Chuyên đề Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Hình học 10

 HÌNH HỌC 10 
 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
 BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
 =
 Cho điểm M x; y và đường thẳng :0Ax By C . 
 = 00
 Ax By C
 +)I d M,0 MH 00 
 AB22 
 +) Đặc biệt: d M,,, Ox y00 d M Oy x . 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 +) Nếu 11  hoặc 12  thì d 12,0 . 
 +) Nếu 12// thì d 1,, 2 d M 2 với M bất kì thuộc 1 . 
 11:0ax by c cc 
 +) Đặc biệt: Nếu thì d ; 12 
 12 22
 22:0ax by c ab 
 Cho điểm A xAABB,,, y B x y và đường thẳng : Ax By C 0 . 
 +) Nếu AxAABB By C Ax By C 0 thì A, B nằm cùng phía so với đường thẳng . 
 +) Nếu AxAABB By C Ax By C 0 thì A, B nằm khác phía so với đường thẳng . 
 Cho hai đường thẳng 1: A 1x B 1 y C 1 0, 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 
 Phương trình hai phân giác của góc tạo bởi 12, có dạng: 
 AA1x B 1 y C 1 2 x B 2 y C 2
 d1 
 AAx B y C x B y C ABAB2 2 2 2
 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
 2 2 2 2 
 ABAB AA1x B 1 y C 1 2 x B 2 y C 2
 1 1 2 2 d
 2 2 2 2 2 
 ABAB1 1 2 2
 II BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
Loạ=i 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, hai đường 
thẳ=Ing song song có sử dụng công thức trực tiếp. 
 Ví dụ 1 
 Ví 
Trong mặt phẳng Oxy , tính khoảng cách từ điểm M 1;1 đến đường thẳng :3xy 4 3 0? 
 Lời giải 
1 | 
 1
Vậy với m 2 và m thì thoả yêu cầu bài toán. 
 2
 Ví dụ 5 
 Ví 
Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình của đường thẳng qua P 2;5 và cách Q 5;1 một 
khoảng bằng 3 . 
 Lời giải 
Ta có: 
 qua P 2;5 và nhận n a; b làm một vectơ pháp tuyến (với ab22 0 ) có phương trình 
tổng quát là: :(a x 2) b ( y 5)0 ax by -2-5 a b 0
 5a b 2 a 5 b
dQ , 3 3
 ab22 
 3a 4 b 3 a22 b
 b 0
 24ab 7 b2 0 24 . 
 ba 
 7
Với b 0, chọn a 1. Phương trình đường thẳng :2x . 
 24
Với ba , chọn ab 7, 24 . Phương trình đường thẳng : 7xy 24 134 0 . 
 7
 Ví dụ 6 
 Ví 
Trong mặt phẳng Oxy , có bao nhiêu đường thẳng song song với đường thẳng :3xy 4 2 0 
và cách M 1;1 một khoảng là 1? 
 Lời giải 
Gọi đường thẳng cần tìm là d . Do d // nên phương trình đường thẳng d có dạng 
d:3 x 4 y c 0, c 2 . 
 3.1 4.1 c c 2
Ta có d( M , d ) 1 1 7 c 5 . Loại trường hợp c 2 
 3422 c 13
Vậy có 1 đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 Ví dụ 7 
 Ví 
 xt 1
Trong mặt phẳng Oxy , cho 1 : và 2 :xy 3 9 0 , điểm P 1;3 . Đường thẳng d 
 yt 42
đi qua P và cắt 12, tại AB, sao cho P là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ M 1; 1 
đến đường thẳng d ? 
 Lời giải 
Ta có: 
+ A 1 A 1 t ;4 2 t 
+ B 2 : x 3 y 9 B 3 b 9; b 
+ P 1;3 là trung điểm AB . 
3 | 
 2.3 4 1 35
Khoảng cách từ A đến là dA ; . 
 212 2 5
 Bài 3 
 Ví 
 xt 23
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d: 2 x 3 y 6 0 và :, t . Tính 
 yt 32
khoảng cách từ đường thẳng d đến đường thẳng ? 
 Lời giải 
Lấy M 2;3 . 
Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến n 2; 3 , đường thẳng có một vectơ chỉ phương 
u 3;2 . 
Ta có nu. 2.3 3 .2 0 và Md nên d // . 
 2.2 3.3 6 13
Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và là d d;; d M d . 
 2322 13
 Bài 4 
 Ví 
Trong mặt phẳngOxy , cho đường thẳng d đi qua hai điểm A 1;1 và B 3;2 . Tính khoảng cách 
từ điểm M 1;2 đến đường thẳng d . 
