Chuyên đề Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước - Hình học 12

 DẠNG 5A: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 
 Ví DỤ 1 
 Ví 
 x 1 y 1 z 3
 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình . Hãy tìm tọa 
 3 2 1
 độ của một điểm M trên đường thẳng d . 
 Lời giải 
 Tọa độ điểm M là M 1; 1;3 . 
 Ví DỤ 2 
 Ví 
 xt 1
 Tìm giao điểm của đường thẳng : yt 22 với mặt phẳng : x y z 40 . 
 zt 3
 Lời giải 
Tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình : 
 xt 1 1 
 yt 22 2 
 . 
 zt 3 3 
 x y z 40 4 
Thay 1 , 2 , 3 vào 4 ta được 1 t 2 2 t 3 t 4 0 t 1. 
 x 2
Với ty 14 . Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là 2;4;2 . 
 z 2
 Ví DỤ 3 
 Ví 
 x y 12 z
 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : và mặt cầu S có phương trình 
 2 2 3
 x2 y 2 z 2 8 x 2 y 3 0 . Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt cầu S . 
 Lời giải 
 xt 2
Phương trình tham số của đường thẳng d là yt 12, với t là tham số. 
 zt 23 
Xét phương trình 2t 2 12 t 2 23 t 2 8.2212 t t 30 
 t 0
 17tt2 28 0 28 . 
 t 
 17
Với t 0 tọa độ giao điểm là 0;1; 2 . 
1 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;2;2 và đường thẳng 
 x 6 y 1 z 5
 d : . 
 2 1 1
 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua d . 
 Lời giải 
Từ phương trình đường thẳng d ta có véc tơ chỉ phương của là u 2;1;1 
Gọi H là hình chiếu của A trên d , suy ra H 62;1;5 t t t AH 52;1;3 t t t . Khi đó 
 AH u AH.0 u 2 5 2t 1 t 3 t 0 t 2. 
Với t 2 thì H 2; 1;3 . 
Gọi là điểm đối xứng với qua thì H là trung điểm AB B 3; 4;4 . 
 Ví DỤ 7 
 Ví 
 x y 12 z
 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng 
 1 2 3
 P : x 2 y 2 z 3 0. 
 Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng P bằng 2 . 
 Lời giải 
 xt 
Phương trình tham số của đường thẳng d: y 1 2 t 
 zt 23 
Vì Md nên tọa độ của có dạng M t; 1 2 t ; 2 3 t . 
Vì khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng nên 
 t 2 1 2 t 2 2 3 t 3 t 2 4 t 4 6 t 3
 2 2 
 1 22 2 2 1 4 4
 5 t 56 t tM 1 1; 3; 5 
 2 5 t 6 
 3 56 t tM 11 11;21;31 
 Ví DỤ 8 
 Ví 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 2 , B 1; 2; 3 và đường thẳng 
 x 1 y 2 z 1
 d :. 
 112
 Tìm điểm M thuộc d sao cho MA22 MB 28. 
3 
 VÍ DỤ 11 
 Ví 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa mãn 
 CD 2 AB và diện tích bằng 27; đỉnh A 1; 1;0 ; phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 
 x 2 y 1 z 3
 . Tìm tọa độ các điểm C; D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A. 
 2 2 1
 Lời giải 
Đường thẳng CD qua M 2; 1;3 có vec tơ chỉ phương u 2;2;1 
Gọi H 2 2 t ; 1 2 t ;3 t là hình chiếu của A lên CD, ta có: 
 AHu. 2 3 2 t ) 2.2 t 1.(3 t 0 t 1 H 0; 3;2 , dACDAH , 3 
 2S
Từ giả thiết ta có: AB CD 3 AB ABCD 18 AB 6; DH 3; HC 9 
 AH
 AB
Đặt ABtutttt 2;2; 0 xxBA t 2 AB 4;4;2 B 3;3;2 
 u
 9
HC AB 6;6;3 C 6;3;5 
 6 
 3
HD AB 2; 2; 1 D 2; 5;1 
 6
 Ví dụ 12 
 Ví 
 Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0;1;9 và mặt cầu 
 S : x 3 2 y 4 2 z 4 2 25 . Gọi C là giao tuyến của S với mặt phẳng Oxy . Lấy 
 hai điểm MN, trên C sao cho MN 25. Biết tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất, tìm tọa độ 
 điểm D là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng Oyz . 
 Lời giải 
Mặt cầu S có tâm I 3;4;4 , bán kính R 5 . Gọi rC là bán kính đường tròn C . 
Gọi H là tâm đường tròn C H 3;4;0 , IH Oxy , d I,4 Oxy . 
 22
rC 5 4 3 , OH 5 O nằm ngoài đường tròn C , d A,9 Oxy 
 1 1
VOAMN d A,. Oxy S OMN 3SOMN 3. dOMNMN , . 3 5. dOMN , 
 3 2
Suy ra V d O, MN 
 max max
5 
DẠNG 5B: BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG 
THẲNG 
 Ví dụ 13 
 Ví 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có 
 ABC 1;0; 1 , 2;1;3 , 2;1; 1 . Tìm tập hợp điểm M nằm trong mặt phẳng ABC sao cho 
 d M,, AB d M AC . 
 Lời giải 
Ta có M ABC và d M,, AB d M AC M là đường phân giác góc A của tam giác 
 . 
+)TH1: Phân giác trong góc 
AB 1;1;4 , AC 1;1;0 , AB 3 2; AC 2 . 
 AB AC 4 4 4 4
Véc tơ ; ; 1;1;1 là véc tơ chỉ phương của đường phân giác trong 
 AB AC 3 2 3 2 3 2 3 2 
góc A , ta chọn: u 1;1;1 
 x 11 y z
Vậy phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC : . 
 1 1 1
+)TH 2: Phân giác ngoài góc 
 . 
 AB AC 2 2 4 2
Véc tơ ; ; 1;1; 2 là véc tơ chỉ phương của đường phân giác 
 AB AC 3 2 3 2 3 2 3 2 
trong góc , ta chọn: u 1;1; 2 
 x 11 y z
Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc của tam giác . 
 1 1 2
Vậy tập hợp điểm là 2 đường thẳng có phương trình: 
 x 11 y z x 11 y z
 : và :. 
 1 1 1 1 2 1 1 2
 Ví dụ 14 
 Ví 
 Tim tập hợp các điểm cách đều 3 điểm ABC(1;1;1), ( 1;2;0), (2; 3;2). 
 Lời giải 
Gọi M( x ; y ;z) là điểm cần tìm. M cách đều 3 điểm A,B,C khi và chỉ khi. 
 MA22 MB (x 1)2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 ( x 1) 2 ( y 2) 2 z 2
 22 2 2 2 2 2 2 
 MA MC (x 1) ( y 1) ( z 1) ( x 2) ( y 3) ( z 2)
 4x 2 y 2 z 2 0 2 x y z 1 0
 2x 8 y 2 z 14 0 x 4 y z 7 0
Vậy tập hợp điểm M trong không gian là đường giao tuyến của hai mặt phẳng. Ta được đường thẳng 
có phương trình là: 
7