Chuyên đề Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số - Đại số 12

 Tiệm cận của đồ thị hàm số- có giải chi tiết 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 1. Đường tiệm cận ngang 
 Cho hàm số y f() x xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng 
 ab;,; hoặc ; ). Đường thẳng yy 0 là đường tiệm cận ngang (hay 
 tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau 
 được thỏa mãn 
 limf ( x ) y00 , lim f ( x ) y 
 xx 
 Chú ý nếu limy a , lim y b thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận là y = a và y = b 
 xx 
 Nhận xét: Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tính giới 
 hạn của hàm số đó tại vô cực. 
 2. Đường tiệm cận đứng 
 Đường thẳng xx 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ 
 thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn (chỉ cần 
 một điều kiện là đủ rồi) 
 limf ( x ) , lim f ( x ) , limf ( x ) , lim f ( x ) 
 x x00 x x x x00 x x
 Những bài toán tìm tiệm cận đứng thì các em tìm x để y tiến dần tới vô cùng, thông 
 fx()
 thường tiệm cận đứng xất hiện ở hàm phân thức dạng các em giải phương trình 
 g(x)
 g(x) = 0 để tìm x. 
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 
 1. Quy tắc tìm giới hạn vô cực 
 Quy tắc tìm giới hạn của tích f( x ). g ( x ) 
 Nếu limf ( x ) L 0 và limgx ( ) (hoặc ) thì limf ( x ). g ( x ) được tính theo quy tắc 
 xx 0 xx 0 xx 0
 cho trong bảng sau: 
 limfx ( ) limgx ( ) limf ( x ) g ( x ) 
 xx 0 xx 0 xx 0
 L 0 
 L 0 
 fx()
 Quy tắc tìm giới hạn của thương 
 gx()
 fx()
 Dấu của gx() lim 
 xx 0 gx()
 L Tùy ý 0 
  limfx ( ) thì nhập fx() và CALC x 1010 . 
 x 
 xx2 23
Ví dụ 1. Tìm lim . 
 x 1 x 1
Giải. 
 xx2 23
Nhập biểu thức . 
 x 1
CACL tại x = 1+ 10 9 . 
aQ)d+2Q)p3RQ)p1r1+10^z9)= 
 xx2 23
Nên lim 4 . 
 x 1 x 1
 23x 
Ví dụ 2. Tìm lim . 
 x 1 x 1
 23x 
Nhập biểu thức . 
 x 1
Ấn CACL tại x = 1+ 
a2Q)p3RQ)p1r1+10^z9)= 
 23x 
Nên lim . 
 x 1 x 1
 23x 
Ví dụ 3. Tìm lim . 
 x 1 x 1
Nhập biểu thức . 
Ấn CACL tại x 1 10 9 
2Q)p3RQ)p1r1p10^z9= 
 23x 
Nên lim . 
 x 1 x 1
 2xx2 2 3
Ví dụ 4. Tìm lim . 
 x x2 1
Giải. 
 2xx2 2 3
Nhập biểu thức . 
 x2 1
Ấn CACL tại x 1010 . 
a2Q)d+2Q)p3RQ)d+1r10^10= Những bài toán tìm tiệm cận đứng thì các em tìm x để y tiến dần tới vô cùng, thông 
 thường tiệm cận đứng xất hiện ở hàm phân thức dạng các em giải phương trình 
 g(x) = 0 để tìm x. 
 Trong bài toán này dễ dàng nhìn thấy x = 2 là nghiệm của g(x)=0 
 Ấn CACL tại x = 2+ 
 aWa2Q)p1RQ)p2r2+10^z9= 
 10 9
 21x 
 Nên lim . 
 x 2 x 2
 Do đó đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của ()C . 
