Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
A. Các kiến thức thường sử dụng là:
 + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: 
 a b
 ab ; 
 2
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
 + Bất đẳng thức: ac bd 2 a2 b2 c2 d 2 (BĐT: Bunhiacopxki);
 a b
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
 c d
 + a b a b ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0.
 + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
 Nếu y a  f (x)2 thì min y = a khi f(x) = 0.
 Nếu y a  f (x)2 thì max y = a khi f(x) = 0.
 + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
 • Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
 a) A 4x2 4x 11
 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
 c) C x2 2x y2 4y 7
 Giải:
a) A 4x2 4x 11 4x2 4x 1 10 2x 1 2 10 10
 1
 Min A = 10 khi x .
 2
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
 = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36
 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
c) C x2 2x y2 4y 7
 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 2
 Min C = 2 khi x = 1; y = 2.
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
 Trang 1 Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
 2 2 2 2 2
 x y x y 1 2 2 x y 
 xy (x y ) 
 2 2 2 2 2 2 2 
 1
 M (x2 y2 )
 2
Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
 => 2(x2 + y2) ≥ 1
 1 1 1
Do đó x2 y2 và x2 y2 x y 
 2 2 2
 1 1 1 1 1
Ta có: M (x2 y2 ) và (x2 y2 ) M . 
 2 2 2 2 4
 1 1
Do đó M và dấu “=” xảy ra x y 
 4 2
 1 1
Vậy GTNN của M x y 
 4 2
Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: 
 (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
 Giải:
 (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
 [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
 x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
 x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0
 x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2
 (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0
 Trang 3 x y 2 2 x y 2
 - Xét x y 2
 x y 2
 Dấu “=” xảy ra x y 
 x y 2 2
 - Xét x y 2
 x y 2
 Dấu “=” xảy ra x y 
 x y 2 2
 2
 Vậy x + y đạt GTNN là 2 x y .
 2
Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27.
 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.
 Giải:
Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 0 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx 0 
 2 2 2 2 2 2 2
 (x + y + z) = x + y + z +2(xy + yz + zx) 3(x + y + z ) 81
 x + y + z 9 (1)
 Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2)
 Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36.
 Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.
 Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 
 A2 B (A 1)2 B 1 B 1
 P A 
 2 2 2 2
 B 1
 Vì B 27 -14 P -14
 2
 x y z 1
 Vậy min P = -14 khi 2 2 2
 x y z 27
 Hay x 13; y 13; z 1.
Bài toán 9: 
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 . Tìm giá trị của x và y 
để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.
 Giải:
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1
Đặt t = xy thì:
 Trang 5 Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
 - Với a = 4 ta có: 
 4x 3 -4x2 4x 1 (2x 1)2
 y 4 4 4
 x 1 x2 1 x2 1
 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 .
 2
 Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 .
 2
* Cách 2: 
 4x 3
Vì x2 + 1 0 nên: y yx2 4x y 3 0 (1)
 x2 1
y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm
 3
 - Nếu y = 0 thì (1) x 
 4
 - Nếu y 0 thì (1) có nghiệm ' 4 y(y 3) 0 (y 1)(y 4) 0
 y 1 0 y 1 0
 hoặc 
 y 4 0 y 4 0
 1 y 4
 Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
 Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 .
 2
 x2 x 1
Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: A .
 x2 x 1
 Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
 x2 x 1
 a (1)
 x2 x 1
 2
 2 2 1 1 3 1 3
Do x + x + 1 = x + 2. .x + x 0
 2 4 4 2 4
Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
 • Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
 • Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0 , tức 
 là:
 (a 1)2 4(a 1)(a 1) 0 (a 1 2a 2)(a 1 2a 2) 0
 1
 (3a 1)(a 3) 0 a 3(a 1)
 3
 Trang 7 Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:
 2m 3 1 m 2
 + và B = mn = 2.12 = 24
 n 3 9 n 12
 2m 3 1 m 3
 + và B = mn = 3.6 = 18
 n 3 3 n 6
 2m 3 9 m 6
 + và B = mn = 6.4 = 24
 n 3 1 n 4
 m 2 m 6
 Vậy GTLN của B = 24 khi hay 
 n 12 n 4
Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu 
 x2 y2
thức: A .
 x y
 Giải:
 x2 y2 x2 2xy y2 2xy (x y)2 2xy
Ta có thể viết: A 
 x y x y x y
 (x y)2 2xy 2 x y 2 x y
Do x > y và xy = 1 nên: A x y 
 x y x y 2 x y 2
Vì x > y x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: 
 x y 2 x y
 A 2. . 
 2 x y 2
 x y 2
Dấu “=” xảy ra (x y)2 4 (x y) 2 (Do x – y > 0)
 2 x y
 2
Từ đó: A 2 3
 2
 x y 2
Vậy GTNN của A là 3 
 xy 1
 x 1 2 x 1 2
 hay Thỏa điều kiện xy = 1
 y 1 2 y 1 2
 1
Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: y .
 x2 x 1
 Giải:
 1 1
 Ta có thể viết: y 2 2
 x x 1 1 3
 x 
 2 4
 2
 1 3 3 4 1
 Vì x . Do đó ta có: y . Dấu “=” xảy ra x .
 2 4 4 3 2
 4 1
 Vậy: GTLN của y tại x 
 3 2
 Trang 9 x y z
 a b c 
 2
 y z x z x y x y z
 a ;b ;c 
 2 2 2
 a b c y z x z x y x y z
Khi đó, VT 
 b c c a a b 2x 2y 2z
 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3
 1 1 1 
 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2
Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:
 a(a b c) b(a b c) c(a b c) 3
 (a b c)
 b c c a a b 2
 a2 b2 c2 a b c 33 abc 3 3
 E 
 b c c a a b 2 2 2 2
 3
 GTNN của E là khi a = b = c = 1.
 2
Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1 (*).
 2x 3y
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: a .
 2x y 2
 Giải:
 2x 3y
Từ a a(2x+y+z) = 2x+3y
 2x y 2
 2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0
 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)
Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] 
=> 4a2 (a 1)2 (a 3)2 (vì 4x2+y2 = 1)
Do đó ta có: 4a2 (a 1)2 (a 3)2 a2 2a 1 a2 6a 9
 2a2 8a 10 0 a2 4a 5 0
 a 5 0
 (a 1)(a 5) 0 (Vì a + 5 > a – 1) 1 a 5
 a 1 0
* Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2 y = 1
 Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0 (x; y) = (0;1)
* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)
 6x 5
 12x 8y 10 6x 4y 5 y 
 4
 Trang 11