Chuyên đề Tính các yếu tố về hình nón, khối nón - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
HÌNH HỌC 12. CHƯƠNG II. 
NÓN TRỤ CẦU 
PHẦN I: Hình nón – Khối nón 
 DẠNG 1. Tính các yếu tố về hình nón, khối nón 
 I LÝ THUYẾT 
1. Mặt nón 
 Trong mặt phẳng P , cho đường thẳng cố định. Một đường thẳng l 
 cắt tại S và tạo với một góc 0 90 . 
 Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh sao cho 
 không đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh (hay đơn giản là mặt 
 nón). 
 + : Trục của mặt nón. 
 + l : Đường sinh của mặt nón. 
 + S : Đỉnh của mặt nón. 
 + 2 : Góc ở đỉnh. 
2. Hình nón và khối nón 
 Cho tam giác SOA vuông tại O . Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh SO thì đường gấp khúc 
 SAO tạo thành một hình gọi là hình nón tròn xoay N (hay hình nón). 
 Với hình nón ta có 
 + S là ỉđ nh và SO là trục của hình nón. 
 + 2 : Góc ở đỉnh của hình nón. 
 + SO h: Chiều cao của hình nón. 
 + OA OB r : Bán kính hình nón. 
 + SA SB SM l : Đường sinh của hình nón ( M là một điểm bất kì trên đường tròn đáy). 
 Khối nón tròn xoay (hay khối nón) là phần không gian được giới hạn bởi hình nón tròn xoay kể 
 cả hình nón đó. 
3. Diện tích hình nón và thể tích khối nón 
 1 | Hình học lớp 12 | 
 S
 O
 B C
 Gọi góc ở đỉnh của hình nón là góc BSC 2 OSC . Xét tam giác vuông SOC vuông tại O 
 OC 1
ta có tan . 
 SO 2
 2 tan 1 4
tan 2 . 
 2 1
 1 tan1 3
 4
 Ví dụ 2 
 Một hình nón có tỉ lệ giữa đường sinh và bán kính đáy bằng 2. Tính góc ở đỉnh của hình nón. 
 Lời giải 
Giả sử hình nón có ờđư ng sinh l SC , bán kính r OC a , góc ở đỉnh BSC 2 OSC 
 3 | Hình học lớp 12 | 
Ta có l2 R 2 h 2 h l 2 R 2 4 2 2 2 2 3 . 
b) Sxq Rl 2.4 8 . 
 1 1 8 3
c) V R2 h .4.2 3 . 
 3 3 3
 Ví dụ 5 
 Một hình nón có ờđư ng sinh bằng đường kính đáy. Diện tích toàn phần của hình nón bằng . 
 Tính đường cao của hình nón. 
 Lời giải 
 2 2
Ta có Stp Rl R mà theo đề bài ta có lR 2 và Stp 9 3 R 9 R 3 l 2 3 . 
 h l22 R 12 3 3. 
 Ví dụ 6 
 Một hình nón có góc ở đỉnh bằng , đường sinh bằng . Tính diện tích xung quanh của hình 
 nón. 
 Lời giải 
Giả thiết cho ta biết AB 2 a góc BAO 30 . 
 1
Xét tam giác AOB có BO AB.sin300 2 a . a . 
 2
 2
Khi đó: Sxq . OB . AB 2 a . 
 5 | Hình học lớp 12 | 
 S
 C
 B M
 O
 A
 a 6
Tứ diện ABCD đều cạnh a nên AO . Đường tròn đáy tâm O của hình nón ngoại tiếp tam 
 3
 a 3
giác đều BCD cạnh a nên bán kính đường tròn là . 
 3
 2
 aa223 13 a 
Vậy diện tích toàn phần của hình nón là : S . 
 tp 3 3 3
 Ví dụ 9 
 Một hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh bên bằng có đỉnh trùng với đỉnh hình nón và ba 
 đỉnh trên mặt đáy nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Tính thể tích lớn nhất của khối nón.
 Lời giải 
 7 | Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 11 
 Cho hình lập phương có cạnh bằng , một hình nón có đỉnh là tâm của hình 
 vuông và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông . Tính diện tích xung quanh 
 của hình nón đó. 
 Lời giải 
 AC 2
Theo đề bài, hình nón đó có chiều cao ha , bán kính của đáy là ra 
 22
 22 6
 l h r a . 
 2
 3
 Diện tích xung quanh của hình nón đó là: S rl a2 . 
 xq 2
 Ví dụ 12 
 Cho hình nón có ỉđ nh là , đường tròn đáy là có bán kính góc ở đỉnh của hình nón là 
 . Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có các ỉđ nh thuộc đường tròn . 
 Lời giải 
 S 
 600 
 A 
 O 
Vì hình chóp ềđ u S. ABCD có các ỉđ nh ABCD,,, thuộc đường tròn O nên ABCD hình vuông có 
đường tròn ngoại tiếp đáy là đường tròn đáy ủc a hình nón AC 22 R AB R .
 R 
 h SO . 
 3
 9 | Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 15 
 Cho một hình thang cân có các cạnh đáy cạnh bên 
 Hãy tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó. 
 Lời giải 
 A H B 
 D O C 
Gọi H và O thứ tự là trung điểm của AB và DC . 
 Khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó là khối một khối nón 
cụt chiều cao HO đường kính đáy là và . 
 2
Vì AB 2 a , CD 4 a HO AD2 DO AH 22 a . 
Cách 1: 
Giả sử kéo dài AD và cắt tại S , Vì AH song song và bằng nửa DO nên là đường 
trung bình của tam giác SDO SO 2 HO 4 a 2 . 
 Thể tích của khối xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó là 
 3
 12 14a 2 
Va 2a .4a 2 2 .2a 2 . 
 33 
Cách 2: Sử dụng công thức tính thể tích khối nón cụt 
 1 14 2 a3
 V .... HO AH22 DO AH DO . 
 33 
 DẠNG 2. Thiết diện của hình nón, khối nón 
 I LÝ THUYẾT 
– Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: 
 + Mặt phẳng cắt hình nón theo 2 đường sinh bất kỳ Thiết diện là tam giác cân. 
 + Mặt phẳng tiếp xúc với hình nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó 
 là mặt phẳng tiếp diện của hình nón. 
– Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: 
 + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón giao tuyến là một đường tròn. 
 11 | Hình học lớp 12 | 
Thiết diện qua trục của hình nón tròn xoay là một tam giác đều SAB có cạnh bằng a l SA a, 
 1 a a 3
r AB h l22 r . 
 22 2
 2 3
 12 1 a a 3 a 3
Vậy V r h .. . 
 3 3 2 2 24
 Ví dụ 3 
 Cho khối nón có chiều cao bằng . Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng 
 , có diện tích bằng . Khi đó, thể tích của khối nón là bao nhiêu? 
 Lời giải 
 2 64 8
Ta có: SO h3 a ; S r22 HK a HK a . 
 TD 93
Do thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a nên HO a SH SO OH 2 a . 
 OA SO SO. HK
Xét SOA SHK , ta có: OA 4 a . 
 HK SH SH
 11
Vậy V . R2 . h .16 a 2 .3 a 16 a 3 . 
 N 33
 13 |