 Lời giải 
d có một vectơ chỉ phương AB 2;1 vectơ pháp tuyến của d là n 1;2 . 
Phương trình đường thẳng d là 1. x 1 2. y 1 0 x 2 y 1 0 . 
 1. 1 2.2 1 45
Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là d M, d . 
 12 2 2 5
 Bài 5 
 Ví 
 xt 1
Trong mặt phẳng Oxy , Cho hai đường thẳng dt:, và :xy 3 4 0 . Tính 
 yt 32
khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng d và đến đường thẳng 1 : 2xy 2 11 0? 
 Lời giải 
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d và . Khi đó toạ độ điểm M là nghiệm của hệ 
 xy 3 4 0
 xt 1 4
 xt 1 . Thay vào xy 3 4 0 ta được 1 t 3 3 2 t 4 0 t . 
 yt 32 7
 yt 32
 4 11 13
Với t thì M ; . 
 7 77
5 | 
 Lời giải 
Ta có: 
+ A 1 A t;4 2 t 
+ B 2 : x y 2 0 B b ; b 2 
+ G là trọng tâm của ABC 
 tb 1
 0
 3 t b 11 t 
 AB 1; 2 , 2; 4 . 
 4 2t b 2 3 2 t b 0 b 2
 3 
 3
 xy 12
Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm AB, là d: d : 2 x 3 y 8 0 
 2 1 4 2
 2.1 3. 1 8
Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là d M; d 13 
 23 22 
Loại 2. Sử dụng khoảng cách để viết PTĐT và tìm điểm trong mặt 
phẳng. 
Loại 2.1: Sử dụng khoảng cách để viết phương trình đường thẳng. 
 II BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 = Ví dụ 1 
 =I Ví 
Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đường thẳng d song song với :3xy 4 12 0 và d 
cách A 2;3 một khoảng là 2. 
 Lời giải 
Vì d // :3xy 4 12 0 nên d có dạng: 3x 4 y c 0 ( điều kiện: c 12 ). 
 3.2 4.3 c
Vì d A; d 2 2 
 5
 c 16 tm 
 c 6 10 . 
 c 4 tm 
 d1 :3 x 4 y 16 0
Vậy có 2 đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là . 
 d2 :3 x 4 y 4 0
 Ví dụ 2 
 Ví 
Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng 
 xy 23
 : và cách đều hai điểm BC 2;3 , 4; 1 . 
 14
 Lời giải 
 xy 23
Vì đường thẳng d  : nên đường thẳng d có dạng: x 40 y c . 
 14
 2 4.3 cc 4 4.1 
Vì d cách đều hai điểm d B;; d d C d 
 17 17
7 | 
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có ABC 6;3, 4;3, 9;2 . Viết phương trình 
đường phân giác trong của góc A. 
 Lời giải 
Phương trình đường thẳng AB:3 x y 15 0 . 
Phương trình đường thẳng AC: x 3 y 3 0. 
Gọi đường thẳng d là đường phân giác trong của góc A và H x; y là điểm bất kì thuộc đường 
thẳng d. 
 3x y 15 x 3 y 3
Khi đó: d H;, AB d H AC . 
 10 10
 3x y 15 x 3 y 3 
 xy 90 
 . 
 xy 30 
Thay tọa độ của BC, vào phương trình đường thẳng xy 90 ta được: 
 4 3 9 9 2 9 0 xy 90 là phương trình phân giác ngoài của góc A. 
Vậy phương trình đường phân giác trong của góc A là: xy 30 . 
 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
 == 
 =I 
 Bài 1 
 Ví 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , lập phương trình đường thẳng d vuông góc với 
 : 2xy 3 0 và cách điểm M 2; 2 một khoảng là 5 . 
 Lời giải 
Vì đường thẳng d : 2 x y 3 0 nên d có dạng: x 20 y c . 
 24 c c 7
Vì d M, d 5 5 c 2 5 . 
 5 c 3
 d1 : x 2 y 7 0
Vậy có 2 đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là: . 
 d2 : x 2 y 3 0
 Bài 2 
 Ví 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , lập phương trình đường thẳng d là đường thẳng song song và 
cách đều hai đường thẳng 12:3x y 6 0; : 6 x 2 y 1 0 . 
 Lời giải 
 1 1
Lấy điểm MN 2;0 12 ; 0; ; Trung điểm của MN giả sử là : I 1; 
 2 4
Vì đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng . 
 d:3 x y c 0 13
 . Do đó : c 
 Id 4
9 |