Chuyên đề Tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch - Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH 
Bài 1: Tìm 1 số có ba chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với ba số 1,2,3 
HD: 
 Gọi 3 chữ số của số cần tìm là : a,b,c, 
 a b c a++ b c
 Theo bài ra ta có : = = = 
 1 2 3 6
 do đó: a+b+c chia hết cho 6, mặt khác số đó chia hết cho 18 nên số đó chia hết cho 9 
 => abc++ 9 mà 0 abc + + 27 
 như vậy a+b+c=18 => a=3, b=6, c=9 
 Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị là 6: 396 hoặc 936 
Bài 2: Một vật chuyển động trên bốn cạnh của 1 hình vuông, trên hai cạnh đầu, vật chuyển động với vận 
tốc 6m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s và trên cạnh thứ 4 với vận tốc 2m/s. Hỏi độ dài của cạnh hình 
vuông biết rằng tổng số thời gian vật chuyển động trên 4 cạnh là 130 giây? 
HD: 
 Gọi x,y,z,t lần lượt là thời gian để vật chuyển động trên 4 cạnh của hình vuông, 
 => x+ y + z + t =130 và 6x= 6 y = 4 z = 2 t (= độ dài cạnh hình vuông) 
Bài 3: Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông, Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 
5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s trên cạnh thứ 4 với vận tốc 3m/s, Hỏi độ dài cạnh hình vuông, 
biết tổng thời gian vật chuyển động trên cả 4 cạnh là 59s 
HD: 
 Cùng một đoạn đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 
 Gọi x,y,z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s; 4m/s; 3m/s 
 5x 4 y 3 z x y z x+ x + y + z 59
 Ta có: 5.x=4.y=3.z và x+x+y+z=59 hay = = = = = = = = 1
 60 60 60 12 15 20 59 59
 => x=12, y=15, z=20. Vậy cạnh của hình vuông là : 5.12=60m 
Bài 4: Có ba máy bơm cùng bơm nước vào ba bể có thể tích bằng nhau ( Lúc đầu các bể đều không có 
nước). Mỗi giờ máy thứ nhất, máy thứ hai, máy thứ 3 bơm được lần lượt là 6m3 , 10m3 , 9m3 . Thời gian 
bơm đầy bể của máy thứ hai ít hơn máy thứ nhất là 2h, Tính thời gian của từng máy để bơm đầy bể. 
HD: 
 Gọi thời gian bơm đầy bể của máy bơm thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là a, b, c 
 Theo bài ra ta có: ba−=2 
 Vì ba bể có thể tích như nhau nên thời gian bơm tỉ lệ nghịch với thể tích bơm được của các máy 
bơm : 
 6a== 10 b 9 c 
Bài 5: Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng được 172 cây xung quanh vườn trường, Tính số cây của mỗi lớp 
biết rằng số cây lớp 7A và 7B tỉ lệ với 3 và 4, lớp 7B và 7C tỉ lệ với 5 và 6 còn 7C và 7D tỉ lệ với 8 và 9 
Bài 6: Ba tấm vải dài tổng 210m, Sau khi bán 1/7 tấm thứ nhất, 2/11 tấm thứ hai và 1/3 tấm thứ ba, thì 
chiều dài còn lại của ba tấm bằng nhau, Hỏi lúc đầu mỗi tấm dài bao nhiêu m? 
Bài 7: Lớp 7A, 7B, 7C trồng được 387 cây, số cây lớp 7A trồng được bằng 11/5 số cây lớp 7B trồng 
được, số cây lớp 7B trồng được bằng 35/17 số cây lớp 7C trồng được, Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu 
cây? 
Bài 8: Ba máy bơm cùng bơm nước vào 1 bể có dung tích 355 m3 , Biết thời gian để bơm được 1 m3 nước 
của ba máy tương ứng là: 3 phút,5 phút,7 phút, Hỏi mỗi máy bơm bơm được bao nhiêu m3 thì đầy bể? 
HD: 
 Gọi số m3 bơm được của các máy lần lượt là a, b, c (a, b, c 0) và a+b+c=355 
 3a 5 b 7 c a b c
 Theo bài ra ta có: 3a= 5 b = 7 c = = = = = = 
 105 105 105 35 21 15
 1 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 
 5 7 1
 Vậy trong 2h cả ba vòi chảy được: ++ bể 
 36 72 8
 5 1 7 13
 Vậy 1h cả ba vòi chảy được: + +:2 = bể 
 36 8 72 72
 13 72 7
 Vậy cả ba vòi cùng chảy thì đầy bể trong 1:== 5 h 
 72 13 13
Bài 12: Ba vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước, nếu vòi 1 và vòi 2 cùng chảy thì đầy bể trong 
6h, nếu vòi 2 và vòi 3 cùng chảy thì đầy bể trong 8h, nếu vòi 3 và vòi 1 cùng chảy thì trong 12h đầy bể, 
Hỏi nếu chỉ một mình vòi 3 chảy thì đầy bể trong bao lâu? 
