Chuyên đề Tích phân hàm ẩn hàm hợp (Vận dụng) - Toán 12

 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN, HÀM HỢP
 I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN
 1. Định nghĩa tích phân
 1.1. Định nghĩa
 Cho hàm số y f x thỏa:
 + Liên tục trên đoạn a;b .
 + F x là nguyên hàm của f x trên đoạn a;b .
 Lúc đó hiệu số F b F a được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu 
 b
 f x dx F b F a 
 a
 Chú ý:
 + a, b được gọi là 2 cận của tích phân.
 b b
 + Tích phân không phụ thuộc và biến số, tức là f x dx f t dt F b F a .
 a a
 1.2. Tính chất của tích phân:
 b c b
 + f x dx f x dx f x dx, a c b .
 a a c
 b b
 + kf x dx k f x dx, với k là hằng số khác 0.
 a a
 b b b
 + f x g x dx f x dx g x dx .
 a a a
 1.3. Các phương pháp tính tích phân:
 - Sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
 - Sử dụng phương pháp đổi biến số.
 - Sử dụng phương pháp tính phân từng phần
 4. Một số kết quả đặc biệt
 4.1. Tích phân của hàm chẵn, lẻ
 a
 ￿ Nếu hàm số f x liên tục và lẻ trên  a;a thì f x .dx 0.
 a
 a a
 f x dx 2 f x dx
 a 0
 ￿ Nếu hàm số f x liên tục và chẵn trên  a;a thì .
 a f x a
 dx f x dx
 x 
 a b 1 0
4.2. Tích phân của hàm số liên tục
 b b
 ￿ Nếu hàm số f x liên tục trên a;b thì f x dx f a b x dx .
 a a
 ￿ Nếu hàm số f x liên tục trên 0;1 thì
 2 2
 + f sin x dx f cos x dx .
 0 0
 a a 
 + xf sin x dx f sin x dx và x. f sin x dx f sin x dx .
 a 2 a 0 2 0 2 1 3 1 3
 g 2x 1 dx g z dz g x dx 1.
 1 2 1 2 1
 3 2
 Vậy f 4 x dx +2 g 2x 1 dx = 6.
 1 1
Câu 3. Cho f (x) là hàm số liên tục trên tập xác đinh ¡ + và thỏa mãn f (x2 + 3x + 1)= x + 2 .
 5
Tính I = ò f (x)dx
 1
 37 527 61 464
 A. . B. . C. . D. .
 6 3 6 3
 Lời giải
 f (x2 + 3x + 1)= x + 2
 Û (2x + 3) f (x2 + 3x + 1)= (2x + 3)(x + 2)
 1 1
 61
 Û ò(2x + 3) f (x2 + 3x + 1)dx = ò(2x + 3)(x + 2)dx =
 0 0 6
 Đặt t = x2 + 3x + 1Þ dt = (2x + 3)dx
 x 0 1
 t 1 5
 5
 61
 Suy ra ò f (t)dt = .
 1 6
 2 16 f x 
Câu 4. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn cot x. f sin2 x dx dx 1. 
 1 x
 4
 1 f 4x 
 Tính tích phân dx .
 1 x
 8
 3 5
 A. I 3 . B. I . C. I 2 . D. I .
 2 2
 Lời giải
 2 16 f x 
 Đặt I cot x. f sin2 x dx 1, I dx 1.
 1 2 
 1 x
 4
 Đặt t sin2 x dt 2sin x.cos xdx 2sin2 x.cot xdx 2t.cot xdx .
 x
 4 2
 1
 t 1
 2
 1 1
 2 1 1 4 4
 2 1 1 f t 1 f 4x 1 f 4x 
 I cot x. f sin x dx f t . dt dt d 4x dx .
 1 
 1 2t 2 1 t 2 1 4x 2 1 x
 4 2 2 8 8
 1
 4 f 4x 
 Suy ra dx 2I 2
 1
 1 x
 8 1
Với x 1 t 5; x t 0.
 4
 1
 4 0 1 1 5 1 5
I f (1 4x)dx f (t)( dt) f (t)dt f (x)dx 1.
