Chuyên đề Tính các yếu tố về hình trụ, khối trụ - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
 HÌNH HỌC 12. CHƯƠNG II. 
 NÓN TRỤ CẦU 
PHẦN II: HÌNH TRỤ-KHỐI TRỤ 
 DẠNG 1. TÍNH CÁC YẾU TỐ VỀ HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ 
 LÝ THUYẾT 
1. Mặt trụ tròn xoay 
 + Trong mp P cho hai đường thẳng Δ và ℓ song song nhau, cách 
 nhau một khoảng r . Khi quay mp P quanh trục cố định Δ thì 
 đường thẳng ℓ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn 
 xoay hay gọi tắt là mặt trụ. 
 + Đường thẳng Δ được gọi là trục. 
 + Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh. 
 + Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 
2. Hình trụ tròn xoay 
 + Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB 
 thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi 
 tắt là hình trụ. 
 + Đường thẳng AB được gọi là trục. 
 + Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh. 
 + Độ dài đoạn thẳng AB CD h được gọi là chiều cao của hình trụ. 
 + Hình tròn tâm A , bán kính r AD và hình tròn tâm B , bán kính r BC được gọi là hai đáy 
 của hình trụ. 
 + Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả 
 hình trụ. 
3. Công thức tính diện tích và thể tích của khối trụ 
 Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r . 
 Chiều cao h bằng độ dài đường sinh l của hình trụ. 
 Khi đó: 
 + Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2 rh hoặc Sxq 2 rl . 
 2
 + Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp S xq 2 S d 2 rh 2 r . 
 + Thể tích khối trụ: V Sh r2 h . 
 II VÍ DỤ 
 Ví dụ 1 
 Một hình trụ có bán kính đáy , độ dài đường sinh . Tính diện tích toàn phần của 
 hình trụ này. 
 Lời giải 
 1 | Hình học lớp 12 | 
 Vậy khối trụ có thể lớn nhất bằng 2 khi nó có bán kính đáy bằng 1 và chiều cao bằng 2. 
 Ví dụ 6 
Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10, thể tích khối trụ bằng . Tính diện tích xung quanh 
của hình trụ đó. 
 Lời giải 
 Ta có: hl 10 . 
 Do đó V 90 rh2. 90 r2 9 r 3. 
 Vậy Sxq 2 rh 60 . 
 Ví dụ 7 
Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng 
 . Tính thể tích của khối trụ đó. 
 Lời giải 
 Ta có: . 
 Do đó Sxq 2 rh 80 2 r .10 80 r 4 . 
 Vậy V r2 h .16.10 160 . 
 Ví dụ 8 
Trong không gian, cho hình chữ nhật có . Tính theo độ dài đường sinh 
 của hình trụ nhận được khi quay hình chữ nhật xung quanh trục 
 Lời giải 
3 | Hình học lớp 12 | 
 Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN ta được một hình trụ có: 
 AD
 - Bán kính đường tròn đáy r AM 1. 
 2
 - Chiều cao h AB 1. 
 Diện tích toàn phần của hình trụ là S 24 r r h .
 tp 
 Ví dụ 11 
Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm và , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng . 
Trên đường tròn đáy tâm lấy điểm , trên đường tròn đáy tâm lấy điểm sao cho 
 . Thể tích khối tứ diện . 
 Lời giải 
 Gọi AA là đường sinh của hình trụ. 
 Xét tam giác A AB vuông tại A có: A B AB22 A A 48 16 4 2 . 
 Trong tam giác vuông AOB có: AOOB 2 2 4 2 4 2 32, tức là AOOBAB 2 2 2
 . 
 Suy ra tam giác vuông cân tại O hay OAOB  . 
 Mặt khác: AA  O B do đó O B O OA . Suy ra OB là đường cao của khối tứ diện
 ABOO . 
 1 1 1 32
 Vậy thể tích khối tứ diện là VOBS . . .4. .4.4 . 
 ABOO 3 AOO 3 2 3
5 | Hình học lớp 12 | 
 AD3 a
 d O;3 ABB A OH AD a .
 22 
 AD AB
 Ta có AD ABB A . 
 AD AA 
 Vậy A là hình chiếu của D trên mặt phẳng ABB A . 
 Do đó góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng ABB A là DB A . Hay DB A 30 . 
 Trong tam giác vuông ADB có AB AD.cot AB D 3 a .cot30  3 a 3 . 
 Có AB CD AC2 AD 2 25 a 2 9 a 2 4 a . 
 2
 h BB AB22 AB 3 a 3 4 a 2 a 11 . 
 AC5 a
 r . 
 22
 25 a3 11
 Vậy V r2 h . 
 4
7 | Hình học lớp 12 | 
 Lời giải 
 A O' B 
 Gọi chiều cao của khối trụ là h , bán kính đáy của khối 
 trụ là r . Theo đề bài diện tích thiết diện qua trục là S 
 và đường kính đáy bằng chiều cao của hình trụ, tức là 
 hr 2 . h 
 Do đó 
 2
 SABCD 2 r .2 r 4 r S
 S
 r h 2 r S . 
 2 D O r C 
 Như vậy thể tích khối trụ được tính như sau 
 SS
 V r2 h (đvtt). 
 4
 Ví dụ 3 
Cho một hình trụ, thiết diện qua trục là một hình vuông có chu vi . Tính thể tích khối trụ tương 
ứng. 
 Lời giải 
 Gọi chiều cao của khối trụ là h , bán kính đáy của khối A O' B 
 trụ là r . 
 Vì chu vi của thiết diện là a nên 
 a
 2(2r h ) 2(2 r 2 r ) 8 r a r . h 
 8
 Như vậy thể tích khối trụ đó là 
 2 3
 2 a a a
 V r h . (đvtt). 
 8 4 256
 D O r C 
 Ví dụ 4 
Một hình trụ có diện tích xung quanh là , thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng 
 song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện , biết một cạnh của thiết diện là một 
dây của đường tròn đáy hình trụ và căng một cung . Tính diện tích tứ giác . 
 Lời giải A' 
 Gọi chiều cao của hình trụ là h , bán kính đáy của hình trụ là r . 
 B' 
 Thiết diện qua trục là hình vuông nên hr 2 và 
 2
 Sxq 2 rh 2 r .2 r 4 r . 
 Nên 
 Sxq 4 r 1 h 2. h 
 Dây cung AB căng một cung 120nên AOB 60 . 
 Gọi I là trung điểm AB . 
 Xét tam giác vuông OIB có A 
 3 O I 
 IB OBsin60  AB 3 
 2 r B 
 Vậy SABB A h. AB 2 3 (đvdt). 
9 | Hình học lớp 12 | 
 Ta có CD AD và CD AN nên CD AND CD ND . 
 Do đó CN là đường kính của đường tròn đáy. 
 Ta có ABCD  CND CD và nên góc giữa ABCD và NCD là 
 góc ADN = 45° .
 AD a
 Xét tam giác vuông cân AND có ND . 
 22
 Gọi bán kính của hình trụ là r . 
 aa223
 Xét tam giác vuông NDC có NC2 ND 2 DC 2 4r2 a 2 r 2 . 
 28
 AD a
 Chiều cao của khối trụ h AN . 
 22
 3a23 a 3 2 a
 Vậy thể tích của khối trụ là V r2 h .. . 
 82 16
11 |