Chuyên đề Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước - Hình học 10

 HÌNH HỌC 10 
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
 BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 DẠNG 5: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 
Loại 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện về khoảng cách, góc, 
hình chiếu, đối xứng  
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
Phương pháp giải toán 
Hướng 1. Nếu điểm M thuộc đường thẳng thì ta viết phương trình dưới dạng tham số. Khi 
đó tọa độ điểm M chỉ phụ thuộc một tham số t . Tiếp đến, từ giả thiết của bài toán ta tìm (thiết lập) 
phương trình ẩn t . Giải phương trình này ta tìm được t và từ đó tìm được M . 
Hướng 2. Tọa độ điểm M cần tìm gồm có hoành độ x và tung độ y . Vì có hai yếu tố phải tìm nên 
từ giả thiết của bài toán ta tìm (thiết lập) hệ hai phương trình ẩn x và y . Giải hệ này ta tìm được 
tọa độ của điểm M . 
 II BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 Ví dụ 1 
 Ví 
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d: x 2 y 3 0 và :3xy 4 1 0 . Tìm trên d 
điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng bằng 2 . 
 Lời giải 
Vì Md nên M 2 t 3; t . 
 3 2tt 3 4 1 10tt 10 10 2
Ta có d Mt , 2 10 10 10 . 
 3422 10tt 10 10 0
Vậy có 2 điểm M cần tìm là M 1;2 , M 3;0 . 
 Ví dụ 2 
 Ví 
Trong mặt phẳng , cho hai điểm A 3; 3 , B 5; 1 và đường thẳng : 2xy 1 0. Tìm 
trên điểm sao cho tam giác MAB cân tại M . 
 Lời giải 
1 
 CA:7 x y 12 0 . Tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong của góc A . 
 Lời giải 
 A
 C
 B D
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
 x y 4 0 x y 4 x 3
 B 3;1 . 
 3x 5 y 4 0 3 x 5 y 4 y 1
 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
 3x 5 y 4 0 3 x 5 y 4 x 2
 C 2; 2 . 
 7x y 12 0 7 x y 12 y 2
Phương trình các đường phân giác của góc A là 
 x y 4 7 x y 12 xy 3 16 0 1 
 5x y 4 7 x y 12 . 
 2 2 2 2 3xy 2 0 
 11 71 2 
Đặt f x; y x 3 y 16. Khi đó, f B . f C f 3;1 . f 2; 2 16 20 320 0 nên hai 
điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng 1 . 
Suy ra 2 là đường phân giác trong của góc A . 
Ta có D BC  2 nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình 
 7
 x 
 3x 5 y 4 0 3 x 5 y 4 9
 . 
 Oxy 3x y 2 0 3 x y 2 1
 y 
 3
 71
Vậy D ; . 
 93
 Ví dụ 5 
 Ví 
Trong mặt phẳng , cho điểm M 2;2 và hai đường thẳng d1 : x y 2 0 , d2 : x y 8 0 . 
Tìm tọa độ điểm Ad 1 và Bd 2 sao cho tam giác MAB vuông cân tại M . 
 Lời giải 
Vì , nên A s;2 s và B t;8 t . 
Khi đó, MA s 2; s và MB t 2;6 t . 
 Tam giác vuông cân tại nên 
3 
 3bx by b 0 3 x y 1 0. 
 1
 x 
 xy 7 17 0 2 15
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ B ; . 
 3xy 1 0 5 22
 y 
 2
 b
Với a thì do ab22 0 nên b 0 . Do đó, phương trình đường thẳng d là 
 3
 b
 x by b 0 x 3 y 3 0 . 
 3
 x 7 y 17 0 x 3
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ B 3;2 . 
 x 3 y 3 0 y 2
 15
Vậy tọa độ điểm B là B ; hoặc B 3;2 . 
 22
 Ví dụ 7 
 Ví 
Trong mặt phẳng , cho hai điểm A 1;2 , B 4;3 . Tìm tọa độ điểm M sao cho MAB 135 
 10
và khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng . 
 2
 Lời giải 
 M
 10
 2 135°
 H A B
Phương trình đườngOxy thẳng AB là 
 xy 12
 x 1 3 y 2 x 3 y 5 0 . 