 1 5 4 4 0 4 0
 1
+) Xét J f (4x 1)dx.
 1
 4
Đặt t 4x 1 dt 4dx;
 1
Với x 1 t 3; x t 0.
 4
 1 3 1 1 3 1 3
J f (4x 1)dx f (t)( dt) f (t)dt f (x)dx 2.
 1 0 4 4 0 4 0
 4
 1
Vậy f ( 4x 1)dx 3.
 1
 f (2 x 1) ln x
Câu 7. Cho hàm số y f (x) liên tục trên 1;4 và thỏa mãn f (x) . Tính 
 x x
 4
tích phân I f (x)dx .
 3
A. I 3 2ln2 2 . B. I 2ln2 2 . C. I ln2 2 . D. I 2ln 2 .
 Lời giải
 4 4 f (2 x 1) ln x 4 f (2 x 1) 4 ln x
Ta có: f (x) dx dx dx dx A B .
 1 1 x x 1 x 1 x
 4
 2 2 2
 4 ln x 4 ln x ln 4 ln1 
Xét B dx ln x d(ln x) 2ln2 2 .
 1 x 1 2 2 2
 1
 4 f (2 x 1)
Xét A dx .
 1 x
 1 4 f (2 x 1) 3 3
Đặt t 2 x 1 dt dx . Khi đó A dx f (t) dt f (x) dx
 x 1 x 1 1
 4 3 4 3
 2 2 2
Vậy f (x) dx f (x) dx 2ln 2 f (x) dx f (x) dx 2ln 2 I 2ln 2 .
 1 1 1 1
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên khoảng 0; và thỏa mãn 
 f x 2x 1 17
 f x2 1 .ln x 1 với mọi x 0; . Biết f x dx a ln 5 2ln b c 
 4x x 2x 1
với a,b,c ¤ . Giá trị a b 2c bằng?
 29 19
A. 7 . B. . C. 5 . D. .
 2 2
 Lời giải
 f x 2x 1
Từ giả thiết: f x2 1 .ln x 1 
 4x x 2x 1
Câu 9. (Đề tham khảo 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 
 0
 1
2 f 1 f 0 2 . Tính f x dx .
 0
 A. I 12 B. I 8 C. I 1 D. I 8
 Lời giải
 1
 u x 1 du dx 1
 Đặt . Khi đó I x 1 f x f x dx
 0 
 dv f x dx v f x 0
 1 1
 Suy ra 10 2 f 1 f 0 f x dx f x dx 10 2 8
 0 0
 1
 Vậy f x dx 8.
 0
 2 4 x 
Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f 2 16, f x dx 4 . Tính I xf dx 
 0 0 2 
 A. I 12 .B. I 112. C. I 144. D. I 28
 Lời giải
 x x 
Đặt u x du dx , dv f dx v 2 f 
 2 2 
 4
 4 x x 4 x 4 x 4 x 
I xf dx 2xf 2 f dx 8 f 2 2 f dx 128 2 f dx 
 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 
 4 x 
Tính I f dx 
 1 
 0 2 
 x 2 2
Đặt t dx 2dt , khi đó I 2 f t dt 2 f x dx 8 
 1 
 2 0 0
Vậy I 128 16 112 .
Câu 11.(HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn 
 2 1
f (2) 16, f (x)dx 4 . Tính I xf (2x)dx .
 0 0
 A. I 20 B. I 7 C. I 12 D. I 13
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có: I xf (2x)dx xf 2x f 2x dx f (2) f 2x d 2x 
 0 2 0 0 2 2 4 0
 1 1 2 1 1
I f (2) f (x)dx .16 .4 7 .
 2 4 0 2 4
Câu 12. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f (0) 3 và 
 2
f (x) f (2 x) x2 2x 2,x R . Tích phân xf (x)dx bằng 
 0
 4 2 5 10
A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 3
 Lời giải
Thay x 0 vào biểu thức ta được:
 f (0) f (2 0) 2 f (0) f (2) 2 f (2) 2 f (0) 2 3 1.