Chuyên đề Thực hiện dãy tính và tính nhanh Toán 6

 CHUYÊN ĐỀ.THỰC HIỆN DÃY TÍNH – TÍNH NHANH 
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Với bài toán thực hiện phép tính trong các kì thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải nhanh nhạy trong 
việc phối hợp nhiều phép tinh như: phép tính lũy thừa, phép tính cộng trừ các phân số, tối giản phân số, 
rồi tính tổng theo quy luậtthứ tự thực hiện phép tính 
KIẾN THỨC BỔ TRỢ: 
1/ Công thức tính lũy thừa của số tự nhiên: 
am.an = am+n (a.b)m = am.bm (am)n = am.n 
 m m
 aa m m m
 = n (b0) hay (a : b) = a : b 
 bb
2/ Một số công thức đặt thừa số chung 
a.b + a.c + a.d + ..+ a. k = a.(b + c + d +  + k) 
 a a a 1 1 1
 + +... + = a. + + ... + 
 x1 x 2 x n x 1 x 2 x n
4/ Một số công thức tính tổng. 
a) Tổng các số hạng cách đều: S = a1 + a2 + a3 + . + an (1) 
Với a2 – a1 = a3 – a2 =  = an – an-1 = d (các số hạng cách đều) 
 a−+ a :d 1
Số số hạng trong tổng là n = ( n1) 
a1 là số hạng thứ nhất 
an là số hạng thứ n 
Tổng S = n.(a1 + an) : 2 
Số hạng thứ n của dãy là an = a1 + (n – 1).d 
b) Tổng có dạng: S = 1 + a + a2 + a3 + .+ an (2) 
B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được. 
a.S = a + a2 + a3 + a4 + .+ an + 1 (3) 
B2: Lấy (3) trừ (2) vế theo vế được: 
 a1n1+ −
a.S – S = an + 1 – 1 => S = 
 a1−
c) Tổng có dạng: S = 1 + a2 + a4 + a6 + .+ a2n (4) 
B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được. 
a2.S = a2 + a4 + a6 + a8 + .+ a2n + 2 (5) 
B2: Lấy (5) trừ (4) vế theo vế được: 
 = 2.[12 + 32 + 52 + .+ (k – 1)2] 
= 2.S 
 A (k – 1) .k.( k + 1) (k – 1) .k.( k + 1)
 S = mà theo (8) thì tổng A = => S = 
 2 3 6
g) Tổng có dạng: S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + a4.a5 + .+ an-1. an (11) 
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = .= an - an-1 = 2 
S = a1.(a1 + 2) + a2. (a2 + 2) + a3. (a3 + 2) + a4. (a4 + 2) + .+ an-1. (an - 1 + 2) 
 2 2 2 2
= (a1+ a 2 + a 3 + ...a + n−− 1) + 2a( 1 + a 2 + a 3 + ...a + n 1 ) 
= S1 + k. S2 
 2 2 2 2
Trong đó tổng S1 = a1+ a 2 + a 3 + ... + a n− 1 
S2 = a1+ a 2 + a 3 + ... + a n− 1 
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = .= an - an-1 = k > 2 
Nhân cả hai vế với 3k , rồi tách 3k ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu. 
 1 1 1 1
h) Tổng có dạng: S = + + +... + (12) 
 a1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a n− 1 a n
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 =  = an – an-1 = 1 thì: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
S = − + − + − +... + − = − 
 a122334 a a a a a a n1n1n− a a a
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 =  = an – an-1 = k > 1 thì: 
 1111111 11111 
S = − + − + − +... + − = − 
 kaaaaaa 122334 a n1n− a kaa 1n
B.BÀI TOÁN TỰ LUYỆN 
Bài 1. 
 27.4500+ 135.550.2
Tính tổng : S = 
 2+ 4 + 6 + ... + 18
Bài 2. 
Tính: 
 101+ 100 + 99 + 98 + .... + 3 + 2 + 1
a)A = 
 101− 100 + 99 − 98 + .... + 3 − 2 + 1
 423134.846267− 423133
b)B = 
 423133.846267+ 423134
Bài 3. 
 Kết quả của phép tính 1− 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ..... + 99 − 100 bằng: 
A. 50 B. −50 C. −100 D. 0 
 12 12 12 5 5 5
 12− − − 5 + + +
 158158158
b) B= 81.7 289 85 : 13 169 91 . 
 4 4 4 6 6 6
 46− − − + + + 711711711
 7 289 85 13 169 91
Bài 11. 
 2 3 4 2012 2013
 1 3 3 3 3 3 3
Cho A= + + + + + ..... + và B= : 2 
 2 2 2 2 2 2 2
Tính B - A 
Bài 12. 
Tính giá trị các biểu thức sau: 
a)A=( − 1.) ( − 1.)2( − 1.) 3( − 1......) 4( − 1) 2010 .( − 1) 2011 
 131313 131313 131313
b)B= 70. + + 
 565656 727272 909090
 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d
c)C = + + + biết = = = 
 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a
Bài 13. 
1.Thực hiện tính A bằng cách hợp lý nhất: 
 2010.2011− 1005
A = 
 2010.2010+ 1005
 2 2 2 
2.Thực hiện phép tính: B= 33 1 − 1 − ...... 1 − 
 3 5 99 
Bài 14. 