 4 1 3 2
Gọi M x; y . Khi đó, 
 10xy 35 10 xy 3 0 1 
 d M , AB x 3 y 5 5 . 
 2
 22132 xy 3 10 2 
Ta có AB 3;1 , AM x 1; y 2 và 
 2AB . AM 2 3 xy 1 2
cosMAB cos AB , AM 
 22AB. AM 10. xy 1 22 2 
 22
 5. x 1 y 2 3 x y 5. 3 
Từ 1 ta có xy 3 và thay vào 3 ta được phương trình 
5 
 II BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 Ví dụ 1 
 Ví 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 2xy 5 0 và hai điểm A 2;3 , B 4;1 . 
Tìm tọa độ điểm M thuộc sao cho tam giác MAB vuông tại M . 
 Lời giải 
 AM t 2;2 t 8 
 + Gọi M( t ;2 t 5) 
 BM t 4;2 t 6 
 + Khi đó tam giác MAB vuông tại M 
 AM. BM 0 t 2 t 4 2 t 8 2 t 6 0 
 2 t 2 M 2; 1 
 5tt 30 40 0 
 t 4 M 4;3 
 + Vậy M 2; 1 hoặc M 4;3 . 
 Ví dụ 2 
 Ví 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MAB cân tại A và đường thẳng : 2xy 5 0 . 
Biết B 1; 4 và I 2; 2 là trung điểm của AM . Tìm tọa độ điểm A và M biết đi qua điểm 
 M và M có hoành độ là số nguyên. 
 Lời giải 
7 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các đỉnh A 1;0 , B 4;0 , Cm 0; với 
 m 0 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m . Xác định m để tam giác GAB 
vuông tại G . 
 Lời giải 
 + Do G là trọng tâm tam giác ABC nên: 
 xxx 1 4 0
 x ABC 1
 G 33 m
 G 1; 
 yyy 00 mm 3
 y ABC 
 G 3 3 3
 m
 GA 2; 
 3 
 + Suy ra , khi đó tam giác GAB vuông tại G 
 m
 GB 3; 
 3
 m2
 GAGB. 0 6 0 m 3 6 
 9
 m
 Vậy G 1; với m 3 6. 
 3
 Ví dụ 5 
 Ví 
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC . Biết A 4;1 , phương trình hai đường thẳng chứa lần 
lượt hai đường cao tam giác từ B và C là 2x y 8 0;2 x 3 y 6 0 . Tìm tọa độ và . 
 Lời giải 
Ta có không thuộc 2xy 8 0 do 2.4 1 8 0 và 
A 4;1 không thuộc 2xy 3 6 0 do 2.4 3.1 6 0. 
Gọi BI: 2 x y 8 0 ; CK: 2 x 3 y 6 0. 
 15 1
H BI  CK H ; 
 42
9 
và C , biết điểm E 1; 3 nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 
 Lời giải 
 + Từ A hà đường cao AH ()H BC cắt d tại I . 
 Vì tam giác ABC cân tại A nên HI, lần lượt là trung điểm của BC và AH. 
 Khi đó AH đi qua A 6; 6 vuông góc với d nên có phương trình: xy 0 . Suy ra tọa 
 x y 4 0 x 2
 độ điểm I thỏa mãn hệ: IH 2; 2 2; 2 . 
 x y 02 y 
 + Đường thẳng BC đi qua H và song song với d nên có phương trình xy 40 . 
 + Gọi B t;4 t BC C 4; t t ( do H là trung điểm BC ) 
 AB t 6; 10 t 
 CE t 5; 3 t 
 Do E 1; 3 nằm trên đường cao đi qua C của tam giác ABC , suy ra: 
 ABCE. 0 t 6 t 5 10 t 3 t 0 
 B 0; 4 
 C 4; 0
 2 t 0 
 tt 60 
 t 6 B 6; 2 
 C 2; 6 
 Vậy BC 0; 4 , 4; 0 hoặc BC 6; 2 , 2; 6 . 
 Ví dụ 8 
 Ví 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có phương trình đường trung tuyến kẻ từ 
 A và đường thẳng chứa cạnh BC lần lượt là 3xy 5 2 0 và xy 20 . Đường thẳng qua 
 A , vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D 2; 2 . 
 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đỉnh B có hoành độ không lớn hơn 1. 
 Lời giải 
11