Chuyên đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các bài toán liên quan - Đại số 12

 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 Cho hàm số y f x , có đồ thị (C). 
 1. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 x 0;() y 0 C có dạng: y y0 f x 0 x x 0 . 
 Trong đó: 
  Điểm được gọi là tiếp điểm. ( với y00 f x ). 
  k f' x0 là hệ số góc của tiếp tuyến. 
 Lưu ý: 
  Tiếp tuyến của (C) hoàn toàn xác định nếu biết hệ số góc của tiếp tuyến hoặc hoành độ tiếp 
 điểm. 
  Đường thẳng bất kỳ đi qua M0 x 0; y 0 có hệ số góc k , có phương trình 
 y y00 k x x . 
  Cho hai đường thẳng 1: y k 1 x m 1 và 2: y k 2 x m 2 . 
 Lúc đó: 1 2 kk 1 2 và mm12 ; 1  2 kk 1 . 2 1 
 2. Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số y f x , ( C ) và y g x , ( C '). 
 C và C tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình 
 f x g x 
 có nghiệm. 
 //
 f x g x 
 Đặc biệt: Đường thẳng y kx m là tiếp tuyến với (C ) : y f x khi chỉ khi hệ 
 f() x kx m
 / có nghiệm. Nghiệm của hệ chính là hoành độ tiếp điểm 
 f() x k
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 
 Bài toán 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp. 
 Cho hàm số , gọi đồ thị của hàm số là C . 
 Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x tại M xoo;. y 
  Phương pháp 
 Bước 1. Tính y f x suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k y x0 . 
 Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M x00; y có dạng 
 /
 y y0 f x 0 x x 0 . 
Ví dụ 2. Cho hàm số y 2 x32 6 x 5 . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M thuộc 
và có hoành độ bằng 3. 
A. yx 18 49. B. yx 18 49. C. yx 18 49. D. yx 18 49. 
 Hướng dẫn 
Giải Tự Luận 
 2
Ta có y 6 x 12 x . Với x00 3 y 5 M 3; 5 và hệ số góc ky 3 18 . Vậy phương 
trình tiếp tuyến tại là y 18 x 3 5 18 x 49 . Chọn đáp án A. 
 Sử dụng máy tính 
 d
Nhập 2XX32 6 5 để tính hệ số góc a 
 dx x 3
Sau đó tính b bằng cách : b y ax
 oo 
Thao tác: 
qyz2Q)qd+6Q)dp5$3= 
 b y ax 5 ( 18.3) 49 d : y 18 x 49
 00 
 1
Ví dụ 3. Cho hàm số C :2 y x42 x . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành 
 4
độ x0 0, biết yx 0 1 là 
 5 1
A. yx 3 2. B. yx 3 1. C. yx 3. D. yx 3. 
 4 4
 Hướng dẫn 
Giải Tự Luận 
 3 2
 Ta có y x4 x , yx 3 4 . Mà 
 2 2
 3x0 4 1 x0 1 x0 1 (vì x0 0 ). 
 + Với xy00 24 ta có tiếp điểm M 2;4 . 
 Phương trình tiếp tuyến tại M là y 9 x 2 4 y 9 x 14 . 
 + Với xy00 20 ta có tiếp điểm N 2;0 . 
 Phương trình tiếp tuyến tại N là y 9 x 2 0 y 9 x 18. 
 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là yx 9 14 và yx 9 18 . Chọn đáp án A. 
 21x 
 Ví dụ 2. Cho hàm số Cy :  Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song 
 x 2 
 song với đường thẳng có phương trình :3xy 2 0 . 
 A. yx 3 2. B. yx 3 14 C. yx 3 5. D. yx 3 8. 
 Hướng dẫn 
 3
 Ta có y' , yx 32 . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng nên 
 x 2 2
 3 2 x 2 1 x 1 y 1
 kx 3 2 1 00 o 
 2 0 x 2 1 x 3 y 5
 x0 2 00o
 Vậy phương trình tiếp tuyến là d12: y 3 x 2; d : y 3 x 14 . Chọn đáp án B. 
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x biết tiếp tuyến đi qua 
điểm A xAA;. y 
 Phương pháp 
 Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A xAA; y hệ số góc k có dạng 
 d: y k x xAA y () 
 Bước 2: d là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm, nghiệm của hệ chính là 
 hoành độ x0.của tiếp điểm. (lại quay về bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm 
 có thể sử dụng máy tính casio) 
 f x k x xAA y
 . 
 f x k
 Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra và thế vào phương trình , ta được tiếp tuyến 
 cần tìm. 
 Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính toán tương đối mất thời 
 gian. Ta có thể sử dụng máy tính thử các đáp án thông qua việc giải phuwogn trình hoành độ giao 
 điểm chung giữa đồ thị và tiếp tuyến. Thông thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc 
 của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đó. 
 Ví dụ minh họa 
 Bước 1. Gọi d tiếp tuyến chung của CC12 , và x0 là hoành độ tiếp điểm của 
 và C1 thì phương trình có dạng y f x0 . x x 0 f x 0 *** 
 Bước 2. Dùng điều kiện tiếp xúc của và C2 , tìm được . 
 Bước 3. Thế x0 vào ta được tiếp tuyến cần tìm. 
 Sử dụng máy tính casio 
 Các em xét sự tương giao của đồ thị và tiếp tuyến, dùng tính năng SHIFT SOLVE để xem phương 
 trình có mấy nghiệm. Nếu phương trình có số nhiệm nhỏ hơn số mũ cao nhất trong phương 
 trình một đơn vị hoặc nghiệm duy nhất thì đó là tiếp tuyến. 
 Ví dụ minh họa 
 Ví dụ. Cho hai hàm số: 
 1
 C : y f x 2 x , x 0 và C : y g x 8 x2 , 2 2 x 2 2 . 
 1 2 2 
 Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số là: 
 1 1 1 1
 A. yx 5. B. yx 1. C. yx 2 D. yx 3.
 2 2 2 2 
 Hướng dẫn 
 Giải Tự Luận 
 Gọi là phương trình tiếp tuyến chung của CC12 , và xa0 ( a 0 và 2 2 a 2 2 ) là 
 hoành độ tiếp điểm của với C1 thì phương trình là 
 1
 y f x x a y x a 2 a . 
 0 a
 1 2 x
 81 xa 
 2 a
 tiếp xúc với C2 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
 x 1 
 2 
 28 x2 a
 Thay 2 vào 1 ta được phương trình hoành độ tiếp điểm của và C2 . 
 2 2 x 2 2
 1xx22 2 8 
 80 xx2 
 2 2 x
 28 x 2 3 2
 x 8 x x 4 8 x 
 1
Vậy phương trình C : y f x 2 x x 1, x 0 này có hai nghiệm (bậc cao nhất của 
 1 2
phương trình khi các em bình phương hai vế để thử căn là 2) nên đáp án B không phải là tiếp 
tuyến. 
Giờ thử đáp án C 
 1
 C : y f x 2 x x 2, x 0 
 1 2
2sQ)$paQ)R2$p2qr1= 
Chia cho x – 4 dể tìm thêm nghiệm 
$(!!)P(Q)p4) 
qr= 
Vậy là phương trình có nghiệm duy nhất. Giờ thử với phương trình 
 1 x
 C : y g x 8 x2 2, 2 2 x 2 2 . 
 2 22 
as8pQ)dR2$paQ)R2$p2qr0= 
Chia cho x +2 tìm nghiệm còn lại 
$(!!)P(Q)+2