Chuyên đề Tìm góc giữa hai mặt phẳng - Hình học 12

 HÌNH HỌC 12. 
 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
Dạng 4. Góc giữa hai mặt phẳng. 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Công thức xác định góc giữa hai mặt phẳng 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P1 :0 a 1 x b 1 y c 1 z d 1 và 
 2 2 2
 P2 :0 a 2 x b 2 y c 2 z d 2 với ai b i c i 0 ( i 1,2) . 
Ta có hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là là n1 a 1;; b 1 c 1 và n2 a 2;; b 2 c 2 . 
 nn.
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng trên, ta có 12 . 
 cos = cos nn12 , 
 nn12.
2. Các trường hợp đặc biệt 
 0
+ Khi P1 song song hoặc trùng với P2 ta có 0 hay cos 1. Đây là góc nhỏ nhất có thể 
đạt được giữa hai mặt phẳng. 
 0 0
+ Khi PP12  , ta có 90 hay cos 0 nn12 . 0. Khi đó 90 là góc lớn nhất có thể 
đạt được giữa hai mặt phẳng. 
+ Khi hai mặt phẳng còn có điều kiện ràng buộc khác thì góc lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai mặt phẳng 
là 00. 
 0 0 ;90
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
Loại 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng trong bài toán không chứa tham số. 
I. Phương pháp giải: 
Cần nhớ kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :0 Ax By Cz D và mặt phẳng 
 Q : A ' x B ' y C ' z D ' 0. nnPQ; lần lượt là các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P và Q . 
Góc giữa hai mặt phẳng P và Q là  , ta có: 
 nnPQ. AA''' BB CC
cos cosnn ; 
 PQ 2 2 2 2 2 2
 nnPQ. ABCABC .''' 
II. Các ví dụ: 
 Ví DỤ 1 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : 2 x y 2 z 1 0 và 
 Q : x y 4 0. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng P và Q . 
 Lời giải 
VTPT của mặt phẳng P và Q lần lượt là: nn12 2; 1;2, 1; 1;0. 
1 
 Ví DỤ 5 
 Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm 
 trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M , 
 N lần lượt là trung điểm của SC , SD (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt 
 phẳng GMN và ABCD . 
 Lời giải 
Cho a 1. 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó 
 3 1 1 1 1
S 0;0; ; A ;0 ; 0 ; B ;0; 0 ;C ;1; 0 ; D ;1; 0 
 2 2 2 2 2
 3 1 1 3 1 1 3
suy ra G 0; 0; ; M ;; ; N ;; 
 6 4 2 4 4 2 4
Ta có mặt phẳng ABCD có vectơ pháp tuyến là k 0;0;1 . 
 31
Mặt phẳng GMN có vectơ pháp tuyến là n GM; GN 0; ; 
 24 4
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng GMN và ABCD , ta có 
 1
 nk. 4 2 39
cos . 
 nk. 39 13
 24
3 
 Ví DỤ 3 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng 
 P :5 x 2 y 510, z Q : x 4 y 8120 z . Lập phương trình mặt phẳng R đi qua gốc tọa 
 độ O , vuông góc với mặt phẳng P và tạo với mặt phẳng Q một góc 450 . 
 Lời giải 
Giả sử phương trình mặt phẳng R có dạng: a x by cz d 00 a2 b 2 c 2 
Ta có R  P 5 a 2 b 5 c 0 (1)
 a 48 b c 2
 Theo giả thiết thì cos RQ , cos 450 2 
 9 abc2 2 2 2
Từ (1), (2) ta suy ra: 
 22 ac 
 7a 6 ac c 0 . 
 ca 7
Với ac , chọn a 1 b 0, c 1 R : x z 0. 
Với 7ac chọn a 1 b 20, c 7 R : x 20 y 7 z 0 . 
Vậy R :0 x z hoặc R : x 20 y 7 z 0 . 
 Ví DỤ 4 
 P: x y 2 z 0 M 2; 3;1 Q
 Cho mặt phẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng đi qua 
 M vuông góc với mặt phẳng P và tạo với Oyz một góc 450 . 
 Lời giải 
 2 2 2
Gọi nQ a;; b c là vecto pháp tuyến của Q với abc 0 . 
Mặt phẳng Q đi qua M 2; 3;1 nên ta có phương trình mặt phẳng Q có dạng: 
 ax 2 by 3 cz 1 0 axbyczabc 2 3 0 .
