Chuyên đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các bài toán liên quan - Đại số Lớp 12

 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 Cho hàm số y f x , cĩ đồ thị (C). 
 1. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 x 0;() y 0 C cĩ dạng: y y0 f x 0 x x 0 . 
 Trong đĩ: 
  Điểm M0 x 0;() y 0 C được gọi là tiếp điểm. ( với y00 f x ). 
  k f' x0 là hệ số gĩc của tiếp tuyến. 
  Lưu ý: 
  Tiếp tuyến của (C) hồn tồn xác định nếu biết hệ số gĩc của tiếp tuyến hoặc hồnh 
 độ tiếp điểm. 
  Đường thẳng bất kỳ đi qua M0 x 0; y 0 cĩ hệ số gĩc k , cĩ phương trình 
 y y00 k x x . 
  Cho hai đường thẳng 1: y k 1 x m 1 và 2: y k 2 x m 2 . 
 Lúc đĩ: 1 2 kk 1 2 và mm12 ; 1  2 kk 1 . 2 1 
 2. Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số y f x , ( C ) và y g x , ( C '). 
 C và C tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình 
 f x g x 
 cĩ nghiệm. 
 //
 f x g x 
 Đặc biệt: Đường thẳng y kx m là tiếp tuyến với (C ) : y f x khi chỉ khi hệ 
 f() x kx m
 cĩ nghiệm. Nghiệm của hệ chính là hồnh độ tiếp điểm 
 /
 f() x k
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 
 Bài tốn 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp. 
 Cho hàm số y f x , gọi đồ thị của hàm số là C . 
 Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x tại M xoo;. y 
  Phương pháp 
 o Bước 1. Tính y f x suy ra hệ số gĩc của phương trình tiếp tuyến là k y x0 . 
 o Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M x00; y cĩ dạng 
 /
 y y0 f x 0 x x 0 . 
  Chú ý: Hướng dẫn 
Giải Tự Luận 
 2
Ta cĩ y 6 x 12 x . Với x00 3 y 5 M 3; 5 và hệ số gĩc ky 3 18. Vậy 
phương trình tiếp tuyến tại M là y 18 x 3 5 18 x 49 . Chọn đáp án A. 
 Sử dụng máy tính 
 d
Nhập 2XX32 6 5 để tính hệ số gĩc a 
 dx x 3
Sau đĩ tính b bằng cách : b y ax
 oo 
Thao tác: 
qyz2Q)qd+6Q)dp5$3= 
 b y ax 5 ( 18.3) 49 d : y 18 x 49
 00 
 1
Ví dụ 3. Cho hàm số C :2 y x42 x . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm cĩ 
 4
hồnh độ x 0, biết yx 1 là 
 0 0 
 5 1
A. yx 3 2. B. yx 3 1. C. yx 3. D. yx 3. 
 4 4
 Hướng dẫn 
Giải Tự Luận 
 3 2
 Ta cĩ y x4 x , yx 3 4 . Mà 
 2 2
 3x0 4 1 x0 1 x0 1 (vì x0 0 ). 
 7
Vậy y , suy ra ky 13 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại là 
 0 4
 75
 d: y 3 x 1 y 3 x  Chọn đáp án C. 
 44
 Sử dụng máy tính: 
 d 1 42
Nhập XX 2 để tính hệ số gĩc a 
 dx 4 x 1
Sau đĩ tính b bằng cách : 
Bấm máy tương tự hai bài trên Hướng dẫn 
 3
 Ta cĩ y ' , :3xy 2 0 yx 32 . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 
 x 2 2
 3 2 x 2 1 x 1 y 1
 nên kx 3 2 1 00 o 
 2 0 x 2 1 x 3 y 5
 x0 2 00o
 Vậy phương trình tiếp tuyến là d12: y 3 x 2; d : y 3 x 14 . Chọn đáp án B. 
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x biết tiếp tuyến đi 
qua điểm A xAA;. y 
 Phương pháp 
 o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A xAA; y hệ số gĩc k cĩ dạng 
 d: y k x xAA y () 
 o Bước 2: d là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm, nghiệm của hệ 
 chính là hồnh độ x0.của tiếp điểm. (lại quay về bài tốn viết phương trình tiếp 
 tuyến tại một điểm cĩ thể sử dụng máy tính casio) 
 f x k x xAA y
 . 
 f x k
 o Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình , ta được tiếp 
 tuyến cần tìm. 
 Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính tốn tương đối 
 mất thời gian. Ta cĩ thể sử dụng máy tính thử các đáp án thơng qua việc giải phuwogn 
 trình hồnh độ giao điểm chung giữa đồ thị và tiếp tuyến. Thơng thường máy tính cho 
 số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đĩ. 
 Ví dụ minh họa 
 Ví dụ. Cho hàm số C: y 4 x3 3 x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp 
 tuyến đi qua điểm A 1;2 . 
 yx 97 yx 42 yx 7 yx 5
 A. . B. . C. . D. . 
 y 2 yx 1 yx 35 yx 22
 Hướng dẫn 
 Giải Tự Luận 
 Ta cĩ yx' 122 3 . 
 + Tiếp tuyến của đi qua A 1;2 với hệ số gĩc k cĩ phương trình là d: y k x 1 2 . 
 + d là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm: 
 1 2
 C : y f x 2 x , x 0 và C2 : y g x 8 x , 2 2 x 2 2 . 
 1 2 
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số là: 
 1 1 1 1
A. yx 5. B. yx 1. C. yx 2 D. yx 3.
 2 2 2 2 
 Hướng dẫn 
 Giải Tự Luận 
 Gọi d là phương trình tiếp tuyến chung của CC12 , và xa0 ( a 0 và 2 2 a 2 2
 ) là hồnh độ tiếp điểm của d với C1 thì phương trình d là 
 1
 y f x x a y x a 2 a . 
 0 a
 1 2 x
 81 xa 
 2 a
 d tiếp xúc với C2 khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm: 
 x 1 
 2 
 28 x2 a
 Thay 2 vào 1 ta được phương trình hồnh độ tiếp điểm của d và C2 . 
 2 2 x 2 2
 22 
 12 xx 2 8 
 80 xx 
 2 2 x
 28 x 2 3 2
 x 8 x x 4 8 x 
 2 2 x 2 2
 xx 0 2. 
 2
 xx 2 8 0
 11
 Thay x 2 vào 2 ta được ax 4 4. Vậy phương trình tiếp tuyến chung 
 a 2 0
 cần tìm là . Chọn đáp án C. 
 Sử Dụng Máy Tính Casio 
 Thử đáp án A 
 1
 Giải phương trình C : y f x 2 x x 5, x 0 
 1 2
 2sQ)$paQ)R2$p5qr1= 
 Vậy phương trình này vơ nghiệm → Loại A 
 Vậy là phương trình cĩ nghiệm duy nhất. Giờ thử với phương trình 
 1 x
 C : y g x 8 x2 2, 2 2 x 2 2 . 
 2 22 
 as8pQ)dR2$paQ)R2$p2qr0= 
 Chia cho x +2 tìm nghiệm cịn lại 
 $(!!)P(Q)+2 
 qr= 
 Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất→ Lựa chọn đáp án C 
Bài tốn 2: Một số cơng thức nhanh và tính chất cần biết. 
 ax b d
 Bài tốn 2.1: Cho hàm số y c 0, x cĩ đồ thị C . Phương 
 cx d c
 trình tiếp tuyến tại M thuộc và I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Ta 
 luơn cĩ: 
 Nếu IM thì chỉ tồn tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị đối 
 ad bc d
 xứng qua và xM . Cách nhớ: cxM d ad bc . 
 c
 mẫu số của hàm số tử số của đạo hàm
 (I). luơn là trung điểm của AB (với AB, là giao điểm của với 2 tiệm 
 cận). 
 bc ad
 (II). Diện tích tam giác IAB khơng đổi với mọi điểm và S 2 . 
 IAB c2
 (III). Nếu EF, thuộc 2 nhánh của đồ thị và EF, đối xứng qua thì tiếp