét HAB ta có BC AH và AC BH 
 C BC  AC C là trực tâm HAB . 
 Tương tự ta có B là trực tâm HAC và A là trực tâm HBC . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho ABC có A 70o , AB AC , đường phân giác góc A 
cắt BC tại D, BF AC tại F, E thuộc AC sao cho AE AB . Xác 
định trực tâm ABE và tính DHF . 
 Hướng dẫn giải 
 Gọi I AD  BE . 
 Vì AB AE nên ABE cân tại A. 
 Mặt khác AD là phân giác góc A của ABC 
 AI là đường cao của ABE . 
 BF AE BF là đường cao của ABE . 
 Mà H BF  AI nên H là trực tâm ABE . 
 Xét HEF có FHE 90o FEH . (1) 
 Xét HIE có EHI 90o IEH . (2) 
 Từ (1) và (2) ta có FHD FHE EHI 180o FEH IEH 180 o FEI . 
 180o BAE 180 o 70 o
 Vì ABE cân tại A nên AEB ABE 55o 
 2 2
 EHD 180o FEI 180 o 55 o 125 o 
Ví dụ 2. Cho ABC đều, G là trọng tâm của tam giác. Xác định trực tâm các tam giác GAB, GAC, GBC. 
 Hướng dẫn giải 
 Vì ABC đều, G là trọng tâm nên G cũng là trực tâm của ABC 
 AG BC; BG  ACCG ;  AB . 
 Xét GAB có BC AG; AC  BG . 
 Trang 3 
 Xét ABC có N là trung điểm AB, M là trung điểm của BC, theo kết quả của câu 1 nên 
 MN// AC . Mà MN AB AB  AC nên A là trực tâm ABC . 
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
 Phương pháp giải 
Cách 1. Sử dụng tính chất ba đường cao Ví dụ 1: Cho ABC nhọn, có AH BC (H BC ) . Trên 
trong tam giác đồng quy tại một điểm. 
 AH lấy điểm D sao cho HAB HCD . 
 Chứng minh rằng BD AC . 
 Hướng dẫn giải 
 Gọi E là giao điểm của AB và CD kéo dài. 
 Xét EBC có BEC 180o EBC ECB . (1) 
 Mặt khác trong HAB có ABH BAH 90o (do 
 AH BC ); HAB HCD (giả thiết). 
 Do đó EBC ECB ABH BAH 90o 
 BEC 180o  90 o 90 o ECAB . 
 EC AB (chứng minh trên) 
 Xét ABC có AH BC (giả thiết) 
 D  CE  AH 
 Suy ra D là trực tâm của ABC 
 D thuộc đường cao hạ từ B của ABC BD  AC . 
Cách 2. Sử dụng định lí trong tam giác cân Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A, M là trung điểm của BC, 
thì đường trung tuyến, đường phân giác đường cao CN cắt AM tại H. Chứng minh rằng BH AC . 
ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao. Hướng dẫn giải 
 Trang 5 
 AM là cạnh chung. 
 Do đó AMM MCA (c.g.c) MM A CAM . 
 Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC// MM . 
 Mặt khác AC AB nên MN AB . 
 Xét ABN có AH BN và MN AB M là giao của 
 hai đường cao M là trực tâm ABN M thuộc 
 đường cao hạ từ B xuống AN BM  AN . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho ABC có A 90o , AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao 
điểm của đường thẳng AD và BE. Chứng minh AB FC . 
 Hướng dẫn giải 
 Xét FBC có AD BC nên FD BC . (1) 
 BE AC CE  BF . (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra CE và FD là các đường cao của FBC . 
 Mà A FD  CE nên A là trực tâm FBC . 
 Suy ra A thuộc đường cao hạ từ B của FBC AB  FC . 
Ví dụ 2. Cho ABC có 3 góc nhọn (AB AC ) , đường cao AH. Lấy D là điểm thuộc đoạn HC, vẽ 
 DE AC (E AC ) . Gọi K là giao điểm của AH và DE. 
Chứng minh AD KC . 
 Hướng dẫn giải 
 Xét AKC ta có AH BC CH  AK . (1) 
 và DE AC KE  AC . (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra KE và CH là hai đường cao của AKC . 
 Mà D KE  CH nên D là trực tâm của AKC D thuộc đường cao hạ từ A của AKC 
 AD  KC . 
 Trang 7 
Đáp án 
 Xét ABE và ACD có 
 AE AD (giả thiết), 
 BAE CAD 90o (giả thiết), 
 AB AC (do ABC vuông cân tại A). 