 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
 23x 
Câu 1. Đồ thị hàm số y có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt 
 xx2 32
 là: 
 A. xx 1, 2 và y 0. B. xx 1, 2 và y 2 . 
 C. x 1 và y 0. D. xx 1, 2 và y 3. 
 fx()
Chọn A 
 g(x)
 Phương pháp tự luận 
 Nhận thấy mẫu số là một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 và 2 
 23x 23x 
 Ta có lim 2 và lim 2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 
 x 1 xx 32 x 1 xx 32
 x 1 . Tính tương tự với x 2 (khi đi thi các em chỉ cần tính một giới hạn mà ra 
 hoặc là có thể kết luận ngay nó là tiệm cận rồi) 
 23x 
 Ta có lim 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 0 
 x xx2 32
 Sử dụng máy tính casio 
 23x 
 Nhập biểu thức . 
 xx2 32
 Xét tại x 1, Ấn CALC x 1 10 9 . 
 a2Q)p3RQ)dp3Q)+2r1+10^z9= 
 . 
 Tương tự xét với 
 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1và 
 Ấn CALC x 1010 . Ấn = được kết quả bằng 2.10 10 
 a2Q)p3RQ)dp3Q)+2r10^10= x 1
Câu 3. Xác định m để đồ thị hàm số y có đúng hai tiệm cận đứng. 
 x22 2 m 1 x m 2
 3 3
 A. m ; m 1; m 3. B. mm ;1 . 
 2 2
 3 3
 C. m . D. m . 
 2 2
 Chọn A 
 x 1
 Đồ thị hàm số y có đúng hai tiệm cận đứng 
 x22 2 m 1 x m 2
 phương trình f x x22 2 m 1 x m 2 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. 
 3
 m 
 2 2 2
 '0 mm 1 2 0 2m 3 0 
 m 1 
 f 10 2 mm2 2 3 0
 1 2 mm 1 2 0 m 3
 Sử Dụng Máy Tính Casio 
 Các em bấm máy thử đáp án. Đáp án đúng cần thỏa mãn phương trình ở mẫu có 
 hai nghiệm phân biệt khác 1. 
 Chọn m để thử sao cho đáp án này có mà đáp án khác không có 
 Với m = -10 các em bấm máy giải phương trình bậc hai 
 w531=2Oz11= 
 Các em thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1. Vây A hoặc D đúng 
 Giờ thử với m = 1 hoặc m = -3 là sự khác biệt của hai đáp án. Ví dụ m = 1 
 w531=0=z1== 
 Có nghiệm x = 1 rồi vậy m = 1 bị loại nên chọn đáp án A 
 x2 2 m 3 x 2 m 1 
Câu 4. Xác định m để đồ thị hàm số y không có tiệm cận đứng. 
 x 2
 A. m 2. B. m 2 . C. m 3. D. m 1. 
 Chọn A 
 x2 2 m 3 x 2 m 1 
 Đồ thị hàm số y không có tiệm cận đứng 
 x 2
 phương trình f x x2 2 m 3 x 2 m 1 0 có nghiệm x 2 
 f 2 0 4 2 2 m 3 2 m 1 0 2mm 4 0 2 . 
 Sử Dụng Máy Tính Casio 1
 1 
 x 11
 limy lim lim x . 
 x x 2 x 1 m
 mx 1 m
 x2
 1
 Suy ra đường thẳng y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x . 
 m
 Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
 Sử Dụng Máy Tính Casio 
 Các em thử đáp án thôi 
 x 1
 Nhập hàm số CACL tại , x 1010 và M trong đáp án 
 Mx2 1
 aQ)+1RsQmQ)d+1 
 Giờ CACL với , M = -1 
 r10^10=z1= 
 Vậy đáp án A bị loại. Giờ CACL tại và M = 1 
 !r10^10=1= 
 Được một tiệm cận y = 1. Giờ CACL tiếp , M = 1 
 rz10^10== 
 Vậy được thêm một tiệm cận nữa y = -1 → lựa chọn phương án B 
 23x 
Câu 6. Cho hàm số yC (). Gọi d là khoảng cách từ giao điểm của 2 tiệm cận của (C) 
 x 2
 đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). Giá trị lớn nhất của d là 
 A. 2 . B. 3 . C. 33. D. 2 . 
 Chọn D 
 2x 3 1 1
 yy 2' 
 x 2 x 2 ( x 2)2
 10 1
 Tọa độ điểxm 10M bất kì thuộc đồ thị có dạng M a 2;2 ( C ), a 0 
 a
 1
 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: ky '(a 2) 
 a2