Chuyên đề Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện K cho trước - Hình học 12

 HÌNH HỌC 12 
 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN K CHO TRƯỚC 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1) Tính= chất của điểm. 
 =
Cho hai điểm A xAAA;; y z và B xBBB;; y z . 
 I 
Ta có: OA xAAA;; y z 
 AB xBABABA x;; y y z z . 
 2 2 2
* Khoảng cách giữa hai điểm: OA xAAA y z 
 2 2 2
 AB xBABABA x y y z z . 
 xx 
 x AB
 I 2
 yyAB 
* Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là yI . 
 2
 zzAB 
 zI 
 2
 x kx
 x AB
 M 1 k
 yAB ky
* Điểm M chia đoạn theo tỉ số kk 1 MA kMB yM . 
 1 k
 zAB kz
 zM 
 1 k
2) Các điểm đặc biệt của tam giác. 
Cho tam giác ABC có ba đỉnh ; và C xCCC;; y z . 
 xxx 
 x ABC
 G 3
 yyyABC 
* Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là yG . 
 3
 zzzABC 
 zG 
 3
1 
DẠNG 3.1: TÌM TỌA ĐỘ TRỰC TÂM, TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP CỦA TAM 
GIÁC 
 Ví DỤ 1 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 0; 1;1 , B 2;0; 2 , 
 C 0;0; 4 . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác . 
 Lời giải 
Gọi H a;; b c . 
Ta có: AB 2;1; 3 , BC 2;0; 2 , AC 0;1; 5 . 
 AB, BC 2;10;2 n 1;5;1 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC . 
Mặt khác đi qua điểm A nên có phương trình là: 
 x 0 5 y 1 z 1 0 x 5 y z 4 0 . 
 AH a; b 1; c 1 , BH a 2; b ; c 2 . 
 là trực tâm của tam giác 
 80
 a 
 27
 AH.0 BC 2ac 2 1 0 2ac 2 2 
 5
 BH.0 AC bc 5 2 0 bc 5 10 b 
 27
 H ABC a 5 b c 4 0 a 54 b c 
 53
 c 
 27
 80 5 53
Vậy H ;; . 
 27 27 27
 Ví DỤ 2 
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có A 1; 1;1 , B 2;1; 2 , 
 C 0;0;1 .Gọi là trực tâm của tam giác . Tính giá trị biểu thức P a 3 b c . 
 Lời giải 
Ta có: AB 1;2; 3 , BC 2; 1;3 , AC 1;1;0 . 
 AB, BC 3;3;3 n 1;1;1 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . 
Mặt khác đi qua điểm nên có phương trình là: 
 x 1 y 1 z 1 0 x y z 10 . 
 AH a 1; b 1; c 1 , BH a 2; b 1; c 2 , CH a; b ; c 1 . 
3 
 2 1 1
 H ABC 1
 abc a 3
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH. BC 0 b c 0 b 6 . 
 2a c 0 c 6
 BH.0 AC 
Vậy A 3;0;0 . 
 Ví DỤ 5 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác có A 1;2; 1 , B 2;3;4 , C 3;5; 2 
. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác . 
 Lời giải 
 3 5 3 5
Gọi , K lần lượt là trung điểm của AB , BC . Ta có H ;; , K ;4;1 . 
 222 2
Mặt phẳng trung trực của đoạn đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là: 
n AB 1;1;5 . 
 3 5 3 23
Suy ra phương trình là: x y 50 z x y 50 z . 
 2 2 2 2
Mặt phẳng trung trực  của đoạn đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là: 
n  BC 1;2; 6 . 
 5 9
Suy ra phương trình là: x 2 y 4 6 z 1 0 x 2 y 6 z 0 . 
 2 2
Mặt phẳng ABC đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến n AB, BC 16;11;1 . 
Suy ra phương trình mặt phẳng là: 16 x 1 11 y 2 z 1 0 
 16x 11 y z 5 0 . 
Ta có tập hợp các điểm cách đều ba điểm , B , C nằm trên giao tuyến của và . 
 23
 x y 5 z 0 5
 2 x 
 2
 9 
Mà I ABC nên tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: x 2 y 6 z 0 y 4 
 2
 z 1
 16x 11 y z 5 0
 5
Vậy I ;4;1 . 
 2
 Ví DỤ 6 
5 
Gọi n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC n AB, AC 17;20;19 . 
Suy ra ABC : 17 x 20 y 19 z 30 0. 
 IM AB
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IN AC 
 I ABC
 97 
 a . 1 2 b .2 c . 3 0
 22a 2 b 3 c 11 a 1
 1 37 1
 1 a . 8 b . 3 3 c . 4 0 8a 3 b 4 c b . 
 2 2 2
 17a 20 b 19 c 30 0 17a 20 b 19 c 30 c 3
 1
Vậy a 2 b c 1 2. 3 3. 
 2
Cách 2: 
Ta có AB 1;2; 3 và BC 7; 5; 1 AB . BC 0 ABC vuông tại B . 
Vì là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nên là trung điểm của AC . 
 11 
Vậy I 1; ;3 a 2 b c 1 2. 3 3. 
 22 
 Ví DỤ 8 
Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 8 0 và mặt cầu 
 S : x2 y 2 z 2 6 x 4 y 2 z 2 0. Gọi I a,, b c là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu 
 S với mặt phẳng P . Tính S a b c . 
 Lời giải 
Mặt phẳng có một véc tơ pháp tuyến là n 2;2; 1 . 
Mặt cầu x 3 2 y 2 2 z 1 2 16 có tâm 
K 3; 2;1 và bán kính R 4 . 
 2.3 2 2 1 8
Ta có d K, P 3 R nên mặt phẳng cắt mặt cầu . 
 222 2 1 2
Gọi là tâm đường tròn giao tuyến khi đó là hình chiếu vuông góc của K trên . 
7 
 Lời giải 
 P có VTPT n 6;3; 2 . 
 H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng AH cùng phương với n AH k. n 
 xkH 62
 ykH 35 . 
 zkH 21 
Mặt khác HP nên tọa độ điểm là là nghiệm của phương trình 
6x 3 y 2 z 24 0 662335221240 k k k k 1. Vậy H 4;2;3 . 
 Ví DỤ 2 
Trong không gian Oxyz cho A 1; 1;0 , B 0;1;0 , M a;; b c với b 0 thuộc mặt phẳng 
 P: x y z 2 0 sao cho AM 2 và mặt phẳng ABM vuông góc với mặt phẳng P .
Tính T 24 a b c. 
 Lời giải 
 AB 1;2;0 
Ta có Suy ra véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ABM :
 AM a 1;b 1;c
n ABM AB, AM 2 c ; c ; 2 a b 1 
 M a;; b c P abc 2 0 1 
 22
Ta có hệ phương trình: AM 2 a 1 b 1 c2 2 2 
 nnABM.0 P 2abc 1 0 3
 b c 11 c b c 1
Từ 1 và 3 suy ra a 1. Do đó: 2 2 2 b 0 
 b c 2 b 1 2 b 4 b 0 b 2
Vậy M 1; 2;1 nên T 2 a 4 b c 7. 
 Ví DỤ 3 
Trong không gian Oxyz cho hai điểm AB 1; 1;0 , 2;0;3 và mặt phẳng 
 P : x 2 y 2 z 4 0. Tìm M thuộc P sao cho AM 61 và MB vuông góc với AB. 
 Lời giải 
Gọi M x;; y z . 
M P x 2 y 2z 4 0 (1) 
9