Vecto pháp tuyến của P là nP 1; 1; 2 ; Vecto pháp tuyến của Oyz là i 1;0;0 
 nn.0 
 PQ
 QP  
Theo giả thiết, ta có: ni. 
 0 Q 0
 Q ; Oyz 45 cos45
 ni.
 Q
 a b 20 c 
 a b2 c a b2 c
 a 1 2 2 2 . 
 abc 0 c 3 c 4 b 0
 abc2 2 2 2
+ Với c 0 ta có ab . Chọn: ab 1. Khi đó ta có Q : x y 1 0. 
+ Với 3cb 4 0 . Chọn bc 3, 4 suy ra a 5 . Khi đó ta có Q :5x 3 y 4 z 23 0. 
5 
Suy ra a 0, b 2 , c 3 S a b c 5 . 
 Ví DỤ 2 
 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm Hm;1;2 là hình chiếu vuông góc của gốc toạ 
 độ O lên mặt phẳng P . Tìm tọa độ điểm H sao cho số đo góc của mặt phẳng P và mặt phẳng 
 Q: x y 11 0 bằng 45 . 
 Lời giải 
Vì H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng P nên OH m; 1; 2 là vectơ 
pháp tuyến của mặt phẳng P . Mặt phẳng Q có vectơ pháp tuyến nQ 1;1;0 . 
Gọi góc giữa P và Q là góc . Ta có 
 OH. nQ m.1 1.1 2.0 1
cos 
 2 2 2 22 2
 OH. nQ m 1 2 . 1 1 0 2
 m 1 1
 m1 m2 5 m 2 H 2;1;2 . 
 25m2 2
 Ví DỤ 3 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình: ax by cz 10 với 
 c 0 đi qua 2 điểm A 0;1;0 , B 1;0;0 và tạo với Oyz một góc 60. Tính tổng S a b c ? 
 Lời giải 
 b 10
Mặt phẳng P đi qua hai điểm A , B nên ab 1. 
 a 10
Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến n a;; b c . Mặt Oyz có vec tơ pháp tuyến i 1; 0; 0 . 
Gọi là góc tọa bởi P và Oyz suy ra 60 . 
 ni. a 1
Ta có: cos a2 b 2 c 2 2 a (*). 
 ni. abc2 2 2 .1 2
Thay ab 1 vào phương trình (*) ta được: 2 cc2 2 2 . 
Khi đó abc 22 . 
 Ví DỤ 4 
 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt phẳng 
 1
 Q : x 3 y cz 2 0 . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng P và Q bằng . Tìm c ? 
 11
 Lời giải 
Ta có véc tơ pháp tuyến của P là nP 1;2; 2 , véc tơ pháp tuyến của Q là ncQ 1; 3; . 
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q ta có : 
7 
 n.. n n n11 h
Suy ra: cos SAC ; SBC 1 2 1 2 
 22
 n1. n 2 n 1 . n 2 22. ha 2
 2
 22h h22 a h a ma a m . 
 2
Loại 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng 
1. Phương pháp xác định góc lớn nhất, nhỏ nhất giữa hai mặt phẳng: 
 Ta dựạ vào đánh giá hình học về về góc hay công thức xác định góc của hai mặt phẳng tìm được 
góc lớn nhất, nhỏ nhất của hai mặt phẳng. 
2. Các ví dụ: 
 Ví DỤ 1 
 Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau đây đạt nhỏ nhất P1 : x 2 y 3 z 1 0 và 
 P2 : 2 x m 1 y 2 mz 5 0. 
 Lời giải 
+ Ta có hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là n1 1; 2;3 và n2 2; m 1;2 m . 
+ Xét trường hợp đặc biệt n1 1; 2;3 và n2 2; m 1;2 m cùng phương 
 2mm 1 2
 m 3. 
 1 2 3
 0
+ Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là 0 . Đây chính là góc nhỏ nhất của hai mặt phẳng. 
+ Vậy m 3. 
 Ví DỤ 2 
 Tìm để góc giữa hai mặt phẳng sau đây đạt lớn nhất nhất P1 : x 2 y z 1 0 và 
 P2 : 3 x m 1 y mz 4 0 . 
 Lời giải 
+ Ta có hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là n1 1; 2;1 và n2 3; m 1; m . 
+ Xét trường hợp đặc biệt n1 1; 2;1 và n2 3; m 1; m vuông góc 
 n12. n 0 3 2 m 1 m 0 5 m 0 m 5 . 
+ Vậy m 5. 
9