Chuyên đề Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước - Đại số 12

 Giải tích 12. 
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC 
BÀI 1+ 2+3: CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC. PHÉP CHIA SỐ PHỨC. 
CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC 
 PHẦN 2: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 
 BÀI TOÁN 1: TÌM PHẦN THỰC VÀ PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC KHÔNG CÓ THAM SỐ 
 Ví DỤ 1 
Cho số phức zi 32. Tìm phần thực và phần ảo của z . 
 Lời giải 
 z 3 2 i z 3 2 i . 
 Vậy phần thực của z bằng 3 và phần ảo của z bằng 2 . 
 Ví DỤ 2 
 12 i
 Tìm phần ảo của số phức z . 
 2 i
 Lời giải 
 12 i (1 2ii )(2 ) 2 iii 4 2 2 43
 Ta có z i
 2 i 5 5 55 
 3
 Vậy phần ảo của số phức là . 
 5
 Ví DỤ 3 
 Cho số phức zi 23. Tìm phần ảo của số phức w 12 i z i z . 
 Lời giải 
 Ta có w 1 i 2 3 i 2 i 2 3 i 2 5 i . 
 Vậy phần ảo của số phức w là 5. 
 Ví DỤ 4 
 Cho số phức z 5 i 2 i 2 10. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . 
 Lời giải 
 Ta có 
 10
 zii 52210 zi 52 ziizizi 4252 23 23 
 i 2
 Vậy số phức có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3. 
 Ví DỤ 5 
1 | 
 672 672
 z2017 z 3 .8.38 z i i 672.ii672 38 i 672 .( 4 ) 168 38.3 i 6 7 2 i . 
 Ví DỤ 9 
 3
 Cho số phức z 1 thỏa mãn z 1. Tính 11 z z2018 z z 2018 . 
 Lời giải 
 672
 Ta có: z3 1. z 2018 z 3 z 2 z 2 . 
 z32 1 z 1 z z 1 0 , mà z 1 nên zz2 10 . 
 Do đó, 1 z z2018 1 z z 2018 1 z z 2 1 z z 2 
 1 z z2 2 z 1 z z 2 2 z 2 
 2z . 2 z23 4 z 4. 
 Ví DỤ 10 
 Tìm phần thực a của số phức z i2 ... i 2019 . 
 Lời giải 
 2 2019
 Ta có z i ... i là tổng của dãy một CSN với số hạng đầu tiên u1 1, công bội 
 qi và n 2018 . 
 i2018 1
 Do đó ta có z i2 1 i . Suy ra a 1. 
 i 1
 TÌM PHẦN THỰC VÀ PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC CÓ THAM SỐ 
 Ví DỤ 1 
 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z 2 m 1 ( i 1) m22 4 i i với m . 
 Lời giải 
 Ta có: 
 zmi 21(1) miimim2 4 2 2121 mi 2 41 mmmi 2 2 23 . 
 2 2
 Vậy số phức z 2 m 1 ( i 1) m 4 i có phần thực là Re z m 2 m và phần ảo là 
 Im zm 2 3. 
 Ví DỤ 2 
 mi 
 Tìm các giá trị thực của m để số phức z mi có phần ảo dương. 
 mi 
 Lời giải 
 Ta có: 
3 | 
 2
 m i2m 2 m 2 m 1 i 3 m 2 m2 2 m
 i
 m2 1 m 2 1 m 2 1 m 2 1 
 3
 i m21 i mi mm2 2
 Do đó phần ảo của số phức z là Im z . 
 12 m m i m i m2 1
 mm2 2
 Đặt t tm2 t m 2 2 m t 1 m 2 2 m t 0 * . 
 m2 1
 1
 Nếu tm 1 . 
 2
 Nếu t 1, để phương trình có nghiệm thực 
 1 5 1 5
 1 t 1 t t2 t 1 0 t 
 22
 1 5 1 5
 Do đó,  m thì t ; . 
 22
 1 5 1 5
 Vậy miền giá trị của phần ảo của số phức đã cho là ; . 
 22
 Ví DỤ 5 
 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z 2019 i 2 i2 3i 3 .... 4n 1 i 4n 1 với n * . 
 Lời giải 
 Cách 1 : Đặt: f x 1 x x2 x 3 ... x 4n 1 .
 Ta có: f x 1 2 x 3 x24 ... 4 n 1 x n
 x. f x x 2 x2 3 x 3 ... 4 n 1 x 4n 1
 1 . 
 x42n 1
 Mặt khác : f x 1 x x2 x 3 ... x 4n 1 
 x 1
 x4n 2 1 x 1 x 4 n 2 1 x 1 4 n 2 x 4 n 1 x 1 x 4 n 2 1 
 fx 
 xx 11 22 
 4n 1 x4nn 1 4 n 2 x 4 1 1
 fx 
 x 1 2 
 4n 1 x4nn 1 4 n 2 x 4 1 1
 xf x x 2 2 . 
 x 1 
 Từ và ta có: 
5 | 
 Ví DỤ 6 
 2019
 Cho số phức z thỏa mãn iz 2 m i m 1 i ;  m . Tìm các giá trị thực của m để 
 Re z 
 . 
 21009
 Lời giải 
 Ta có: 
 izmim 2 1 i 2019 1 i 2016 . 1 i 3 2 i 1008 . 1 3 iii 3 23 
 252
 iz2 m i m 2..1331008 i 1008 i i 2. 1008 i 4 .222 i 1009 i 1
 ii 11 m 11 m i
 iz 2 m 21009 2 1009 2 1009 
 i m m i m2 1
 1009 1009
 1009 m 1 1 m i 2 m 1 2 1 m 
 iz 22 2 m 2 2 m 2 i 
 m 1 m 1 m 1
 21009 mm 1 2 1009 1 
 z 2 m 22 i 
 mm 11
 21009 1 mz Re 1 m
 Do đó phần thực của số phức là: Re z . 
 mm2 1 2 1009 2 1 
 Ta có: 
 1 m
 2 1 m 2 m22 2 2 m m 1 0 (đúng với  m ). 
 m2 1
 1 m
 1 1m m22 1 m m 2 0 (đúng với ). 
 m2 1
 1 m
 Như vậy thì 12 . 
 m2 1
 1 m
 0 m 1
 Re z 1 m m2 1 10 m 
 Để m 0 . 
 1009 2 2 
 21m 1 m 1 m m 1
 1 m 1
 m2 1 
 Vậy m 1;0;1 thì 
 Ví DỤ 7 
 Gọi S là tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn z 13 và z m 2 i z 1 mi ;  m . 
 Gọi zz12; là hai số phức thuộc sao cho zz12 nhỏ nhất. Tìm phần thực và phần ảo z12 z . 
 Lời giải 
 Đặt z x yi x; y z được biểu diễn bởi điểm M x; y trên mặt phẳng tọa độ. 
 Do nên M thuộc đường tròn C có tâm I 1;0 và bán kính R 3. 
7 | 
 33
 Vậy z12 z zXY z 26 H  J hay J ; là trung điểm của MM12 ( 
 min 22
 MM12; tương ứng là điểm biểu diễn của ). 
 Khi đó OM12 OM 2O J 3;3 , nên z12 z 3 3i. 
 Vậy zz12 có phần thực là 3 và phần ảo là 3 . 
 zz12;
9 |