 Do đó ABE ACD (c,g,c) ACD ABE (hai góc tương ứng). (1) 
 Gọi F là giao điểm của CD và BE. 
 Ta có FDB ADC (hai góc đối dỉnh); (2) 
 ADC DCA 90o . (3) 
 Từ (1), (2) và (3) ta có FDB FBD ADC DCA 90o . 
 Trong FDB có 
 DFB 180o FDB FBD 180 o 90 o 90 o 
 CD  BE . 
 Xét BEC có AB EC; CD  BE . 
 Mà D CD  AB nên D là trực tâm BEC 
 ED là đường cao của BEC ED  BC . 
Câu 3: Cho ABC có ba góc nhọn (AB AC ) , đường cao AH. Lấy D là một điểm thuộc đoạn thẳng 
HC, vẽ DE AC (E AC ) . Gọi F là giao điểm của AD và DE. 
Chứng minh rằng AD FC . 
Đáp án 
 Vì DE AC FE  AC ; 
 AH BC CH  AF . 
 Xét AFC có FE AC và CH AF . 
 Mà D FE  CH nên D là trực tâm của AFC 
 AD  FC . 
Câu 4: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các đường 
phân giác trong của ABH, ACH . E là giao điểm của đường thẳng BI với AJ. Chứng minh rằng: 
 a) ABE là tam giác vuông. 
 b) IJ AD . 
Đáp án 
 a) Gọi Q là giao điểm của BE và AH. 
 Vì AE là phân giác của góc HAC nên 
 o o
 HAC 90o ACB90 90 ABC ABC
 QAE QAE . 
 2 2 2 2
 Trang 9 
 Trên tia đối của tia AH lấy G sao cho GA BC . 
 Ta có GAC 180o HAC 180 o 90 o HCA 90 o HCA ; 
 BCE ACE ACB 90o ACH GAC BCE 
 Xét AGC và CBE có 
 AG CB (theo cách vẽ hình), 
 GAC BCE (chứng minh trên) 
 AC CE (do ACE vuông cân tại C). 
 Do đó AGC CBE (c.g.c) ACG CEB (hai góc tương ứng). 
 Gọi M là giao điểm của GC và BE. 
 Xét MEC có MEC ECM ECN MCA 90o BM GC . 
 Chứng minh tương tự nếu gọi N là giao điểm của BG và CD, ta có CN GB . 
 Xét GBC có GH BC, CN  BG , BM  GC CN, BM , GH là ba đường cao của GBC 
 CN, BM và GH cùng đi qua trực tâm GBC hay AH, BE và CD cùng đi qua một điểm chính 
 là trực tâm GBC . 
Bài toán 2. Một số dạng toán khác 
 Phương pháp giải 
Vận dụng linh hoạt tính chất ba Ví dụ: Cho ABC , qua các đỉnh A, B, C kẻ đường thẳng song 
đường cao trong tam giác kết song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành DEF . Chứng 
hợp với kiến thức hình học đã minh rằng đường cao của ABC là đường trung trực của DEF . 
biết để giải bài tập. 
 Trang 11 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có ACN BAC 90o và ABM BAC 90o ACN ABM . 
 Mà PBA 180o ABM ; ACQ 180o ACN nên PBA ACQ . 
 Xét BAP và CQA có 
 BA CQ (giả thiết); 
 PBA ACQ (chứng minh trên); 
 BP AC (giả thiết). 
 Do đó BAP CQA (c.g.c) AP AQ và CAQ BPA (hai cạnh và góc tương ứng). 
 Xét APQ có PAQ PAC CAQ PAC BPA APM MAP 90o . 
 Và AP AQ APQ vuông cân tại A. 
Ví dụ 2. Cho ABC , I là trung điểm của BC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC, hai tam giác đều ABE 
và ACF. Gọi H là trực tâm của ABE . Trên tia đối của tia IH, lấy điểm K sao cho HI IK . Chứng 
minh: 
 a) AHF CKF . 
 b) KHF là tam giác đều. 
 Hướng dẫn giải 
 a) Xét IBH và ICK có 
 IB IC (giả thiết), 
 HIB KIC (hai góc đối đỉnh), 
 IH IK (giả thiết). 
 Do đó IBH ICK (c.g.c) 
 BH CK (hai cạnh tương ứng) 
 và ICK IBH IBA ABH CBA 30o (do AH là phân giác EBA ). 
 Mà H là trực tâm của ABE đều nên BH AH CK AH . 
 Ta có 
 HAF HAB BAC CAF 30o BAC 60 o 90 o BAC . (1) 
 Trang 13