Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Đại số 12

GIẢI TÍCH 12. CHƯƠNG I 
BÀI 3. GTLN – GTNN 
 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa: Cho hàm số y f() x xác định trên miền D . 
 f(), x M  x D
 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: . 
 x00 D,() f x M
Kí hiệu: M max f ( x ) hoặc M max f ( x ). 
 xD D
 f(), x m  x D
 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu: . 
 x00 D,() f x m
Kí hiệu: m min f ( x ) hoặc m min f ( x ) 
 xD D
2. Định lý 
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn 
Giả sử hàm số liên tục trên đoạn ab; . Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
hàm f trên đoạn ta làm như sau: 
 Tìm các điểm x12; x ;...; xn thuộc ab; sao cho tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không 
xác định. 
 Tính f x12 ; f x ;...; f xn ; f a ; f b . 
 So sánh các giá trị tìm được. 
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn , số nhỏ nhất trong các 
giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm trên đoạn . 
* Nếu: 
 max f x f b 
 ab; 
+) y' 0,  x  a ; b 
 min f x f a 
 ab; 
 max f x f a 
 ab; 
+) y' 0,  x  a ; b 
 min f x f b 
 ab; 
Chú ý 
 1 
 x 0
b) ĐS: maxy 6 khi x 1và miny 2 khi . 
 1; 3 
 1; 3 x 2
 Câu 3 
 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . 
 Lời giải 
 x2 44 44 x2
Ta có f x x fx 1 . 
 xx xx22
 2 x 2
 x 40 
 3 x 2
Trên khoảng ;4 : f x 02 3 x . 
 2 x 4 3
 2 x 4
 2
 3 25
Ta có f ; f 2 4; f 4 5 . 
 26
 3
Do hàm số fx xác định và liên tục trên ;4 nên maxf x f 2 4 . 
 2 3
 x ;4
 2
 Câu 4 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . 
 Lời giải 
 2 x 1 ( tm )
Ta có: yx' 3 3; y '0 . 
 x 1 ( ktm )
y 01 ; y 11 ; y 23 . 
Suy ra miny 1. 
 0;2
 Câu 5 
 Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 
 . Tính . 
 Lời giải 
 xx2 22
Hàm số y xác định và liên tục trên 3;2 2 2 . 
 x 2 
 3 
Ta có . 
Do hàm số xác định và liên tục trên nên . 
minf x f 4 5. Hay Mm 4; 5 suy ra Mm 3 11. 
 3
 x ;4
 2
 Câu 8 
 Cho hàm số liên tục trên đoạn có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi lần lượt 
 là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Giá trị của bằng 
 bao nhiêu? 
 3 25
 f ; f 2 4; f 4 5
 26
 3
 fx ;4 maxf x f 2 4
 2 3
 x ;4
 2
 Lời giải 
Dựa vào đồ thị ta xác định được mM 3; 4. Ta có 2mM 3 6 12 18. 
 5 
 Câu 11 
 Cho hàm số liên tục trên đoạn có đồ thị như hình vẽ. Gọi , lần lượt là 
 giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên đoạn . Giá trị của là 
 Lời giải 
Nhìn vào đồ thị ta thấy: M 6 , m 4. 
Vậy giá trị 2Mm 3 2.6 3. 4 0. 
 Câu 12 
 Cho hàm số , gọi là GTNN của hàm số đã cho, đạt được 
 tại điểm . Tính . 
 Lời giải 
TXĐ:  2;5 . 
 xx 2 2 3
Ta có: y'= ( 2 x 5) . 
 x22 4 x 21 2 x 3 x 10
 xx 2 2 3
y'= 0 0
 x22 4 x 21 2 x 3 x 10
 (2x 4) x22 3 x 10 (2 x 3) x 4 x 21
 25 x 
 (2xx 4)(2 3) 0
 2 2 2 2
 (2x 4) ( x 3 x 10) (2 x 3) ( x 4 x 21)
 3
 x 2;  2;5 1
 2 x .
 3
 25 2xx 322 49 2
 1
Xét: y( 2) 3; y 2; y (5) 4 ⇒ miny 2
 3 0; 2 
 7 
 Câu 15 
 Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên lần lượt là 
 và . Tổng bằng? 
 Lời giải 
 2
 x x 2, x  0;1  3;4
Ta có: y 
 2
 x 7 x 4, x 1;3 
 2xx 1, 0;1  3;4 1
y ' , yx'0 . 
 2xx 7, 1;3 2
 17
y 0 2, y , y 4 14, y 1 2, y 3 8. 
 24
 7 1
Khi đó: my min khi x . 
 4 2
 My max 14 khi x 4 . 
 7 63
 Vậy: Mm 14 . 
 44
 Câu 16 
 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình dưới: 
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . 
 Lời giải 
 2
Đặt g( x ) f ( x ) 3 . Từ đồ thị đã cho ta có:  x0 0;1 để fx(0 ) 0 . 
 22
Và x 0;2 thì 3f ( x ) 1 0 f ( x ) 9 3 f ( x ) 3 12 3 g ( x ) 12 
   
 ⇒ maxgx ( ) 12 khi f( x ) 3 x 2  0;2 . 
 0; 2
Và mingx ( ) 3khi f( x ) 0 x x0  0;2. 
 0; 2
 9 
 Câu 2 
 Cho hàm số có bảng xét dấu biến thiên như sau: 
 Giá trị lớn nhất của hàm số bằng bao nhiêu? 
 Lời giải 
Đặt sinx 1 t , 2 t 0 . 
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f t trên đoạn 2;0 . 
Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y f t trên đoạn 2;0 là 3 . 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số fx sin 1 bằng 3. 
 Câu 3 
 Cho hàm số = ( ) xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là 
 giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số = (−푠푖푛 + 2) . Giá trị của − bằng 
 Lời giải 
Đặt tx sin 2 vì 1 sinxt 1 [1;3]. Xét hàm số y f t với t 1;3 , 
Từ đồ thị đã cho, ta có M max f ( t ) f (3) 3;min f ( t ) f (2) 2 M m 5.
 [1;3] [1;3] 
 11