Tính giá trị biểu thức sau: 
 1− 1 1
a)4+− . 12 5 
 7 6 7
b)( 2+++++ 4 6 8 .... 2014) −++++( 3 5 7 9 ..... + 2011) 
 1 1 1 1 1 
c) 1− 1 − 1 − 1 − ....... 1 − 
 3 6 10 15 780 
Bài 15. 
Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: 
a)( 102+ 11 2 + 12 2) :( 13 2 + 14 2 ) 
b)1.2.3...9−− 1.2.3....8 1.2.3....7.82 
 2
 (3.4.216 )
c) 
 11.213 .4 11− 16 9
 3 3 3 8 6 0
b)2 .5− 3 400 − 673 − 2 .( 7 :7 + 7 )  
Bài 22. 
 1+ 3 + 5 + .... + 19
Tính giá trị biểu thức A = 
 21+ 23 + 25 + .... + 39
Bài 23. 
 1 1 1 1
Tính: A= + + + ...... + 
 4.9 9.14 14.19 64.69
Bài 24. 
 12 12 12 5 5 5
 12− − − 5 + + +
 158158158
Thực hiện phép tính A= 81.7 289 85 : 13 169 91 . 
 4 4 4 6 6 6
 46− − − + + + 711711711
 7 289 85 13 169 91
Bài 25. 
 9 6 14
 5.( 22 .3 2) .( 2 2) − 2.( 2 2 .3) .3 4
Thực hiện phép tính: A = 
 5.228 .3 18− 7.2 29 .3 18
Bài 26. 
Thực hiện phép tính 
a)− 32.56 − 32.25 − 32.19 
b)24 .5− 131 − 13 − 4 2 
 ( )
 933 .25
c) 
 1822 .125
Bài 27. 
 2 2 2 2 5 11 1 
Cho A= + + + ..... + ;B = − . . + 1 
 11.15 15.19 19.23 51.55 3 2 3 
Tính tích A.B 
Bài 28. 
 (−2)3 .333 .5 .7.8
Rút gọn phân số: 
 3.534 .2 .42
Bài 29. 
Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: 
 −1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1
aA) = + + + + +
 20 30 42 56 72 90
 9 6 14
 5.( 22 .3 2) .( 2 2) − 2.( 2 2 .3) .3 4
a) A = 
 5.228 .3 18− 7.2 29 .3 18
 12 12 12 5 5 5
 12− − − 5 + + +
 158158158
b) B = 81.7 289 85 : 13 169 91 . 
 4 4 4 6 6 6
 46− − − + + + 711711711
 7 289 85 13 169 91
Bài 37. 
Thực hiện phép tính 
 3 3 3 3
 3 + − + −
 24.47− 23
aA).= 7 11 1001 13 
 9 9 9 9
 24+− 47 23 − + − + 9
 1001 13 7 11
 1+ 2 + 22 + 2 3 + ..... + 2 2012
bM) =
 222014 −
Bài 38. 
Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể) 
a)1968:16+− 5136:16 704:16 
 3 3 3 8 6 0
b)2.5− 3400 − 673 − 2.7:7( + 7 )  
Bài 39. 
 9 6 14
 5.( 22 .3 2) .( 2 2) − 2.( 2 2 .3) .3 16
Tính N = 
 5.228 .3 19− 7.2 29 .3 18
Bài 40. 
Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: 
a)( 102+ 11 2 + 12 2) :( 13 2 + 14 2 ) 
b)1.2.3...9−− 1.2.3....8 1.2.3....7.82 
 2
 (3.4.216 )
c) 
 11.213 .4 11− 16 9
d)1152−( 374 + 1152) +( − 65 + 374) 
e)13121110− ++ −+−−+−++− 9 8 7 6 5 4 3 21 
Bài 41. Thực hiện các phép tính sau: 
 2181.729+ 243.81.27
a) 
 322 .9 .234++ 18.54.162.9 723.729
 212 .13+ 2 12 .65 310 .11+ 3 10 .5
Bài 50. Tính giá trị biểu thức: + 
 210 .104 394 .2
 34 51 85 68 39 65 52 26
Bài 51. Cho A = + + + , B = + + + 
 7.13 13.22 22.37 37.49 7.16 16.31 31.43 43.49
 A
Tính tỷ số . 
 B
 6 75
 13.4 . 28− 27
 13 18
Bài 52. Thực hiện dãy tính: 
 12 5 5 5 5
 59.2 + + +
 14 84 204 374
 39 33 21
 +−0,415 :
 21 3 65 600 9
Bài 53. Tính + : 
 15 17
 54 75 72 − 18,25 + 13 − 16
 36 102
Bài 54. Tính 
 101+ 100 + 99 + 98 + . . . + 3 + 2 + 1
a) A = 
 101− 100 + 99 − 98 + . . . + 3 − 2 + 1
 423134 . 846267− 423133
b) B = . 
 423133 . 846267+ 423134
Bài 55. Tính nhanh: 
 3 3 3 3
 3+ - + -
 24.47 - 23
a) A = . 7 11 1001 13 
 9 9 9 9
 24 + 47 - 23 - + - + 9
 1001 13 7 11
b) B =( -329) +( -15) +( -101) +440+2019 
 1+ 2 + 22 + 2 3 + + 2 2012
c) M = 
 222014 −
Bài 56. Thực hiện phép tính một cách hợp lý: 
 2 2013 2 1 1
a) A..= − + 
 3 2012 3 2012 3
 12 23 34 1 1 1 
b) B = + − − − 
 199 200 201 2 3 6 
 3 3 2 3 2
c) C= 1500 − 5 .2 − 11 7 − 5.2 + 8( 11 − 121) 