Chuyên đề Tìm cực trị của hàm số - Đại số 12

 Giải tích lớp 12 | 
 BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
 I LÝ THUYẾT. 
1. Định nghĩa 
Cho hàm số y f() x xác định và liên tục trên khoảng (;)ab (có thể a là ; b là ) và điểm 
x0 (;) a b . 
+) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x (;) x00 h x h và xx 0 thì ta nói hàm 
số fx() đạt cực đại tại x0 . 
+) Nếu tồn tại số sao cho f x f x0 với mọi và thì ta nói hàm 
số đạt cực tiểu tại . 
* Chú ý 
+) Nếu hàm số y f() x đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực 
tiểu) của hàm số; fx()0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là 
 ffCÑ ()CT , còn điểm M( x00 ; f ( x )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. 
+) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) 
còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 
* Định lí 1: Giả sử hàm số y f() x đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại thì 
 fx (0 ) 0 . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 
* Định lí 2: Giả sử hàm số liên tục trên K (;) x00 h x h và có đạo hàm trên K hoặc 
trên Kx\{}0 , với h 0 . 
+) Nếu fx'0 trên khoảng (;)x00 h x và fx'( ) 0 trên (;)x00 x h thì x0 là một điểm cực đại 
của hàm số fx(). 
+) Nếu fx 0 trên khoảng và fx ( ) 0 trên thì là một điểm cực tiểu 
của hàm số . 
 Minh họa bằng bảng biến thiến 
 1 | Giải tích lớp 12 | 
 HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 II 
 = 
 DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BIỂU THỨC. 
 Câu 1 
 Mức độ 1] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định: D . Ta có: y 3 x2 6 x 9 ; 
 2 x 3
y 0 3 x 6 x 9 0 . 
 x 1
Cách 1: Bảng biến thiên 
Vậy hàm số đạt cực đại tại x 1, yCĐ 6 và đạt cực tiểu tại x 3, yCT 26. 
Cách 2: y" 6x 6 ; 
y" 1 12 0 Hàm số đạt cực đại tại , 
y" 3 12 0 Hàm số đạt cực tiểu tại , . 
 Câu 2
 [Mức độ 1] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định: . 
 2
Ta có: y x2 4 x 4 x 2 0,  x ; 
Vậy hàm số đã cho không có cực trị. 
 Câu 3 
 [Mức độ 1] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
 3 | Giải tích lớp 12 | 
Vậy hàm số đạt cực đại tại x 2 , yCĐ 1 và đạt cực tiểu tại x 0 , yCT 5 . 
Cách 2: yx" 122 8 ; 
 D 
y" 2 16 0 Hàm số đạt cực đại tại , . 
y" 0 8 0 Hàm số đạt cực tiểu tại , . 
 Câu 6
 [Mức độ 1] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định: . 
Ta có: y' 4 x3 8 x ; 
y '0 4xx3 8 0 xy 01 . 
Cách 1: Bảng biến thiên 
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x 0 , yCT 1. 
Cách 2: yx" 122 8 ; 
 Hàm số đạt cực tiểu tại , . 
 Câu 7 
 [Mức độ 2] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định: D . 
 5 | Giải tích lớp 12 | 
 8
 x 
 3
 2 
Ta có y 15 1 x 3 x 8 2 x ; y 0 x 1 . 
 x 2
Ta có bảng biến thiên 
 8
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x , y 0 và hàm số đạt cực tiểu tại x 2, 
 3 CĐ
yCT 4 . 
 Câu 10 
 Mức độ 2] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
 1
 x 
 3
 2 
Tập xác định: .Ta có y 15 x 2 3 x 1 x 1 ; x 1 . 
 x 2
Ta có bảng biến thiên 
 1
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x , y 0 và hàm số đạt cực tiểu tại x 1, 
 3 CĐ
 . 
 D 
 7 | Giải tích lớp 12 | 
Từ bảng biến thiên ta có: hàm số đạt cực đại tại x 0 , và hàm số đạt cực tiểu tại x 4, 
yCT 7 . 
 y 0
Cách 2: 
 8
Ta lại có y . 
 x 2 3
Vì y 0 1 0 nên hàm số đạt cực đại tại , . 
 yCĐ 1
Vì y 4 1 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại , . 
 Câu 14 
 [Mức độ 2] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định: D \1 . 
 1
 x 
 1 2
Ta có y 4 ; , y không xác định khi x 1. 
 x 1 2 3
 x 
 2
Cách 1: 
Bảng biến thiên của hàm số: 
 1 3
Vậy hàm số đạt cực đại tại x , y 0 và đạt cực tiểu tại x , y 8 . 
 2 CĐ 2 CT
Cách 2: 
 2
Ta lại có y . 
 x 1 3
 1
Vì y 16 0 nên hàm số đạt cực đại tại , . 
 2
 3
Vì y 16 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại , . 
 2
 9 | Giải tích lớp 12 | 
 y 0 2 x 2 0 x 1. 
Ta có bảng biến thiên sau: 
 1
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại xy 1; . 
 CT CT 3
 Câu 18 
 [Mức độ 2] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định: . 
 xx2 10 4
Ta có y 2 . 
 xx2 1 
 x 5 21
 y 0 x2 10 x 4 0 . 
 x 5 21
Ta có bảng biến thiên sau: 
 9 2 21
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại xy 5 21; . 
 CT CT 3
 9 2 21
Hàm số đạt cực đại tại xy 5 21; . 
 CCĐĐ3
 Câu 19 
 [Mức độ 2] Tìm các cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
 11 | Giải tích lớp 12 | 
 11 32
Hàm số đạt cực đại tại xy ; . 
 CCĐĐ2 135
 Câu 21 
 [Mức độ 2] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định: D 1; . 
 58x
Ta có y . 
 2xx 1 2 4
 8
 y 0 5 x 8 0 x . 
 5
Ta có bảng biến thiên sau: 
 8 25 15
Vậy hàm số đạt cực đại tại xy ; . 
 CCĐĐ5 5832
 Câu 22 
 [Mứcđộ 2] Tìm cực trị của hàm số . 
 Lời giải 
+) Tập xác định: D ;0  4; . 
 2 x 2
 2x 4 x 2 x 1 22
 xx2 4 2 x 4 x 2 x 5 x 2 32x
+) y . 
 2 33
 xx 4 x22 44 x x x 
 2
+) y 0 3 x 2 0 x . 
 3
+) Bảng biến thiên 
 13 |