HD: 
 1
 1h vòi 1 và vòi 2 chảy được: bể 
 6
 1
 1h vòi 2 và vòi 3 chảy được: bể 
 8
 1
 1h vòi 3 và vòi 1 chảy được: bể 
 12
 1 1 1 3
 Trong 1h cả ba vòi chảy được: + +:2 = 
 6 8 12 16
 3 1 1
 Vậy trong 1 h vòi 3 chảy được: −= bể 
 16 6 48
 Để vòi ba chảy một mình thì trong 48h mới đầy bể. 
 8
Bài 13: Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được 1020 cây, biết lớp 7A trồng được bằng số cây trồng được của 
 9
 17
lớp 7A, Lớp 7C trồng bằng số cây lớp 7B, Tính số cây trồng của mỗi lớp 
 10
HD: 
 51 77
 Trong 1h vòi 1 và 2 chảy được :6= bể ; Trong 1h vòi 2 và 3 chảy được :5= bể 
 6 10 12 60
 31
 Trong 1h vòi 3 và 1 chảy được :9= bể, Nên trong 2 h cả ba vòi chảy được 
 4 12
 1 7 1 3
 + + = bể, 
 10 60 12 10
 33 3 20
 Do đó trong 1h cả ba vòi chảy được :2= bể, Vậy cả ba vòi cùng chảy thì mất 1: = h 
 10 20 20 3
 sẽ đầy bể 
Bài 14: Trên 1 công trường xây dựng, do cải tiến lỹ thuật nên năng suất lao động của công nhân tăng 
25%, Hỏi nếu số công nhân không thay đổi thì thời gian làm xong việc giảm bao nhiêu % 
HD : 
 Gọi t1 là thời gian hoàn thành công việc với năng suất lao động 100%, 
 t2 là thời gian hoàn thành với năng suất 125% 
 Vì công nhân không đổi nên thời gian hoàn thành tỉ lệ nghịch với năng suất lao động nên : 
 t2
 tt12.100= .125 = = 80% 
 t1
Bài 15: Hai máy bay cùng bay từ A đến B, Máy bay I bay hết 2h 30’, Máy bay II bay hết 2h 20’, Tính vận 
tốc trung bình của mõi máy bay biết rằng cứ 1 phút thì máy bay này bay nhanh hơn máy bay kia là 1km 
 3 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 
Bài 26: Trong kì thi HSG của trường, ba bạn Tài, Trí, Đức được cô giáo thưởng 100 000đ, Số tiền thưởng 
 5
được phân chia tỉ lệ với số điểm mà mỗi bạn đạt được, biết số điểm của Tài bằng so với số điểm của 
 3
Trí, số điểm của Đức bằng 25% tổng số điểm của hai người kia, Tính số điểm mỗi bạn được thưởng? 
HD: 
 Gọi số tiền thưởng của Tài, Trí, Đức lần lượt là x,y,z đồng 
 xy
 Theo bài ra ta có: = và z=+25%( x y ) nên x+y=4z 
 53
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau :
 xyxy+4 zz xyzxyz + + 100000
 == === === = =10000 
 53 8 82 532532++ 10
 3
Bài 27: Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng là và các tử tỉ lệ với 3 và 5, các mẫu tỉ lệ với 4 
 196
và 7 
HD: 
 Gọi hai phân số tối giản là x, y 
 3
 theo bài ra ta có : xy−= , mặt khác các tử tỉ lệ với 3 :5 các mấu tỉ lệ với 4 :7 
 196
 34 xy
 => x :y= : => x :y=21 :20=> = 
 47 21 20
 83
Bài 28: Tìm ba phân số tối giản biết rằng tổng của chúng 15 , Tử số của chúng tỉ lệ thuận với 5:7:11 
 120
 1 1 1
và mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với ;; 
 456
HD: 
 a c e a c e
 Gọi các phân số cần tìm là: ;; , Vì tử số tỉ lệ với 5;7;11 nên ta có: == 
 b d f 5 7 11
 1 1 1 b d f a c e b d f
 Mẫu số tỉ lệ nghịch với ;; nên ta có: ==, Đặt = = =kp; = = = 
 456 4 5 6 5 7 11 4 5 6
 => a=5k, c=7k, e=11k, b=4p, d=7p, f=6p, nên 
 a c e5 k 7 k 11 k 75 k++ 84 k 110 k 269 k
 + + = + + = = 
 b d f4 p 5 p 6 p 60 p 60 p
 a c e83 k 7 a35 c 49 e 77
 Mà + + =15 = = Vậy =;; = = 
 b d f120 p 2 b8 d 10 f 12
 213
Bài 29: Tìm ba phân số tối giản có tổng là các tử của chúng tỉ lệ với 3:4:5 và các mẫu của chúng tỉ lệ 
 70
với 5:1:2, Tìm ba phân số đó 
 9
Bài 30: Cho 7 số hữu tỉ được sắp sếp trên 1 đường tròn sao cho tích hai số cạnh nhau luôn bằng , Tìm 
 25
các số đó? 
HD: 
 Gọi 7 số đã cho là: a1; a 2 ;...; a 7 Hiển nhiên 7 số này đều khác 0 
 93
 Ta có: a. a= a . a = ... = a . a => a= a =... = a nên a. a= = a = 
 1 2 2 3 7 1 1 2 7 1 125 1 5
Bài 31: Độ dài ba cạnh của 1 tam giác tỉ lệ với 2:3:4, ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba 
số nào: 
HD: 
 5 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức